如何對雪球結(jié)構(gòu)定價

1、目錄1、初見廬山：什么是雪球產(chǎn)品？ .- 3 -1.1、雪球結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品模式簡介.- 3 -1.2、情景分析.- 4 -2、抽絲剝繭：如何對雪球產(chǎn)品定價？ .- 7 -2.1、雪球結(jié)構(gòu)拆解.- 8 -2.2、有限差分法.- 9 -2.3、蒙特卡羅模擬.- 16 -3、追本溯源：雪球產(chǎn)品是否值得投資？ .- 19 -3.1、什么樣的市場環(huán)境適合投資雪球產(chǎn)品.- 19 -3.2、高票息背后的原因.- 21 -4、推陳出新：雪球產(chǎn)品的創(chuàng)新模式.- 23 -4.1、犧牲部分票息以增加提前敲出的概率.- 23 -4.2、掛鉤資產(chǎn)由單資產(chǎn)替換為一籃子標的.- 25 -4.3、設(shè)置產(chǎn)品虧損后的處理條款.- 2

2、5 -5、總結(jié).- 25 -圖表 1、雪球結(jié)構(gòu)的收益憑證案例.- 4 -圖表 2、雪球結(jié)構(gòu)的收益憑證到期收益分析.- 4 -圖表 3、雪球產(chǎn)品觸發(fā)敲出（未發(fā)生敲入） .- 5 -圖表 4、雪球產(chǎn)品觸發(fā)敲出（曾發(fā)生敲入） .- 5 -圖表 5、雪球產(chǎn)品從未觸發(fā)敲入和敲出.- 6 -圖表 6、敲入且未敲出（到期價格不低于期初價格）.- 6 -圖表 7、敲入且未敲出（到期價格低于期初價格）.- 7 -圖表 8、歐式看漲期權(quán) PDE 示意圖.- 10 -圖表 9、歐式看漲期權(quán) PDE 有限差分格式示意圖.- 10 -圖表 10、顯式、隱式和半隱式有限差分格式示意圖. - 11 -圖表 11、上漲生效觸

3、碰期權(quán) PDE 示意圖.- 13 -圖表 12、雙邊觸碰生效期權(quán)（DOT）PDE 示意圖.- 14 -圖表 13、上漲失效看跌期權(quán)（UOP）PDE 示意圖.- 15 -圖表 14、雙邊失效看跌期權(quán)（DKOP）PDE 示意圖.- 15 -圖表 15、雪球期權(quán)不同情景期權(quán)價格 .- 16 -圖表 16、經(jīng)典蒙特卡羅方法對期權(quán)定價的步驟.- 16 -圖表 17、蒙特卡羅模擬 10000 條軌道的發(fā)展路徑.- 17 -圖表 18、風險中性測度下不同軌道數(shù)量下各種情形發(fā)生的概率占比.- 18 -圖表 19、雪球結(jié)構(gòu)的定價結(jié)果隨著模擬軌道數(shù)量的增加而收斂.- 18 -圖表 20、兩種方法對雪球結(jié)構(gòu)定價結(jié)果

4、的比較.- 19 -圖表 21、本文案例中雪球結(jié)構(gòu)的投資勝率隨著標的資產(chǎn)收益率的提高而增加（控制其他變量） .- 19 -圖表 22、本文案例中雪球結(jié)構(gòu)的貼現(xiàn)價值隨著標的資產(chǎn)波動率的提高而降低（控制其他變量） .- 20 -圖表 23、股指期貨不同年份的年化基差率 .- 22 -圖表 24、重要寬基指數(shù)的收益波動情況（2016/1/4-2021/6/16）.- 23 -圖表 25、階梯型下降的敲出門檻（Step Down）的雪球產(chǎn)品.- 24 -圖表 26、設(shè)置逃生艙結(jié)構(gòu)的雪球產(chǎn)品模式（假設(shè)預(yù)設(shè)觀察期為 90 天）.- 24 -報告正文1、初見廬山：什么是雪球產(chǎn)品？、雪球結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品模式簡介結(jié)構(gòu)

