新蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)（全冊知識(shí)點(diǎn)梳理及?？碱}型鞏固練習(xí)）（基礎(chǔ)版）（家教、補(bǔ)習(xí)）

1、精品文檔 精心整理精品文檔 精心整理蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)一元二次方程及其解法（一）直接開平方法知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會(huì)把一元二次方程化為一般形式；2掌握直接開平方法解方程，會(huì)應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；3理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念1一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要點(diǎn)詮釋：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；

2、（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)要點(diǎn)詮釋：(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根

3、x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個(gè)根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個(gè)根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個(gè)根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點(diǎn)二、一元二次方程的解法1直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程： 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)： 平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類： 形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解. 若，則；表

4、示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根； 若，則x=O；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 若，則方程無實(shí)數(shù)根 形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是 .要點(diǎn)詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定1判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)【思路點(diǎn)撥】識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次項(xiàng)的系數(shù)，

5、所以原方程是一元二次方程(2)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次項(xiàng)的系數(shù)為，所以原方程不是一元二次方程【總結(jié)升華】不滿足（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.舉一反三：【388447：一元二次方程的概念-例1】【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程 ； ； ； ； ； 【答案】.【解析】不是方程； 不是整式方程； 含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元方程； 化簡后沒有二次項(xiàng)，不是2次方程. 符合一元二次方程的定義類型二、一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)的確定2.把下列方程中的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項(xiàng)的系數(shù)：(1)-3

6、x2-4x+2=0； (2)【答案與解析】(1)兩邊都乘-1，就得到方程 3x2+4x-2=0 各項(xiàng)的系數(shù)分別是： a=3，b=4，c=-2(2)兩邊同乘-12，得到整數(shù)系數(shù)方程 6x2-20 x+9=0各項(xiàng)的系數(shù)分別是：【總結(jié)升華】一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)的一元二次方程；把分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程值得注意的是，確定各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，不應(yīng)忘記系數(shù)的符號(hào)，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中不能寫為舉一反三：【388447：一元二次方程的形式-例3】【變式】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)

7、、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)： （1）； （2）【答案】（1），二次項(xiàng)系數(shù)是3、一次項(xiàng)系數(shù)是-5、常數(shù)項(xiàng)是2. （2）化為二次項(xiàng)系數(shù)是a、一次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是-a-2.類型三、一元二次方程的解（根）3. 如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q0的兩根分別為x12，x21，那么p，q的值分別是( ) A-3，2 B3，-2 C2，-3 D2，3【答案】A；【解析】 x2是方程x2+px+q0的根， 22+2p+q0，即2p+q-4 同理，12+p+q0，即p+q-1 聯(lián)立，得 解之得：【總結(jié)升華】由方程根的定義得到關(guān)于系數(shù)的方程(組)，從而求出系數(shù)的方法稱為待定系數(shù)法，是常用的數(shù)學(xué)解題方法即分別用2

8、，1代替方程中未知數(shù)x的值，得到兩個(gè)關(guān)于p、q的方程，解方程組可求p、q的值類型四、用直接開平方法解一元二次方程4. （2016春仙游縣月考）求下列x的值（1）x225=0（2）（x+5）2=16【思路點(diǎn)撥】（1）移項(xiàng)后利用直接開方法即可解決（2）利用直接開方法解決【答案與解析】 解：（1）x225=0，x2=25，x=5（2）（x+5）2=16，x+5=4，x=1或9【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，形如=k或（nx+m）2=k(k0)的方程是最簡單的一元二次方程，“開平方”是解這種方程最直接的方法“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一舉一反三：【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根： (1

9、)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0【答案】(1) x2=361， x=19或x=-19(2)2y2-72=0， 2y2=72， y2=36， y=6或y=-6(3)5a2-1=0， 5a2=1， a2=， a=或a=-(4)-8m2+36=0， -8m2=-36， m2=， m=或m=-【變式2】解下列方程： (1) （2015 東西湖區(qū)校級模擬）(2x+3)2-25=0； (2)（2014秋濱州校級期末）（12x）2=x26x+9. 【答案】解：(1) (2x+3)2=25， 2x+3=5或2x+3=-5 x1=1，x2=-4(2) （

