高三一輪數(shù)學（文）總復習-§2.32次函數(shù)與冪函數(shù)【系列三】

1、第二章 函數(shù)高考文數(shù)2.3二次函數(shù)與冪函數(shù)知識清單考點一二次函數(shù)1.圖象及性質解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)在m,n上的最值問題:(1)hm,n時,ymin=f(h),ymax=maxf(m), f(n).(2)hm,n時,當hn時, f(x)在m,n上單調遞減,ymin=f(n),ymax=f(m). a00=00(-,x1)(x2,+)R二次不等式ax2+bx+c0(x1,x2)4.三個“二次”的關系考點二冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地,形如y=x的函數(shù)叫做冪函數(shù),其中x是自變量,是常數(shù).2.冪函數(shù)的圖象如圖(五種冪函數(shù)的圖象):3.冪函數(shù)y=x,

2、y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性質 y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增(-,0)上遞減,(0,+)上遞增增增(-,0)上遞減,(0,+)上遞減定點(0,0),(1,1)(1,1)ax2+bx+c0,xR恒成立,需滿足或a=0,b=0,c0.ax2+bx+c0)在xm,n上恒成立,需滿足ax2+bx+c0(a0,xR恒成立,需滿足或a=0,b=0,c0. 二次函數(shù)的區(qū)間最值問題的解法二次函數(shù)的區(qū)間最值問題一般有三種情況:(1)對稱軸、區(qū)間都是給定的;(2)對稱軸動,區(qū)間固定

3、;(3)對稱軸定,區(qū)間變動.解決這類問題的思路是抓住“三點一軸”數(shù)形結合,三點是指區(qū)間的兩個端點和中點,一軸是指對稱軸,結合配方法,根據函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成.對于(2)、(3)兩種情況,通常要分對稱軸與x軸交點的橫坐標在區(qū)間內與在區(qū)間外進行討論.方法技巧方法1例1(2016皖北第一次聯(lián)考,8)已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間0,1上的最大值為2,則a的值為(D)A.2B.-1或-3C.2或-3D.-1或2解題導引對函數(shù)圖象的對稱軸進行討論確定函數(shù)在0,1上的單調性結合已知求a的值解析函數(shù)f(x)=-(x-a)2+a2-a+1圖象的對稱軸為x=a,且開口向下,分三種

4、情況討論如下:當a0時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間0,1上是減函數(shù),f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.當0a1時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間0,a上是增函數(shù),在(a,1上是減函數(shù),f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=或a=,01時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間0,1上是增函數(shù),f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,a=2.綜上可知,a=-1或a=2. 解決一元二次方程根的分布問題的方法對方程根的分布問題,一般結合二次函數(shù)的圖象從四個方面分析:(1)開口方向

5、;(2)對稱軸位置;(3)判別式;(4)端點函數(shù)值.例2設二次函數(shù)f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的兩根x1和x2滿足0 x1x21.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)試比較f(0)f(1)-f(0)與的大小,并說明理由.方法2解析(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,則由題意可得0a3-2.故所求實數(shù)a的取值范圍是(0,3-2).(2)f(0)f(1)-f(0)=2a2,令h(a)=2a2.函數(shù)h(a)=2a2在(0,+)上單調遞增,當0a3-2時,0h(a)h(3-2).又2(3-2)2=2(17-12)=,f(0)f(1)-f(0)0時,圖象經過點(0,0)

6、和點(1,1),在第一象限的部分“上升”;1時,曲線下凹,01時,曲線上凸,0.30.2B.1.250.2D.1.70.30.93.1(2)(2016山東濰坊模擬,5)函數(shù)f(x)=-的零點個數(shù)為(B)A.0B.1C.2D.3解題導引(1)A、B項利用冪函數(shù)的單調性進行比較 C項化為同底比較 D項利用中間項進行比較 (2)作y=,y= 的圖象 圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)解析(1)A中,函數(shù)y=x0.2在(0,+)上為增函數(shù),0.20.3,0.20.2;C中,0.8-1=1.25,y=1.25x在R上是增函數(shù),0.10.2,1.250.11.250.2,即0.8-0.11,0.93.10.93.1.故選D.(2)令f(x)=0,得=,在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)y=與y=的圖象.如圖所示.由圖可知兩函數(shù)圖象有1個交點,故f(x)的零點只有一個,故選B.規(guī)律總結1.比較冪值大小的常見類型及解決方法(1)同底不同指,可以利用指數(shù)函數(shù)單調性進行比較.(2)同