5、化產(chǎn)品 ( Structured Products) 是指運用金融工程技術(shù), 對債券、期權(quán)、互換等工具進行重新設(shè)計后構(gòu)造的復雜金融衍生產(chǎn)品，在海內(nèi)外市場中已經(jīng)有了一定的發(fā)展歷史。若將贖回條款附加到結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品中，即產(chǎn)品存續(xù)期間掛鉤的標的資產(chǎn)滿足提前贖回條件，投資者可以獲得較高收益，具有這種特征的產(chǎn)品稱為自動贖回的結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品。由于贖回條款增加了產(chǎn)品的吸引力，自從法國巴黎銀行在 2003 年 8 月 15 日發(fā)行了首只可贖回結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品后，自動贖回產(chǎn)品的數(shù)量和名義本金不斷增加。目前備受關(guān)注的雪球產(chǎn)品是一類典型的自動贖回結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品，當標的資產(chǎn)的價格在特定日期超過某約定的水平時，產(chǎn)品觸發(fā)自動贖回，因為雪球

6、產(chǎn)品通常能提供較高的票息，所以近年來得到了廣大投資者的青睞，市場規(guī)模不斷擴張。我們首先對雪球結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品進行簡單的介紹，雪球結(jié)構(gòu)屬于路徑依賴的產(chǎn)品，每一個產(chǎn)品都有掛鉤的標的資產(chǎn)（可以是個股、股票指數(shù)或者指定的一籃子股票），且每個產(chǎn)品都有一定的觀察期限，標的資產(chǎn)的價格變化路徑以及最終表現(xiàn)決定了投資者的收益。下表展示了雪球結(jié)構(gòu)收益憑證的案例，該產(chǎn)品的期限為 360 天，掛鉤標的為中證 500 指數(shù)，根據(jù)產(chǎn)品的條款，敲出水平為標的資產(chǎn)期初價格的 103%，敲入水平為期初價格的 80%，雪球結(jié)構(gòu)將從第三個月開始每月觀察期權(quán)是否敲出并每日觀察期權(quán)是否敲入，若在任一敲出觀察日，掛鉤標的收盤價格大于或等于標的

7、指數(shù)的期初價格*103%，投資者可以獲得 100%本金+敲出票息；若在觀察期限內(nèi)既沒發(fā)生敲出也沒發(fā)生敲入，投資者獲得 100%本金+紅利票息；若在觀察期內(nèi)敲入且未敲出，且標的資產(chǎn)的到期價格小于期初價格，投資者相當于將名義本金（100萬）以期初價格買入標的并持有到期，此時投資者發(fā)生虧損；若在觀察期內(nèi)敲入且未敲出，且標的資產(chǎn)的到期價格處于期初價格和敲出價格之間，投資者全額收回本金，無額外收益。產(chǎn)品要素要素性質(zhì)（示例）標的資產(chǎn)中證 500 指數(shù)（000905.SH）觀察期限360 天，從第三個月開始每月觀察敲出+每日觀察敲入期權(quán)結(jié)構(gòu)自動敲入敲出結(jié)構(gòu)名義本金100 萬敲出水平期初價格*103%敲入水平

8、期初價格*80%敲出票息(同紅利票息)25%（年化）敲出事件（每月觀察）若在任一敲出觀察日，掛鉤標的收盤價格大于等于敲出水平敲入事件（每日觀察）若在任一敲入觀察日，掛鉤標的收盤價格小于敲入水平收益計算（不包括本金）敲出（自動提前終止）：25% *名義本金*計息天數(shù)/365未敲入未敲出：25% *名義本金*計息天數(shù)/365（在此計息天數(shù)為 360 天）敲入且未敲出（標的期末價格小于期初價格）：(期末價格/期初價格1)*本金敲入且未敲出（標的期末價格處于期初價格與敲出價格之間）：0圖表 1、雪球結(jié)構(gòu)的收益憑證案例資料來源：繪制情況具體分析合約實際結(jié)束時間投資者收益（不包括本金）是否獲得正收益敲出從

9、第 3 個月開始，10 個敲出觀察日中的任何一日標的資產(chǎn)價格大于或等于滬深 300初始價格的 103%（T 日敲出）T 日合約提前終止25%*T/365*本金是未敲入且未敲出標的價格每日都不低于初始價格的 80%，且每個敲出觀察日都小于初始價格的 103%合約持有到期25%* 360/365*本金是（此時收益最高）敲入且未敲出任一交易日跌破初始價格的 80%，且 10 個敲出觀察日都小于初始價格的 103%，標的資產(chǎn)的期末價格小于期初價格合約持有到期(期末價格/期初價格1) *本金否（發(fā)生虧損）任一交易日跌破初始價格的 80%，且 10 個敲出觀察日都不高于初始價格的 103%，標的資產(chǎn)的期末

