三個二次的求解策略

1、三個二次的求解策略高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題之1 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要部分，它貫穿了整個高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也是歷年高考的重點及熱點，它滲透著分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)型結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，近幾年高考題中涉及到三個“二次”及其應(yīng)用的題型頻繁出現(xiàn)，很受命題者的青睞 ，因此，弄清三個“二次”的知識也就少了塊學(xué)好數(shù)學(xué)的拌腳石。本專題借三個“二次”去研究函數(shù)問題，特別是“二次”在區(qū)間的最值、恒成立、根的分布問題 . 2專題目錄知識要點二次函數(shù)的區(qū)間最值二次不等式恒成立問題二次方程根的分布問題3一、知識要點4一、知識要點1.二次函數(shù)的三種解析式：一般式：頂點式：兩根式：52.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：頂 點：遞

2、減區(qū)間：遞增區(qū)間：3.三個“二次”的基本關(guān)系：一、知識要點6一、知識要點（三個“二次”的基本關(guān)系）71.已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示，請問你能獲取哪些信息？一、知識要點(練習(xí))系數(shù)a、b、c對拋物線的位置有何影響？ 動畫82.若拋物線 與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，且線段OM=ON，再觀察一下，下列哪個選項是正確的？（A）ac+b+1=0 （B）ac+b-1=0（C）ac-b+1=0 （D）ac-b-1=0一、知識要點(練習(xí))9一、知識要點(練習(xí))3.若 對任意實數(shù)都有 ，那么 、 、 、 中哪個最大？哪個最?。縉M01xy10二、二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值11求解二次函數(shù) 在區(qū)間 最值，其解

3、法是抓住“三點一軸”即區(qū)間端點、區(qū)間中點和對稱軸。注意分對稱軸(頂點橫坐標(biāo))在區(qū)間的左、中、右三種情況進(jìn)行討論(下面以開口向上即a0的拋物線為例,開口向下依此類推)。對稱軸位置最小值最大值二、二次函數(shù)的區(qū)間最值12二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸定區(qū)間)O1xy2313二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸定區(qū)間)1yO223x14二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸定區(qū)間)321yO2x15二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸定區(qū)間)1O2y23x16二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸動區(qū)間)yO12xtt+117二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸動區(qū)間)yO12xtt+118二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸動區(qū)間)yO12xtt+11

4、9二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸動區(qū)間)綜上：20二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(定軸動區(qū)間)解:由上題知綜上：略。21二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(動軸定區(qū)間)2yOx22二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(動軸定區(qū)間)2yOx23二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(動軸定區(qū)間)2yOx124二、二次函數(shù)的區(qū)間最值(動軸定區(qū)間)2yOx125解：（I）當(dāng) a = 0, f (x) 為偶函數(shù)；當(dāng) a0, 非奇非偶。（II）( i ) 當(dāng) , 若 , 若 , 例2： 設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f (x) = x2+ | x a |+1 , x為實數(shù)。 （I）討論f (x) 的奇偶性； （II）求f (x) 的最小值。 （2002年高考題）

5、二、二次函數(shù)的區(qū)間最值0.526( ii ) 當(dāng) , 若 , 若 , 函數(shù) f(x) 的最小值f(x)min = 綜上所述:二、二次函數(shù)的區(qū)間最值-0.527練習(xí)1: 已知函數(shù)求 的最值。最大值為 ,最小值為變式1：若 ，求 的最值。變式2：若 ，求 的最值。最大值為 ,最小值為最大值為 ,最小值為二、二次函數(shù)的區(qū)間最值（定軸定區(qū)間）28練習(xí)2: 求函數(shù) 在區(qū)間-1,1上的最小值。練習(xí)3：若函數(shù) 在區(qū)間-1,1上的最大值為6，求a的值。二、二次函數(shù)的區(qū)間最值（動軸定區(qū)間）29練習(xí)4: 已知函數(shù)x-b,b,b0.若f(x)的最大值是7，求b的值。b=1二、二次函數(shù)的區(qū)間最值（定軸動區(qū)間）30例3

6、. 已知 的最大值為100，求a的值。解：由已知對稱軸為當(dāng) 即 時，則有 得 ,矛盾，故舍去。當(dāng)即 時，則得 。當(dāng) ，即 ,與已知矛盾。綜上， 。二、二次函數(shù)的區(qū)間最值（動軸動區(qū)間）131三、不等式恒成立問題32(一)二次不等式在R上恒成立三、不等式恒成立問題33(二)二次不等式在區(qū)間上恒成立：化歸為區(qū)間最值問題A.B.注：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用。三、不等式恒成立問題34例1.若函數(shù) 在R上恒有y0，求m的取值范圍。35二、二次函數(shù)的區(qū)間最值f(x)=2(x-)2+m-m-90, 即m9解：設(shè)f(x)= 2x2-9x+m, x2,3問題等價于f(x)max0例2. 關(guān)于x的不等式在區(qū)

