概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí)

1、隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 基本概念1、排列組合初步（1）排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。 (2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n 種方法來(lái)完成。(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來(lái)完成，則這件事可由mn 種方法來(lái)完成。(4)一些常見(jiàn)排列特殊排列 相鄰 彼此隔開(kāi) 順序一定和不可分辨重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件順序問(wèn)題2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事

2、件及其運(yùn)算（1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事

3、件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，3、概率的定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1 0P(A)1， 2 P() =13 對(duì)于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1 ，2 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =4、五

4、大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時(shí)，P()=1- P(B)（3）條件概率和乘法公式定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，則有。（4）全概公式設(shè)事件滿足1兩兩互不相

5、容，2，則有。此公式即為全概率公式。（5）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，），通常稱為后驗(yàn)概率。如果我們把當(dāng)作觀察的“結(jié)果”，而，理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)（1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的（這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的）。 若事件、相互獨(dú)立，且，則有所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。（證明）由定義，我們可知必然事件和不可能事件與任何事件

6、都相互獨(dú)立。（證明） 同時(shí)，與任何事件都互斥。（2）多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨(dú)立互相獨(dú)立？（3）伯努利試驗(yàn)定義 我們作了次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)

7、生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念在許多試驗(yàn)中，觀察的對(duì)象常常是一個(gè)隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它本身就是一個(gè)數(shù)值，因此P(A)這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字）。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡(jiǎn)單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過(guò)下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)，規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“1”；而出現(xiàn)反面時(shí)，規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“0”。于是稱為隨機(jī)變量。又由于是隨著試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）不同而變化的，所以實(shí)際上是基本事件的函數(shù)，即X=X()。同時(shí)事件A包含了一定量的（例如古典概型中A包含了1，2，m，共m個(gè)基本事

8、件），于是P(A)可以由P(X()來(lái)計(jì)算，這是一個(gè)普通函數(shù)。定義 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)中每個(gè)事件都有唯一的實(shí)數(shù)值X=X()與之對(duì)應(yīng)，則稱X=X()為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為。有了隨機(jī)變量，就可以通過(guò)它來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，能全面反映試驗(yàn)的情況。這就使得我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量的研究，這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象了。一個(gè)隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個(gè)（如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)）或可列無(wú)窮多個(gè)（如電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)），則稱為離散型隨機(jī)變量。像彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離這樣的隨機(jī)變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個(gè)區(qū)間，這稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。1、隨機(jī)變

9、量的分布函數(shù)（1）離散型隨機(jī)變量的分布率設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），（2）。（2）分布函數(shù)對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，通常有，不可能用分布率表達(dá)。例如日光燈管的壽命，。所以我們考慮用落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率表示。定義 設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。也就是說(shuō)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，它表示隨機(jī)變

10、量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。的圖形是階梯圖形，是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，隨機(jī)變量在處的概率就是在處的躍度。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。（3）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義 設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。的圖形是一條曲線，稱為密度（分布）曲線。由上式可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。所以，密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1 。2 。的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于1。如果一個(gè)函數(shù)滿足1、2，則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。3

11、 。4 若在處連續(xù)，則有。它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，雖然有，但事件并非是不可能事件。令，則右端為零，而概率，故得。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。2、常見(jiàn)分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。容易驗(yàn)證，滿足離散型分布率的條件。當(dāng)時(shí)，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)

12、分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)、來(lái)到公共汽車(chē)站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、自動(dòng)控制系統(tǒng)中元件損壞的個(gè)數(shù)、某商店中來(lái)到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)k，即axb 其他，其中k=，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， xb。當(dāng)ax1x2b時(shí)，

13、X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為P(。指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ,0, ,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。 記住幾個(gè)積分： ， 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1 的圖形是關(guān)于對(duì)稱的；2 當(dāng)時(shí)，為最大值；3 以軸為漸近線。特別當(dāng)固定、改變時(shí)，的圖形形狀不變，只是集體沿軸平行移動(dòng)，所以又稱為位置參數(shù)。當(dāng)固定、改變時(shí)，的圖形形狀要發(fā)生變化，隨變大，圖形的形狀變得平坦，所以又稱為形狀參數(shù)。若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分

14、布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(x)和(x)的性質(zhì)如下：1 (x)是偶函數(shù)，(x)(-x)；2 當(dāng)x=0時(shí)，(x)為最大值；3 (-x)1-(x)且(0)。如果，則。所以我們可以通過(guò)變換將的計(jì)算轉(zhuǎn)化為的計(jì)算，而的值是可以通過(guò)查表得到的。 分位數(shù)的定義。3、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù)，若的分布函數(shù)或密度函數(shù)知道，則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。（1）是離散型隨機(jī)變量已知的分布列為，顯然，的取值只可能是，若互不相等，則的分布列如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。（2）是連續(xù)型隨機(jī)變量先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y)，再利

15、用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、二維隨機(jī)變量的基本概念（1）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y）時(shí)，則稱為離散型隨機(jī)量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2

16、）對(duì)于隨機(jī)向量（X，Y），稱其分量X（或Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了X為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，則X的邊緣分布為 ；Y的邊緣分布為 。（2）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1時(shí)，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2y1時(shí)，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（1）一般型隨機(jī)變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2）離散型隨機(jī)變量例35：二維隨機(jī)向

17、量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1100020300pj1（3）連續(xù)型隨機(jī)變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例36：如圖3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨(dú)立。例37：f(x,y)=（4）二維正態(tài)分布=0（5）隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性若X與Y獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和g

18、（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。3、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的和Z=X+Y離散型：連續(xù)型fZ(z)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性例317：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為求C；求X，Y的邊緣分布；討論X與Y的獨(dú)立性；計(jì)算P（X+Y1）。3、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié) 基本概念1、一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，期望就是平均值。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件

19、：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。Y=g(X)離散： 連續(xù)：（2）方差D(X)=EX-E(X)2，方差，標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)D(C)=0；E(C)=CD(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E2(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無(wú)條件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。類(lèi)似的，n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， （3

20、）常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布名稱符號(hào)均值方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布01分布 X01qpE(X)=p，D(X)=pq二項(xiàng)分布 XB(n,p)，（k=0,1,2n）E(X)=np，D(X)=npq泊松分布 P() P(X=k)=，k=0,1,2E(X)= ， D(X)= 超幾何分布 E(X)=幾何分布 ，k=0,1,2E(X)=， D(X)=均勻分布 XUa,b，f(x)=，a, b E(X)=， D(X)=指數(shù)分布 f(x)= ，(x0)E(X)=， D(X)=正態(tài)分布 XN(,2)，E(X)= ， D(X)= 22、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征（

21、1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。協(xié)方差有下面幾個(gè)性質(zhì)：cov (X, Y)=cov (Y, X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）0, D(Y)0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。|1，當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y安全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。與相關(guān)系數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論若隨機(jī)變量X與Y相互

22、獨(dú)立，則；反之不真。若（X，Y）N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是，即X和Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).（2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望（3）原點(diǎn)矩和中心矩對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即uk=E(Xk), k=1,2, .于是，我們有對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即于是，我們有對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為，即大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié)

23、基本概念1、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則對(duì)于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。2、大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）C(i=1,2,),則對(duì)于任意的正數(shù)，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則上式成為或者簡(jiǎn)寫(xiě)成：切比雪夫大數(shù)定律指出，n個(gè)相互獨(dú)立，且具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，它們的算術(shù)平均以很大的概率接近它們的數(shù)學(xué)期望。（2）伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)，有伯