10、價格處于期初價格與敲出價格之間合約持有到期0否（保本）圖表 2、雪球結(jié)構(gòu)的收益憑證到期收益分析資料來源：繪制、情景分析在簡單介紹了雪球產(chǎn)品之后，我們?nèi)耘f使用 1.1.中的案例并采用情景分析的形式對每一種情況舉例，試圖更加形象地展示雪球產(chǎn)品的收益結(jié)構(gòu)。上述產(chǎn)品的存續(xù)時間為 360 天（如果敲出合約提前終止），我們不妨假設(shè)從第三個月開始，每隔 30 天觀察產(chǎn)品是否敲出，即產(chǎn)品存續(xù)期內(nèi)的第 30*N 天為產(chǎn)品的敲出觀察日（N=3,4,12），產(chǎn)品在不同路徑下的收益結(jié)構(gòu)有所不同。觸發(fā)敲出，產(chǎn)品提前結(jié)束從第三個月開始，逐月觀察標的資產(chǎn)在敲出觀察日的價格，當標的資產(chǎn)的價格大于等于敲出價格，投資者將獲得 2

11、5%的年化收益率，產(chǎn)品提前贖回。具體而言，在產(chǎn)品的存續(xù)期內(nèi)提前敲出分為兩種情況，一種是雪球產(chǎn)品在在觸發(fā)敲出之前從未敲入（參見圖表 3），另一種是在敲出之前曾發(fā)生過敲入（參見圖表 4），但是這兩種的計息方式是一樣的，下圖表中的案例均在第二個敲出觀察日觸發(fā)了敲出，無論在敲出之前是否觸發(fā)了敲入，投資者獲利了結(jié)，到期收益均為 25%*T/365*本金（T=120），并且全額收回本金。圖表 3、雪球產(chǎn)品觸發(fā)敲出（未發(fā)生敲入）資料來源：繪制圖表 4、雪球產(chǎn)品觸發(fā)敲出（曾發(fā)生敲入）資料來源：繪制從未觸發(fā)敲入和敲出在存續(xù)期內(nèi)，標的資產(chǎn)價格既沒有觸發(fā)敲入，也沒有觸發(fā)敲出，產(chǎn)品到期終止，整個存續(xù)期的年化收益率為

12、25%，投資者到期收回本金，且產(chǎn)品存續(xù)期的票息為 25%*T/365*本金（T=360），這是所有情況中最有利于投資者的一種。圖表 5、雪球產(chǎn)品從未觸發(fā)敲入和敲出資料來源：繪制敲入且未敲出若在產(chǎn)品存續(xù)期內(nèi)，標的價格從未觸發(fā)敲出但觸發(fā)了敲入，此時投資者的收益由標的資產(chǎn)的到期價格決定。若標的資產(chǎn)的到期價格高于期初價格但是低于敲出價格（參見圖表 6），此時投資者收回期初支付的名義本金，沒有額外的票息收益。圖表 6、敲入且未敲出（到期價格不低于期初價格）資料來源：繪制若標的資產(chǎn)的到期價格低于期初價格（參見圖表 7），此時投資者不但不能獲得收益，還要承擔標的資產(chǎn)在產(chǎn)品存續(xù)期間的跌幅所對應(yīng)的名義本金價值，

13、虧損金額為（期末價格/期初價格-1）*名義本金，這也是雪球產(chǎn)品本金發(fā)生虧損的唯一情形。圖表 7、敲入且未敲出（到期價格低于期初價格）資料來源：繪制細心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，其實敲入且未敲出的兩種情況可以合并為一種，已知當 St S0 時，投資者的到期損益為 StS0 ；反之投資者的到期收益為 0，所以合約到期時刻投資者的收益可以表示為max(S0 St , 0) ，故敲入且未敲出的到期損益等同于投資者賣出了一份行權(quán)價為 S0 的看跌期權(quán)的損益。通過以上的情景分析可知，當標的處于窄幅震蕩或者上漲的行情中時，雪球獲得正收益的概率比較大；反之如果標的資產(chǎn)持續(xù)下跌且未快速反彈至敲出水平，投資者到期可能發(fā)生虧