10、12x）2=x26x+9， （12x）2=（x3）2， 12x=（x3）， 12x=x3或12x=（x3）， x1=，x2=2蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)一元二次方程及其解法（一）直接開平方法鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 若是關(guān)于x的一元二次方程，則( ) Ap1 Bp0且p1 Cp0 Dp0且p12（2015江岸區(qū)校級模擬）如果x=3是一元二次方程ax2=c的一個(gè)根，那么該方程的另一個(gè)根是（） A3 B-3 C0 D13（2016重慶模擬）已知x=1是關(guān)于x的方程x2x+m=0的一個(gè)根，則m的值為（）A2 B1 C0 D24若，是方程的兩根，則的值

11、是 ( )A8 B 4 C2 D05若為方程式的一根，為方程式的一根，且、都是正數(shù)，則之值為何?( )A5 B6 C D6已知方程有一個(gè)根是-a(a0)，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是( ) Aab B Ca+b Da-b二、填空題7. 方程(2x+1)(x-3)x2+1化成一般形式為_ _ _，二次項(xiàng)系數(shù)是_ _，一次項(xiàng)系數(shù)是_，常數(shù)項(xiàng)是_8（1）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m ； （2）關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m .9下列關(guān)于x的方程中是一元二次方程的是_ _(只填序號(hào)) (1)x2+10； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6)(x-2)(x-3)5.10下列哪些數(shù)是方程

12、的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，1011（2016泰州）方程2x4=0的解也是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個(gè)解，則m的值為12（2014秋營山縣校級月考）若方程（x4）2=a有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_ _三、解答題13（2014濟(jì)寧）若一元二次方程ax2=b（ab0）的兩個(gè)根分別是m+1與2m4，求的值14. 用直接開平方法解下列方程 (1)； (2)15教材或資料會(huì)出現(xiàn)這樣的題目：把方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng) 現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個(gè)小題，請解答 (1)下列式子中，有哪幾個(gè)是方程所化的一元二次方程的一般形式

13、?(答案只寫序號(hào))_ _ ； ； ； ； .(2)方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)之間具有什么關(guān)系?【答案與解析】一、選擇題1【答案】C；【解析】方程是一元二次方程的條件是a0，b、c可以是任意實(shí)數(shù) 2.【答案】A；【解析】ax2=c， 即x2=， x=，x=3是一元二次方程ax2=c的一個(gè)根，該方程的另一個(gè)根是x=3，故選A 3.【答案】A.【解析】把x=1代入x2x+m=0得1+1+m=0，解得m=2故選A4【答案】D；【解析】直接開方可得， .5.【答案】B；【解析】由得， ，又是正數(shù)且是此方程的根， 同理， 6.【答案】D；【解析】將代入方程得 ，又

14、a0方程兩邊同除以a得a-b+10， a-b-1，即a-b的值恒為常數(shù)二、填空題7【答案】x2-5x-40，1，-5，-48【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)殛P(guān)于x的方程是一元二次方程，所以（2）因?yàn)殛P(guān)于x的方程是一元一次方程，所以.9【答案】(1)，(6).【解析】根據(jù)一元二次方程的定義，要判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程要看它是否符合定義的三個(gè)必備條件：只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程當(dāng)然對有些方程必須先整理后再看(1)是；(2)含有分式；(3)含有兩個(gè)未知數(shù)；(4)未知數(shù)最高次數(shù)為3；(5)方程整理得-10 x-40，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1

