概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第11講

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第11講本文件可從網(wǎng)址 上下載(單擊ppt講義后選擇概率論子目錄)2二元隨機(jī)變量3定義 2.5 如果每次試驗(yàn)的結(jié)果對應(yīng)著一組確定的實(shí)數(shù)(x1,x2,xn), 它們是隨試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的n個隨機(jī)變量, 并且對任何一組實(shí)數(shù)x1,x2,xn, 事件x1x1,x2x2,xnxn 有確定的概率, 則稱n個隨機(jī)變量的整體(x1,x2,xn)為一個n元隨機(jī)變量(或n元隨機(jī)向量)定義 2.6 稱n元函數(shù)F(x1,x2,xn)=P(x1x1,x2x2,xnxn)(x1,x2,xn)Rn為n元隨機(jī)變量的分布函數(shù).4注意事件x1x1,x2x2,xnxn表示n個事件x1x1,x2x2,xnxn的交

2、事件, 即 x1x1x2x2xnxn如前所述, n個事件的交事件通常不好計(jì)算, 要利用乘法法則來進(jìn)行計(jì)算. 即利用公式P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)5(一)離散型1. 聯(lián)合分布定義 2.7 如果二元隨機(jī)變量(x,h)所有可能取的數(shù)對為有限或可列個, 并且以確定的概率取各個不同的數(shù)對, 則稱(x,h)為二元離散型隨機(jī)變量.6為了直觀, 可以把(x,h)所有的可能取值及相應(yīng)概率列成表, 稱為(x,h)的聯(lián)合概率分布表xhy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij7也可以用一系列等式來表示二元離散型隨

3、機(jī)變量(x,h)的聯(lián)合概率分布.Px=xi,h=yj=pij(i, j=1,2,)這都被稱作x與h的聯(lián)合分布律, 具有性質(zhì):8例1 同一品種的5個產(chǎn)品中, 有2個正品, 每次從中取1個檢驗(yàn)質(zhì)量, 不放回地抽取, 連續(xù)2次, 記xk=0表示第k次取到正品, 而xk=1為第k次取到次品(k=1,2). 寫出(x1,x2)的聯(lián)合分布律.9解 按乘法公式有10列成概率分布表為x2x10100.10.310.30.311邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系二元隨機(jī)變量(x,h)中, 分量x(或h)的概率分布稱為(x,h)的關(guān)于x(或h)的邊緣分布. 如果已知(x,h)的聯(lián)合分布為 Px=xi,h=yj=pij(i,

4、 j=1,2,)則12例1 的邊緣分布的計(jì)算x1x201pi(1)00.10.30.410.30.30.6pj(2)0.40.6即Px1=0=0.4 Px1=1=0.6Px2=0=0.4 Px2=1=0.6考慮到5個產(chǎn)品中有兩個正品三個次品,當(dāng)然一次取到正品的概率為0.4, 取到次品的概率為0.613例2 將兩封信隨機(jī)地往編號為1,2,3,4的4個郵筒內(nèi)投. xi表示第i個郵筒內(nèi)信的數(shù)目(i=1,2). 寫出(x1,x2)的聯(lián)合分布及(x1,x2)中關(guān)于x1的邊緣分布14解 試驗(yàn)共有42=16種不同的等可能結(jié)果15計(jì)算結(jié)果列于下表并計(jì)算x1的邊緣分布x1x2012pi(1)04/164/161

5、/169/1614/162/1606/1621/16001/16上表計(jì)算出的x1的邊緣分布可列成下表x1012P9/166/161/1616條件分布 對于二元離散型隨機(jī)變量(x,h), 如果Ph=yj0, 稱pij/pj(2)(i=1,2,)為在h=yj條件下關(guān)于x的條件分布, 記為顯然Px=xi|h=yj是非負(fù)的, 并且對于所有的i, 它們的和為1, 同樣地, 若pi(1)0, 稱為在x=xi條件下關(guān)于h的分布.17求例1的各個條件分布x2x10100.10.310.30.3Px1=0|x2=0=1/4, Px1=1|x2=0=3/4Px1=0|x2=1=1/2, Px1=1|x2=1=1/