14、損；根據(jù)產(chǎn)品的到期收益結(jié)構(gòu)不難看出，購買雪球結(jié)構(gòu)的投資者其實是賣出了帶有復雜障礙條件的看跌期權(quán)，當標的資產(chǎn)上漲時投資者獲得收益（有天花板），但是當標的資產(chǎn)下跌時，可能承擔和資產(chǎn)價格相同的跌幅。2、抽絲剝繭：如何對雪球產(chǎn)品定價？在上一部分中，我們詳細介紹了雪球結(jié)構(gòu)的基本情況，并以案例的方式對不同情景下的收益結(jié)構(gòu)進行了分析。從本部分開始，我們將深入到定價的層面，首先將復雜的雪球結(jié)構(gòu)拆分成相對簡單的期權(quán)，并嘗試使用有限差分法和蒙特卡羅模擬的方法對各個期權(quán)定價。為了保持一致性，我們?nèi)耘f以 1.1 中的產(chǎn)品條款為例，對產(chǎn)品進行定價分析。不妨假設(shè)在中證 500 指數(shù)在期初的價格為 6500 點，我們使用中

15、證 500 指數(shù)過去兩年（2019/1/1-2020/12/31）的歷史年化波動率 24.55%作為標的波動率的估計值，無風險收益率設(shè)置為 3%，且暫不考慮標的資產(chǎn)的分紅（實際操作中也有將期貨的貼水率作為參數(shù)輸入到模型中）；敲出價格和敲入價格分別為標的資產(chǎn)期初價格的 103%和 80%，存續(xù)期內(nèi)一共有 10 個敲出觀察日，從產(chǎn)品發(fā)行的第三個月末開始（第 90 天），每隔 30 天觀察一次是否敲出，每日觀察是否敲入。產(chǎn)品參數(shù)用符號表示如下：產(chǎn)品期限 T=360年；敲出收益率（同紅利票息）R=25%；敲出觀察日共有 10 個，分別是365= 330 , = 430 , , , 1= 1230；標的

16、當1365236510365前價格 S0 =6500；敲出價格 Kout =6695；敲入價格 Kin =5200。、雪球結(jié)構(gòu)拆解雪球產(chǎn)品的支付結(jié)構(gòu)較為復雜，在標的資產(chǎn)的不同實現(xiàn)情景下收益有所不同。為了進一步分析此產(chǎn)品的收益特征，我們可以將其看作多個結(jié)構(gòu)更簡單的障礙期權(quán)的組合，下面我們具體闡述如何將雪球產(chǎn)品進行分解。根據(jù)雪球產(chǎn)品的支付規(guī)則，我們可以將所有收益情景分成三大類：敲出、未敲入未敲出和敲入未敲出。情景一：敲出若標的價格在觀察日1發(fā)生敲出，則產(chǎn)品自動贖回，收益率=1 1。這種情況下的支付可看作一個上漲生效觸碰期權(quán)（One-Touch Up，OTU），需要注意的是障礙是離散的，且敲出收益依

17、賴于敲出時間。V1 OTU (R R1 *t1, R1 *t2 , R1 *t3 , R1 *t10 )情景二：未敲入未敲出若標的價格一直在敲入價 Kin 和敲出價 Kout 范圍內(nèi)，即未觸碰上下邊界，則產(chǎn)品期末有收益率=1。這種情況下的支付可看作一個雙邊失效觸碰期權(quán)（Double No-Touch，DNT）。V2 DNT (Kin , Kout )情景三：敲入未敲出若標的在存續(xù)期內(nèi)曾經(jīng)敲入，但從未敲出，則在期末的產(chǎn)品支付等價于賣出一個看跌期權(quán)，期末收益率為 max(S0 ST , 0) 。這種情況下的支付可看作一個上漲失效看跌障礙期權(quán)（Up and Out Put，UOP）和一個雙邊失效看跌

18、障礙期權(quán)（Double Knock-Out Put，DKOP）的組合。即做空一份 UOP，做多一份 DKOP：V3 DKOP(K S0 , Kin , Kout ) UOP(K S0 , Kin )我們來驗證下這個期權(quán)組合的支付結(jié)構(gòu)是否等價于雪球產(chǎn)品僅在情景三的支付。首先我們來看此期權(quán)組合的支付情景：情景一：此時 UOP 和DKOP 都敲出，總支付為 0，符合。情景二：此時 UOP 和 DKOP 都沒有敲出，在期末兩者支付相反，總支付為0，符合。情景三：此時價格有觸碰到 DKOP 下邊界，敲出收益為 0，而 UOP 未敲出，在期末總支付為 max(S0 ST , 0) ，符合。綜合來看，期權(quán)