15、0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程10【答案】2，4【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別代入方程x2-6x+80，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x2和x4時(shí)，方程x2-6x+80左右兩邊相等，所以x2，x4是方程x2-6x+80的根 11.【答案】-3.【解析】2x4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=312【答案】a0；【解析】方程（x4）2=a有實(shí)數(shù)解，x4=，a0；三、解答題13.【答案與解析】解：x2=（ab0），x=，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，m+1+2m4=0，解得m=1，一元二次方程ax2=b（ab0）的兩個(gè)根分別是2

16、與2，4a=b=4故答案為：414.【答案與解析】 (1)移項(xiàng)，得，根據(jù)平方根的定義，得即，(2)根據(jù)平方根的定義，得，即，15.【答案與解析】(1)觀察可知方程、的各項(xiàng)系數(shù)分別是原方程各項(xiàng)系數(shù)乘以1，-1，2，-2，得到的，其中、是一般形式，不是一般形式(2)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之比為，即，若設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)為，則一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)一元二次方程的解法（二）配方法知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解配方法的概念，會(huì)用配方法解一元二次方程；2掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的基本步驟；3通過用配方法將一元二次方程變形的過程，進(jìn)一步體

17、會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程： 將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：把原方程化為的形式；將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.要點(diǎn)詮釋：

18、（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式知識(shí)點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用1用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值4用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次

19、函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用要點(diǎn)詮釋： “配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好 【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1. （2016淄博）解方程：x2+4x1=0【思路點(diǎn)撥】首先進(jìn)行移項(xiàng)，得到x2+4x=1，方程左右兩邊同時(shí)加上4，則方程左邊就是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式，再利用直接開平方法即可求解【答案與解析】解：x2+4x1=0 x2+4x=1x2+4x+4=1+4（x+2）2=5x=2x1=2+，x2=2【總結(jié)升華】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2

20、）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)舉一反三：【變式】用配方法解方程. (1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程變形為x2-4x=2 兩邊都加4，得x2-4x+4=2+4 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6 解這個(gè)方程，得x-2=或x-2=- 于是，原方程的根為x=2+或x=2- (2)將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊x2+6x=-8 兩邊都加“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32， (x+3)2=

21、1 用直接開平方法，得x+3=1， x=-2或x=-4類型二、配方法在代數(shù)中的應(yīng)用2若代數(shù)式，則的值（）一定是負(fù)數(shù) 一定是正數(shù) 一定不是負(fù)數(shù)一定不是正數(shù)【答案】B；【解析】（作差法）故選【總結(jié)升華】本例是“配方法”在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零而比較出大小.【388499：配方法與代數(shù)式的最值例4】3（2014甘肅模擬）用配方法證明：二次三項(xiàng)式8x2+12x5的值一定小于0【答案與解析】解：8x2+12x5=8（x2x）5=8x2x+（）25+8（）2=8（x）2，（x）20，8（x）20，8（x）20，即8x2+125的值一定小于0【總結(jié)升華】利用配方法將

22、代數(shù)式配成完全平方式后，再分析代數(shù)式值的符號(hào). 注意在變形的過程中不要改變式子的值舉一反三：【388499：配方法與代數(shù)式的最值例4變式1】【變式】求代數(shù)式 x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17= x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1 （x+4）20，當(dāng)（x+4）2=0時(shí)，代數(shù)式 x2+8x+17的最小值是1.4已知，求的值【思路點(diǎn)撥】 解此題關(guān)鍵是把拆成 ，可配成兩個(gè)完全平方式【答案與解析】將原式進(jìn)行配方，得，即， 且， ， 【總結(jié)升華】本題可將原式用配方法轉(zhuǎn)化成平方和等于0的形式，進(jìn)而求出ab的值蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)一元二次方程的

23、解法（二）配方法鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. （2016貴州）用配方法解一元二次方程x2+4x3=0時(shí)，原方程可變形為（）A（x+2）2=1 B（x+2）2=7 C（x+2）2=13 D（x+2）2=192下列各式是完全平方式的是（ ）A B C D3若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值是（ ） A3 B-3 C D以上都不對4用配方法將二次三項(xiàng)式a2-4a+5變形，結(jié)果是（ ） A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-15把方程x2+3=4x配方，得（ ） A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=