6、2Px2=0|x1=0=1/4, Px2=1|x1=0=3/4Px2=0|x1=1=1/2, Px2=1|x1=1=1/218例3 求出例2在x2=1條件下x1的分布x1x201204/164/161/1614/162/16021/1600 x101Px1|x2=1)2/31/319例4某射手在射擊中, 每次都擊中目標(biāo)的概率為p(0p1), 射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止, x1,x2表示第1,2次擊中目標(biāo)時所進(jìn)行的射擊次數(shù), 求x1和x2的聯(lián)合分布以及它們的條件分布.解 令q=1-p, 事件x1=i, x2=j表示第i次及第j次擊中了目標(biāo)(1ij), 而其余j-2次都沒有擊中目標(biāo). 已知各次射

7、擊是相互獨(dú)立的, 所以pij=Px1=i, x2=j=p2qj-2 (i=1,2,1i0, 因此關(guān)于x1的條件分布為即在第二次命中是在第j次射擊的條件下,第一次命中是在前j-1次射擊中等可能的離散均勻分布. 同樣可得關(guān)于x2的條件分布為:23連續(xù)型 二元連續(xù)型隨機(jī)變量是用聯(lián)合概率密度函數(shù)j(x,y)來描述的, 它具有性質(zhì)因此對于平面上任何可積區(qū)域S, (x, h)落在此區(qū)域內(nèi)的概率是j(x,y)在S上的二重積分, 即24二元概率密度函數(shù)j(x,y)從圖形上看是在xoy平面上方的一個曲面, 包圍著下方的體積為1.25顯然, 對任意實(shí)數(shù)ab及cd, 有(x,h)的分布函數(shù)F(x,y)也可由下式求出

8、:26(x,h)關(guān)于x及h的邊緣分布函數(shù)可按下式求出27若記稱j1(x)或jx(y)是(x,h)中關(guān)于x的邊緣概率密度. 同樣地記則稱j2(y)或jh(y)是(x,h)中關(guān)于h的邊緣概率密度.28條件概率密度, 首先計(jì)算chc+條件下ax0, 稱為在h = y條件下, 關(guān)于x的條件概率密度稱為在x=x條件下, 關(guān)于h的條件概率密度30隨機(jī)變量的獨(dú)立性兩個隨機(jī)變量x和h是相互獨(dú)立的, 是指的其中一個變量取任意值的事件和另一個變量取任意值的事件總是相互獨(dú)立的.嚴(yán)格的定義為:定義 2.9 對于任何實(shí)數(shù)x,y, 如果二元隨機(jī)變量(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)等于x和h的邊緣分布函數(shù)的乘積, 即F

9、(x,y)=Fx(x)Fh(y)則稱隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立.31離散型 x與h相互獨(dú)立的充要條件是對一切i,j=1,2,pij=pi(1)pj(2)例 如果x取值1,2,3的概率為0.2, 0.5, 0.3, 而h取值1,2的概率為0.6, 0.4, x與h相互獨(dú)立, 則它們的聯(lián)合概率分布如下表所示:xh12310.120.30.1820.080.20.1232在給定離散型隨機(jī)變量的概率分布表的情況下如果要判定其不獨(dú)立往往容易, 只要任找一個pij不等于邊緣概率pi(1)和pj(2)的乘積就可斷定其不獨(dú)立. 經(jīng)常的快捷辦法就是, 只要發(fā)現(xiàn)聯(lián)合概率分布表中有0存在, 就基本可以認(rèn)為這兩個隨機(jī)變量不獨(dú)立了.而如果要判定其獨(dú)立, 則需要驗(yàn)證每一個pij是否為各個邊緣概率的乘積.33連續(xù)型如x和h為連續(xù)型隨機(jī)變量, 則它們相互獨(dú)立的充分必要條件為, 對任何實(shí)數(shù)x, yj(x, y)=j1(x)j2(y)=jx(x)jh(y)當(dāng)一個二元函數(shù)f(x, y)可寫成兩個單變量的函數(shù)乘積f(x, y)=g(x)h(y)時, 稱其為可分離變量的. 不難證明如果x和h的聯(lián)合概率密度j(x,y)可分離變量的, 它們就是相互獨(dú)立的, 反之亦然.34例5 本節(jié)例2的兩個隨機(jī)變量x1和x2是否相互獨(dú)立?x