19、V1、V2 和 V3 分別復制了雪球產(chǎn)品在情景一、情景二和情景三的支付結(jié)構(gòu)。因此一單位雪球產(chǎn)品 V 可以看作期權(quán) V1、V2 和V3 的一個組合，其價值滿足如下關(guān)系：V V1 V2 V3、有限差分法方法介紹有限差分法（Finite Difference）是求解低維微分方程的常用方法，它的主要思想是通過差分來近似導數(shù)，從而找到微分方程的近似解。在Black-Scholes 框架下，我們假設(shè)資產(chǎn) S 服從幾何布朗運動，若有一個掛鉤 S 的期權(quán)，其在 t 時刻的價值可表示為標的 S 價格和時間 t 的函數(shù) f (t, S ) ，則期權(quán)價值函數(shù)服從如下 BS 微分方程：f rS ftS 1 22 2

20、2 fS S 2 rf(1)其中 r 表示無風險收益率， 表示標的波動率。我們的求解目標是獲得時刻 0 時，不同標的價格下期權(quán)的價值函數(shù) f (0, S) 。注意到上式對所有價值僅依賴于 t 和 S 的期權(quán)均成立，比如歐式看漲、看跌或者二元期權(quán)等等，對不同支付結(jié)構(gòu)期權(quán)的定價是通過設(shè)定不同的邊界和終值條件而實現(xiàn)的。我們以簡單歐式看漲期權(quán)為例，假設(shè)到期日為 T，行權(quán)價為 K。為了求解方程（1），我們需要明確方程的定義域以及邊界和終值條件：終值條件：邊界條件：f (T , S)= max(S K, 0) f (t, Smax )=Smax Ker (T t ) ,0 t T f (t, 0) 0,0

21、 t T其中 Smax 是一個遠大于 K 的常數(shù)，是方程在空間維度的上邊界。0 是方程在空間維度的下邊界。下圖給出了歐式看漲期權(quán)滿足的 PDE 及其邊界和終值條件。圖表 8、歐式看漲期權(quán) PDE 示意圖資料來源：繪制為了通過有限差分方法求解 f (0, S) ，我們需要先對定義域劃分網(wǎng)格，然后使用差分來近似導數(shù)，從而將等式（1）轉(zhuǎn)化為不同網(wǎng)格點間的線性關(guān)系等式。我們將時間維度上區(qū)間0,T等距劃分為 N 段，間隔為t 。將空間維度的區(qū)間0, Smax 劃分為M 段，間隔為S 。即網(wǎng)格中的每個點都可表示為 it , jS ，其中0 i N,0 j M 。圖表 9、歐式看漲期權(quán) PDE 有限差分格式

22、示意圖資料來源：繪制根據(jù)差分方式的不同，有限差分法可分為顯式、隱式和半隱式方法。這些方法的區(qū)別在于找到了不同相鄰格點之間的線性關(guān)系。我們用符號fi, j 表示f (it, jS) 。舉例來說，顯式方法中我們得到了i 時刻的 fi, j 與 i+1 時刻三個相鄰格點的關(guān)系式。因此給定 i+1 時刻的函數(shù)值，我們可以直接計算 fi, j 。換句話說，給定時刻 T 的函數(shù)終值條件和邊界條件，我們可以從時刻 N 逐步向前迭代計算每個時刻 i 的函數(shù)值，直到時刻 0。圖表 10、顯式、隱式和半隱式有限差分格式示意圖資料來源：繪制不過由于半隱式方法更加穩(wěn)定，收斂速度也更快，我們這里具體介紹半隱式差分格式的

23、推導與使用。我們用以下有限差分來近似方程（1）中的偏導數(shù)：f tfi1, j fi, jtf 1 fi1, j 1 fi1, j 1 fi, j 1 fi, j 1 S2 2S2S2 f 1 fi1, j 1 fi1, j 1 2 fi1, j fi, j 1 fi, j 1 2 fi , j S 22 S 2S 2插入方程（1）中可得：fi1, j fi, j = rjS fi 1, j 1 fi +1, j 1 fi, j 1 fi, j 1 t22S2S1 2 j2 (S )2 fi1, j 1 fi1, j 1 2 fi1, j fi, j 1 fi, j 1 2 fi, j 4S 2