24、26用配方法解方程x2+4x=10的根為（ ） A2 B-2 C-2+ D2-二、填空題7（1）x2+4x+ =（x+ ）2；（2）x2-6x+ =（x- ）2；（3）x2+8x+ =（x+ ）2.8（2016春長興縣月考）用配方法將方程x2-6x+7=0化為（x+m）2=n的形式為 9若是一個(gè)完全平方式，則m的值是_10求代數(shù)式2x2-7x+2的最小值為 . 11（2014資陽二模）當(dāng)x= 時(shí)，代數(shù)式x22x有最大值，其最大值為 12已知a2+b2-10a-6b+34=0，則的值為 三、解答題13. 用配方法解方程 （1） （2）14. （2014秋西城區(qū)校級期中）已知a2+b24a+6b+

25、13=0，求a+b的值15已知a，b，c是ABC的三邊，且(1)求a，b，c的值；(2)判斷三角形的形狀【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B【解析】x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=72【答案】C；【解析】3.【答案】C；【解析】 若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m2=9,解得m=；4.【答案】A； 【解析】a2-4a+5= a2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C；【解析】方程x2+3=4x化為x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B；【解析】方程x2+4x=10兩邊都加上22得x2+4x+22=10+22

26、，x=-2.二、填空題7【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.8.【答案】（x3）2=2【解析】移項(xiàng)，得x26x=7，在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得，x26x+9=7+9，（x3）2=2 9【答案】3；【解析】 .10【答案】-； 【解析】2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-，最小值為-，11【答案】-1,1【解析】x22x=（x2+2x）=（x2+2x+11）=（x+1）2+1，x=1時(shí)，代數(shù)式x22x有最大值，其最大值為1；故答案為：1，1 【解析】 -3x2+5x+1=-3（x-）2+，最大值為12【答案】4

27、. 【解析】a2+b2-10a-6b+34=0a2-10a+25+b2-6b+9=0（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，=4三、解答題13.【答案與解析】 （1） x2-4x-1=0 x2-4x+22=1+22 (x-2)2=5 x-2= x1=x2=(2) 14.【答案與解析】解：a2+b24a+6b+13=0，a24a+4+b2+6b+9=0，（a2）2+（b+3）2=0，a2=0，b+3=0，a=2，b=3，a+b=23=115.【答案與解析】（1）由，得 又， ， ，（2） 即， ABC是以c為斜邊的直角三角形 蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

28、一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2. 正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程；3. 通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式： 當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.3.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程

29、的步驟： 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）； 求出的值； 若，則利用公式求出原方程的解； 若，則原方程無實(shí)根.要點(diǎn)詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：. 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：. 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：. 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)根.要點(diǎn)二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程

30、；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋： （1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次 因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：必須將方程的右邊化為0；方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0； (2)； (3) 2x2+3x-1=0【答案與解析】 (

31、1) a=1，b=3，c=1x=x1=，x2=(2)原方程化為一般形式，得，即， (3) a=2，b=3，c=1b24ac=170 x=x1=，x2=【總結(jié)升華】用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是對a、b、c的確定用這種方法解一元二次方程的步驟是：(1)把方程化為一元二次方程的一般形式；(2)確定a，b，c的值并計(jì)算的值；(3)若是非負(fù)數(shù)，用公式法求解舉一反三：【變式】用公式法解方程：（2014武漢模擬）x23x2=0【答案】解：a=1，b=3，c=2；b24ac=（3）241（2）=9+8=17；x=，x1=，x2=2用公式法解下列方程：(1) （2014武漢模擬）2x2+x=2； (2) （2