7、間 2,3上，求實數(shù)m的取值范圍恒成立f(3)=m-936則f (12x2 + 4a2) f ( 34ax)12x2 + 4a2 34ax ,令g(x) = x22ax +12a2 = (xa)2 +13a2, 例3. 定義在R上的奇函數(shù) f (x)，當(dāng)x0時， f (x)是減函數(shù)，如果當(dāng) 時,不等式f (12x2 + 4a2) + f ( 4ax3)0恒成立,求a的范圍。解：由題意:奇函數(shù)f (x) 在R上是減函數(shù),即x2 2ax + 12a20對任意x0,1恒成立.其圖象頂點橫坐標(biāo)為a .三、不等式恒成立問題37 例4. 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2,3上，求實數(shù)m的取值范圍恒成立23則 m9

8、設(shè)f(x)= 2x2-9x+m, x2,3據(jù)題意：函數(shù)f(x)2x2-9x+m的圖象與x軸的兩交點分別在區(qū)間(-, 2，3，+)內(nèi)，解：38910y=m23則問題mg(x)min m9記g(x)= -2x2+9x, x2,3)2+g(x)= -2(x-x 2,3例4. 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2,3上，求實數(shù)m的取值范圍恒成立39解：據(jù)題意，=81-8m0由已知得: m9不等式解集為：例4. 關(guān)于x的不等式在區(qū)間 2,3上，求實數(shù)m的取值范圍恒成立40練習(xí)與作業(yè)：1.不等式 在區(qū)間2，3上恒成立 求實數(shù)m的范圍。2.不等式 在區(qū)間2，3上有解， 求實數(shù)m范圍。3.若對任意x (-1,1),恒有

9、求實數(shù)a的取值范圍。4.已知函數(shù)(1)當(dāng)a=1/2時,求f(x)最小值.(2)若對任意f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍。41 (1) 當(dāng)a0時，g(x)min= g(0)0， (2) 當(dāng)0 a 1時，g(x)min= g(a)0， (3) 當(dāng)a 1時，g(x)min= g(1)0， 綜上所述：即12a2 0, 即13a2 0, 即a2 + a 10, 但a 1, 無解.令g(x) = (xa)2 +13a2, 三、不等式恒成立問題42四、二次方程根的分布問題43解：設(shè)x1,x2為方程的兩根，則由題意可得：請同學(xué)們思考一下：這種解法錯在哪里？例1.關(guān)于x的方程2x2+3x-5m=0有兩個小

10、于1的實根，求 m的取值范圍。錯因分析：44正解:設(shè)x1, x2為方程的兩根，則由題意可得：例1.關(guān)于x的方程2x2+3x-5m=0有兩個小于1的實根， 求m的取值范圍。45另解:用圖象法,令則為開口向上,對稱軸為的拋物線,它的圖象如右圖所示:例1.關(guān)于x的方程2x2+3x-5m=0有兩個小于1的實根， 求m的取值范圍。0 xy1x1x246(一)符號根問題：從、x1+x2、 x1x2三方面列不等式（組）兩正根兩負(fù)根異號根四、二次方程根的分布問題47(二)區(qū)間根問題：從、頂點橫坐標(biāo)、 端點值三方面列不等式（組）充要條件圖象類別四、二次方程根的分布問題x48 兩實根都小于ky0 xkx1x20

11、xyx1x2kkx1x2x1x2kkk49 兩實根都大于ky0 xx1x2ky0 xx1x2k50 兩實根在區(qū)間y0 xx1x2y0 xx1x251 兩個實根滿足y0 xx1x2y0 xx1x252 兩個實根有且僅有一根在區(qū)間yx1x20 xyx1x20 xyx1x20 xyx1x20 x53例實數(shù)m為何值時，方程7x2-(m+13)x-m-2=0的兩個實根解：y0 x12由二次方程實根的分布可得：54則問題轉(zhuǎn)化為： 在 0，2上有實根,【解】由例3。設(shè)集合若 求a的取值范圍. 四、二次方程根的分布問題55則原題等價于或解得：故： 在 0，2上有實根,四、二次方程根的分布問題56課堂練習(xí)： 如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的兩個實根中，一個大 于3