24、S 2r f f2i1, ji, j化簡得到： j fi, j 1 (1 j ) fi, j j fi, j 1 j fi1, j 1 (1 j ) fi1, j j fi1, j 1(2)其中： t ( 2 j2 rj)j 4 t ( 2 j2 r)j 2 t ( 2 j2 rj)j 4進一步我們可以將等式（2）寫成矩陣形式：M1fi M2fi1 b其中fi 和b 是長度為 M-1 的向量：(3)f = f , f, f , fTi i,1i,2i,3i,M1 b ( f f), 0,( f f)T 1i,0i1,0i,Mi1,M , 0, M 1M1 和M 2 是維度(M 1) (M 1)

25、 的矩陣:1-1100 0 021-22030M 11-M 1 M 2 M1 =1 1 211 3022000M 200M 11 M 1 M2 =等式（3）給出了一個向量迭代等式，我們從終值fN 1 出發(fā)向前逐步迭代，最終得到f0 ，即期權(quán)在期初的價格向量。求解產(chǎn)品價值前文中我們提到，雪球產(chǎn)品可以分解為若干障礙期權(quán)的組合，這意味著我們可以先對分解后的多個障礙期權(quán)定價，然后加總得到雪球產(chǎn)品價值。下面我們以前文的雪球產(chǎn)品為例，對收益情景進行分解，并使用有限差分法定價。一、求解情景一期權(quán)價值情景一的支付可看作一個上漲生效觸碰期權(quán)（One-Touch Up，OTU），需要注意的是障礙是離散的，且敲出收

26、益依賴于敲出時間。V1 OTU (R R1 *t1, R1 *t2 , R1 *t3 , R1 *t10 )我們首先給出此 OTU 期權(quán)價格函數(shù)滿足的 PDE 示意圖，圖中給出了方程的邊界和終值條件。其中方程下邊界為 S=0，在下邊界的函數(shù)值為 0；上邊界為一個遠大于 S0 的數(shù)，這里設(shè)定為 4 倍的敲出價格 Kout ，上邊界處各個觀察日ti 函數(shù)值等于敲出收益 R1 *ti ；方程終值條件為 f (T , S) 0 。圖表 11、上漲生效觸碰期權(quán) PDE 示意圖資料來源：繪制利用有限差分方法，我們求解得到 1 元名義本金對應(yīng)的 OTU 期權(quán)價值約為0.06414169 元，即 100 萬元

27、名義本金對應(yīng)的情景一期權(quán)價值為 64141.69 元。二、求解情景二期權(quán)價值雪球產(chǎn)品在情景二的支付等價于一個雙邊觸碰失效期權(quán)（DNT），這里我們根據(jù)障礙期權(quán)平價關(guān)系來簡介求解其價值。首先我們定義雙邊觸碰生效期權(quán)（Double One-Touch，DOT），DOT 與 DNT 支付結(jié)構(gòu)對稱，當標的價格觸碰到敲出價時才進行支付，否則支付為 0。因此，一個雙邊觸碰失效期權(quán)（DNT）與雙邊觸碰生效期權(quán)（DOT）的組合是無風險的，在期末獲得無風險收益 R1 。兩者價格存在如下平價關(guān)系：1DNT DOT RT *erT下面我們先求解與情景二DNT 期權(quán)對應(yīng)的DOT 期權(quán)價值，其價格函數(shù)滿足的 PDE 示意

28、圖如下。方程下邊界為敲入價格 K ，函數(shù)值為 R *T*er (T t ) ；上邊in 1界為一個遠大于 S0 的數(shù)，這里設(shè)定為 4 倍的敲出價格 Kout ，上邊界處各個觀察日t 函數(shù)值等于敲出收益 R *T*er (T t ) ；方程終值條件為 f (T , S) 0 。i 1圖表 12、雙邊觸碰生效期權(quán)（DOT）PDE 示意圖資料來源：繪制利用有限差分方法，我們可以求解得到 1 元名義本金的 DOT 期權(quán)價值約為 0.2296065 元。利用 DOT 和 DNT 平價公式，我們得到 1 元名義本金的DNT 期權(quán)價值約為 0.00977979 元，即 100 萬元名義本金的情景二期權(quán)價值約