32、014秋開縣期末）3x26x2=0 ； （3）（2015黃陂區(qū)校級模擬）x23x7=0【思路點(diǎn)撥】針對具體的試題具體分析，不是一般式的先化成一般式，再寫出a,b,c的值，代入求值即可.【答案與解析】 解：(1)2x2+x2=0，a=2，b=1，c=2，x=，x1=，x2=(2) a=3，b=6，c=2，b24ac=36+24=600，x=，x1=，x2= （3）a=1，b=3，b=7b24ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=【總結(jié)升華】首先把每個(gè)方程化成一般形式，確定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根舉一反三：【變式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：

33、移項(xiàng)，得 ， ， ，類型二、因式分解法解一元二次方程3（2016沈陽）一元二次方程x24x=12的根是（）Ax1=2，x2=6Bx1=2，x2=6Cx1=2，x2=6Dx1=2，x2=6【思路點(diǎn)撥】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【答案】B【解析】 解：方程整理得：x24x12=0，分解因式得：（x+2）（x6）=0，解得：x1=2，x2=6，故選B【總結(jié)升華】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵4解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40； (2)【答案與解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+40，(2x+1+2)20 即，

34、 (2) 移項(xiàng)，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)0，即(x-1)(x+2)0，所以，【總結(jié)升華】解一元二次方程時(shí)，一定要先從整體上分析，選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄈ?(1)可以用完全平方公式用含未知數(shù)的整式去除方程兩邊時(shí)，很可能導(dǎo)致方程丟根，（2）容易丟掉x1這個(gè)根舉一反三：【變式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X1=-6,x2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 .5探究下表中的奧秘，并完成填空： 一元二次方程 兩個(gè)根二次三項(xiàng)式因式分解 x22x+1=

35、0 x1=1，x2=1 x22x+1=（x1）（x1） x23x+2=0 x1=1，x2=2 x23x+2=（x1）（x2） 3x2+x2=0 x1=，x2=13x2+x2=3（x）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=，x2=2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=，x2= 4x2+13x+3=4（x+）（x+）將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化，并寫出來【思路點(diǎn)撥】利用因式分解法，分別求出表中方程的解，總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論【答案與解析】填空：，3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1、x2，則ax2+

36、bx+c=a（xx1）（xx2）【總結(jié)升華】考查學(xué)生綜合分析能力，要根據(jù)求解的過程，得出一般的結(jié)論，解一元二次方程因式分解法蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1（2016廈門）方程x22x=0的根是（）Ax1=x2=0 Bx1=x2=2 Cx1=0，x2=2 Dx1=0，x2=22方程的解是( ) A B C， D，3一元二次方程的解是( ) A； B； C； D；4.方程x2-5x-60的兩根為( ) A6和1 B6和-1 C2和3 D-2和35方程(x-5)(x-6)x-5的解是 (

37、) Ax5 Bx5或x6 Cx7 Dx5或x76已知，則的值為 ( ) A 2011 B2012 C 2013 D2014二、填空題7（2015廈門）方程x2+x0的解是_ _；8方程(x-1)(x+2)(x-3)0的根是_ _9請寫一個(gè)兩根分別是1和2的一元二次方程_ _10若方程x2-m0的根為整數(shù)，則m的值可以是_ _(只填符合條件的一個(gè)即可)11已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則_12（2016隨州）已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x28x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為 三、解答題13（2014秋寶坻區(qū)校級期末）解方程（1）2（x3）2=8（直接開平方法） （2）4x26x3=0

38、（運(yùn)用公式法）（3）（2x3）2=5（2x3）（運(yùn)用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=12（運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?4. 用因式分解法解方程 （1）x2-6x-160 （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2015(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符號(hào)（填0，=0，0），的關(guān)系（填“相等”“不等”或“不存在”） (2)請觀察上表，結(jié)合的符號(hào)，歸納出一元二次方程的根的情況 (3)利用上面的結(jié)論解答下題 當(dāng)m取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-20， 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 沒有實(shí)數(shù)根【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C【解析】解：x