29、為 9779.79 元。三、求解情景三期權(quán)價值情景三的支付可看作DKOP 和 UOP 期權(quán)的組合，其價值V3 滿足：V3 DKOP(K S0 , Kin , Kout ) UOP(K S0 , Kin )以下圖表給出了 UOP 期權(quán)的 PDE 示意圖。下邊界為 0 ，函數(shù)值為00f (t, 0) S *er (T t ) ；上邊界為一個遠大于 S 的數(shù)，這里設(shè)定為 4 倍的敲出價格Kout， 上 邊 界 處 各 個 觀 察 日 ti函 數(shù) 值 等 于 0 ； 方 程 終 值 條 件 為f (T , S ) max(S0 S, 0) 。圖表 13、上漲失效看跌期權(quán)（UOP）PDE 示意圖資料來源

30、：繪制以下圖表給出了DKOP 期權(quán)的 PDE 示意圖。下邊界為敲入價格 Kin ，函數(shù)值為 0；上邊界為一個遠大于 S0 的數(shù)，這里設(shè)定為 4 倍的敲出價格 Kout ，上邊界處各個觀察日ti 函數(shù)值等 0；方程終值條件為 f (T , S ) max(S0 S, 0) 。圖表 14、雙邊失效看跌期權(quán)（DKOP）PDE 示意圖資料來源：繪制分別求解上述PDE 可得 1 元名義本金對應(yīng)的UOP 期權(quán)價值為 0.05687924 元， DKOP 期權(quán)價值為 0.00298139，因此 1 元名義本金對應(yīng)的情景三期權(quán)價值為- 0.05389785 元，即 100 萬元名義本金對應(yīng)的情景三期權(quán)價值為-

31、53897.85 元。雪球結(jié)構(gòu)價值根據(jù)以上計算，我們將雪球產(chǎn)品分解定價結(jié)果總結(jié)如下表。100 萬名義本金對應(yīng)的情景一期權(quán)價值為 64141.69 元，情景二期權(quán)價值為 9779.79 元，情景三期權(quán)價值為-53897.85 元，求和得到雪球產(chǎn)品整體收益價值為 20023.63 元。圖表 15、雪球期權(quán)不同情景期權(quán)價格情景期權(quán)價值（元）情景一上漲生效觸碰期權(quán)64141.69情景二雙邊失效觸碰期權(quán)9779.79情景三雙邊失效看跌障礙期權(quán)-上漲失效看跌障礙期權(quán)-53897.85總計雪球結(jié)構(gòu) 20023.63資料來源：測算、蒙特卡羅模擬對于簡單的香草期權(quán)，我們通常使用 BS 模型定價，對于一些復雜的奇

32、異期權(quán)可能并不存在解析解（在上文中我們使用了有限差分法對期權(quán)定價），但是考慮到有限差分法通常比較復雜，因此在實際應(yīng)用中我們常常會嘗試一些其他的定價方式。蒙特卡羅是一種通過模擬標的資產(chǎn)價格隨機運動路徑得到定價產(chǎn)品期望價值，并將此期望價值貼現(xiàn)至現(xiàn)在時點來估計衍生品價格的數(shù)值方法。蒙特卡羅模擬進行衍生產(chǎn)品定價的核心在于生成標的價格的隨機過程，如股價運動服從的伊藤過程，利率在 Hull-White 模型下服從的隨機游走，只要給出具體表達式即可模擬。下面以股票價格為例進行說明：蒙特卡羅模擬隨機產(chǎn)生一組股價的樣本值，即模擬實驗。在產(chǎn)生足夠多樣本值后，模擬實驗的代數(shù)平均數(shù)常用來估計期權(quán)的收益分布期望值，然后

33、用無風險利率對其貼現(xiàn)來得到衍生品的價格。蒙特卡羅模擬的實質(zhì)是模擬標的變量的隨機運動，預(yù)測其衍生品的平均回報，并由此得到衍生品價格的概率解。蒙特卡羅的優(yōu)點在于可以對各種復雜衍生產(chǎn)品進行定價，思想較為直接，但是蒙特卡羅有時收斂較慢，當設(shè)置的路徑條數(shù)較多時會影響定價的效率。下面我們使用蒙特卡羅對上述雪球產(chǎn)品定價。用對數(shù)正態(tài)分布模擬標的資產(chǎn)的價格路徑根據(jù)產(chǎn)品合約的規(guī)定條款，對每一條路徑計算期權(quán)的價值并貼現(xiàn)到初始時刻在初始時刻，計算所有路徑期權(quán)價值貼現(xiàn)的平均值作為最終定價圖表 16、經(jīng)典蒙特卡羅方法對期權(quán)定價的步驟資料來源：繪制為了更加直觀地展示蒙特卡羅方法模擬的標的資產(chǎn)的價格發(fā)展路徑，下圖展示了 10