39、22x=0，x（x2）=0，解得：x1=0，x2=2故選：C2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-20， (x-2)(x+1)0.3.【答案】A ； 【解析】可分解為(x-1)(x+4)04.【答案】B；【解析】要設(shè)法找到兩個(gè)數(shù)a，b，使它們的和a+b-5，積ab-6， (x+1)(x-6)0， x+10或x-60 x1-1，x265.【答案】D；【解析】此方程左右兩邊含有相同的因式(x-5)，應(yīng)移項(xiàng)后用因式分解法求解即(x-5)(x-6)-(x-5)0 (x-5)(x-6-1)0， ，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x1， 二、填空題7【答案】x10，x2-1【解析】可提公因式x，得

40、x(x+1)0 x0或x+10， x10，x2-18【答案】x11，x2-2，x33.【解析】由x-10或x+20或x-30求解9【答案】； 【解析】逆用因式分解解方程的方法，兩根為1、2的方程就是(x-1)(x-2)0，然后整理可得答案10【答案】4； 【解析】 m應(yīng)是一個(gè)整數(shù)的平方，此題可填的數(shù)字很多11【答案】2； 【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-20得(x2+y2+1)(x2+y2-2)0又由x，y為實(shí)數(shù)， x2+y20， x2+y2212.【答案】19或21或23【解析】由方程x28x+15=0得：（x3）（x5）=0，x3=0或x5=0，解得：x=3或x=5，當(dāng)?shù)妊?/p>

41、形的三邊長為9、9、3時(shí)，其周長為21；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、9、5時(shí)，其周長為23；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、3、3時(shí)，3+39，不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9、5、5時(shí)，其周長為19；綜上，該等腰三角形的周長為19或21或23. 三、解答題13. 【解析】解：（1）（x3）2=4x3=2或x3=2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=6，c=3，b24ac=（6）244（3）=84，x=，；（3）移項(xiàng)得，（2x3）25（2x3）=0，因式分解得，（2x3）（2x35）=0，x2=4；（4）化簡得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x

42、1=4，x2=514. 【解析】 （1）(x-8)(x+2)0， x-80或x+20， ， （2）設(shè)y2x+1，則原方程化為y2+3y+20， (y+1)(y+2)0， y+10或y+20， y-1或y-2當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 原方程的解為，15.【解析】 (1) 方程的值的符號(hào)（填0，=0，0），的關(guān)系（填“相等”“不等”或“不存在”）160不等0=0相等-80不存在(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根(3)，當(dāng)原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，即且m2；當(dāng)原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，b2 -4ac=20m-15=0，即；當(dāng)原方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)， ，即

43、蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；2. 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運(yùn)用.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)

44、相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)23 B312 C213 D3213如圖，AC是O的直徑，弦ABCD，若BAC=32，則AOD等于( )A64B48C32D764如圖，弦AB，CD相交于E點(diǎn)，若BAC=27，BEC=64，則AOD等于( )A37B74C54D64 （第3題圖） （第4題圖） （第5題圖）5如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若BOD=138，則它的一個(gè)外角DCE等于( )A69B42C48D386（2015酒泉）ABC為O的內(nèi)接三角形，若AOC=160，則ABC的度數(shù)是（）A80B160C100D80或100二、填空題7.在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角及它們所對的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等

45、，那么_ _8.（2015鎮(zhèn)江一模）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A，B，C的度數(shù)之比為3：5：6，則D= .9如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于H，BDOC，則B的度數(shù)是 . ODABC（第10題圖）10如圖，ABC內(nèi)接于O，ABBC，BAC30，AD為O的直徑，AD2 eq r(3) ，則BD . 11如圖，已知O的直徑MN10，正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑OM、OP和O上，且POM45，則AB . （第11題圖） （第12題圖）12如圖，已知A、B、C、D、E均在O上，且AC為直徑，則A+B+C=_度 三、解答題13. 如圖所示，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE為O的直徑

46、，試問兩弦BE與CF的大小有何關(guān)系，說明理由14（2015嵊州市一模）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且ODBC，OD與AC交于點(diǎn)E（1）若D=70，求CAD的度數(shù)；（2）若AC=8，DE=2，求AB的長15如圖，O中，直徑AB=15cm，有一條長為9cm的動(dòng)弦CD在上滑動(dòng)(點(diǎn)C與A，點(diǎn)D與B不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E(1)求證：AE=BF；(2)在動(dòng)弦CD滑動(dòng)的過程中，四邊形CDEF的面積是否為定值?若是定值，請給出證明并求這個(gè)定值；若不是，請說明理由 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】因?yàn)锳=50，ABC=60，BD是O的直徑，所以D=

47、A=50，DBC=40， ABD=60-40=20，ACD=ABD=20，AED=ACD+D=20+50=70， AEB=180-70=110.2.【答案】D； 【解析】圓內(nèi)角大于圓周角大于圓外角.3.【答案】A； 【解析】弦ABCD，BAC=32，C=A=32，AOD=2C=64. 4.【答案】B；【解析】 ACD=64-27=37，AOD=2ACD=74. 5.【答案】A；【解析】 BAD=BOD=69，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得DCE=BAD=69. 6.【答案】D；【解析】如圖，AOC=160，ABC=AOC=160=80，ABC+ABC=180，ABC=180ABC=180

48、80=100ABC的度數(shù)是：80或100故選D二、填空題7【答案】它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等；8【答案】80；【解析】設(shè)每一份是x則A=3x，B=5x，C=6x根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，得A+C=180，B+D=180，則3x+6x=180，解得x=20所以D=9x5x=4x=809【答案】60； 10【答案】；11【答案】； 【解析】如圖，設(shè)ABx，在RtAOD 中: x+（2x）5， x, 即 AB的長. 第11題 第12題12【答案】90 ； 【解析】如圖，連結(jié)AB、BC，則CAD + EBD +ACE=CBD +EBD +ABE=ABC=90.三、解答題13.【答案與解析】解：

49、BE=CF理由：AE為O的直徑，ADBC， ABE=90=ADC， 又AEB=ACB，BAE=CAF， BE=CF14.【答案與解析】解：（1）OA=OD，D=70，OAD=D=70，AOD=180OADD=40，AB是半圓O的直徑，C=90，ODBC，AEO=C=90，即ODAC，=，CAD=AOD=20；（2）AC=8，OEAC，AE=AC=4，設(shè)OA=x，則OE=ODDE=x2，在RtOAE中，OE2+AE2=OA2，（x2）2+42=x2，解得：x=5，OA=5，AB=2OA=1015.【答案與解析】 (1)如圖，作OHCD于H，利用梯形中位線易證OF=OE，OA=OB，所以AF=BE

50、，AF+EF=BE+EF，即AE=BF (2)四邊形CDEF的面積是定值.連結(jié)OC，則，54(cm2)蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練 掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問題； 3.了解兩個(gè)圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個(gè)圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念理解兩圓的位置關(guān)系與d、r1、r2數(shù)量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、直線和圓的位置關(guān)系1直線和圓的三種位置關(guān)

51、系：(1) 相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交這時(shí)直線叫做圓的割線(2) 相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)(3) 相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離2直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么要點(diǎn)詮

52、釋： 這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定要點(diǎn)二、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理1切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要點(diǎn)詮釋：切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.2切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.3切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.要點(diǎn)詮釋：切線長是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.4切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等

53、，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點(diǎn)詮釋：切線長定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.5三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.6三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.要點(diǎn)詮釋：(1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三

54、邊中垂線的交點(diǎn)(1) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.要點(diǎn)三、圓和圓的位置關(guān)系1圓與圓的五種位置關(guān)系的定義兩圓外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交.兩圓內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并

55、且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.2兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：設(shè)O1的半徑為r1，O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：兩圓外離 dr1+r2兩圓外切 d=r1+r2兩圓相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2)兩圓內(nèi)切 d=r1-r2 (r1r2)兩圓內(nèi)含 dr1-r2 (r1r2)要點(diǎn)詮釋：(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)

56、、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.【典型例題】類型一、直線與圓的位置關(guān)系【 356966 ：經(jīng)典例題1-2】1（2015鹽城）如圖，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB為直徑作O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿足ED=EA（1）求DOA的度數(shù)；（2）求證：直線ED與O相切【答案與解析】（1）解；DBA=50，DOA=2DBA=100，（2）證明：連接OE在EAO與EDO中，EAOEDO，EDO=EAO，BAC=90，EDO=90，DE與O相切【總結(jié)升華】本題考查了切線的

57、判定，連接OE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵舉一反三：【 356966 ：經(jīng)典例題1-2】【變式】如圖，P點(diǎn)是AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PEOA于E，以P為圓心，PE為半徑作P .求證：P與OB相切.【答案】作PFOB于F，則可證明OEPOFP，所以PF=PE，即F在圓P上，故P與OB相切. 2（2015黃石）如圖，O的直徑AB=4，ABC=30，BC交O于D，D是BC的中點(diǎn)（1）求BC的長；（2）過點(diǎn)D作DEAC，垂足為E，求證：直線DE是O的切線【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓周角定理求得ADB=90，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可；（2）要證明直線DE是O的切線只要證明EDO=90即

58、可【答案與解析】證明：（1）解：連接AD，AB是O的直徑，ADB=90，又ABC=30，AB=4，BD=2，D是BC的中點(diǎn)，BC=2BD=4；（2）證明：連接ODD是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，DO是ABC的中位線，ODAC，則EDO=CED又DEAC，CED=90，EDO=CED=90DE是O的切線【總結(jié)升華】此題主要考查了切線的判定以及含30角的直角三角形的性質(zhì)解題時(shí)要注意連接過切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線類型二、圓與圓的位置關(guān)系3(1)已知兩圓的半徑分別為3cm，5cm，且其圓心距為7cm，則這兩圓的位置關(guān)系是( ) A外切 B內(nèi)切 C相交 D相離 (2)已知O1與O2相切，O1的半徑為

59、3cm，O2的半徑為2cm，則O1O2的長是( )A1cm B5cm C1cm或5cm D0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ； （2）C.【解析】(1)由于圓心距d7cm，R+r5+38(cm)，R-r5-32(cm) R-rdR+r，故這兩圓的位置關(guān)系是相交(2)兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當(dāng)O1與O2外切時(shí)，dO1O2R+r3+25(cm)；當(dāng)O1與O2內(nèi)切時(shí)，dO1O2R-r3-21(cm)【總結(jié)升華】由數(shù)量確定位置或由位置確定數(shù)量的依據(jù)是：兩圓外離dR+r；兩圓外切dR+r；兩圓相交R-rdR+r；兩圓內(nèi)切dR-r；兩圓內(nèi)含dR-r4已知：如圖，O1與O2外切于A點(diǎn)，直線l與O1、O

60、2分別切于B，C點(diǎn)，若O1的半徑r1=2cm，O2的半徑r2=3cm求BC的長 【思路點(diǎn)撥】首先連接O1B，O2C，O1O2，過點(diǎn)O1作O1DO2C于D，由直線l與O1、O2分別切于B，C點(diǎn)，可得四邊形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在RtO2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的長，即可得BC的長【答案與解析】解：連接O1B，O2C，O1O2，過點(diǎn)O1作O1DO2C于D，直線l與O1、O2分別切于B，C點(diǎn)，O1BBC，O2CBC，四邊形O1BCD是矩形，CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，O2D=O2C-CD=3-2=1（cm），O1與O2外切于A