34、000 條路徑在 720 個節(jié)點下的價格模擬軌道，已知標的資產(chǎn)的期初價格為 6500，在全部路徑中價格的最大值為 16909.40，最小值為 2549.60，均值為 6663.78。圖表 17、蒙特卡羅模擬 10000 條軌道的發(fā)展路徑資料來源：測算在對價格路徑進行模擬之后，我們根據(jù)產(chǎn)品的條款可以知道每一條路徑下的收益情況，從而對雪球產(chǎn)品進行貼現(xiàn)，全部路徑下的貼現(xiàn)價格均值就是期權(quán)的當前價值。為了能與有限差分法相比較，所以在使用蒙特卡羅方法的時候我們也將同樣根據(jù)雪球結(jié)構(gòu)的三種情景分為敲出部分、未敲入未敲出部分和敲入未敲出部分，然后分別對其使用蒙特卡羅方法定價，加總后即可得到產(chǎn)品的總價值。首先我們

35、將目光聚焦于敲出、未敲入未敲出和敲入且未敲出三種情景各自發(fā)生的概率，從而更清晰地了解產(chǎn)品的收益分布情況。下表展示了在不同的模擬軌道數(shù)量下雪球結(jié)構(gòu)各種情形發(fā)生的概率，隨著軌道數(shù)量的增加，各種情形占比也趨于穩(wěn)定。從最終的分布來看，在風險中性測度下，本產(chǎn)品提前敲出的概率是非常大的，占比超過了 70%，此時投資者提前獲利了結(jié)；未敲入且未敲出的軌道數(shù)量占比不到 5%，這是投資者最希望發(fā)生的情況，從結(jié)果來看最終能在整個產(chǎn)品存續(xù)期間年化獲利 25%的概率不到 5%；敲入且未敲出的情形占比接近 25%左右，此時投資者的最大收益為 0，意味著購買該產(chǎn)品投資者有 25%的概率產(chǎn)生虧損。圖表 18、風險中性測度下不

36、同軌道數(shù)量下各種情形發(fā)生的概率占比軌道數(shù)量敲出軌道占比未敲入且未敲出軌道占比敲入且未敲出軌道占比1000 條69.50%4.90%25.60%5000 條71.44%4.26%24.30%10000 條70.44%4.61%24.95%20000 條70.99%4.26%24.76%30000 條70.81%4.45%24.73%40000 條70.85%4.48%24.68%50000 條70.74%4.53%24.73%100000 條70.79%4.41%24.80%500000 條70.71%4.44%24.85%均值70.70%4.48%24.82%資料來源：測算下圖展示了在不同的軌

37、道數(shù)量下雪球產(chǎn)品的定價結(jié)果，隨著模擬路數(shù)量的增加，蒙特卡羅定價的結(jié)果逐漸收斂。當軌道數(shù)量為 1000 條時，該雪球產(chǎn)品收益部分的貼現(xiàn)價值為 17562.12 元，大約在 3 萬次模擬之后結(jié)果收斂到誤差范圍內(nèi)，當模擬次數(shù)達到 50 萬條時，雪球產(chǎn)品收益部分的貼現(xiàn)價值為 20206.23 元。圖表 19、雪球結(jié)構(gòu)的定價結(jié)果隨著模擬軌道數(shù)量的增加而收斂22000.0021610.3420814.70 20599.01 20526.63 20204.27 20206.23 19539.85 19125.5117562.1221000.0020000.0019000.0018000.0017000.00

38、16000.0015000.001000條5000條 10000條 20000條 30000條 40000條 50000條 100000條 500000條資料來源：測算下表展示了有限差分法和蒙特卡羅模擬兩種方法對雪球結(jié)構(gòu)的定價結(jié)果。若從拆分后的結(jié)構(gòu)進行分析，可以看到敲出部分和敲入且未敲出部分定價結(jié)果相差不到 1%，若對整個雪球結(jié)構(gòu)進行分析，可以看到兩種方法的定價結(jié)果相差非常小，使用有限差分法的定價結(jié)果為 20024.63 元，而使用蒙特卡羅模擬的定價結(jié)果為 20206.23 元，兩者相差比例為 0.91%。圖表 20、兩種方法對雪球結(jié)構(gòu)定價結(jié)果的比較萬條軌道）分法完全準確）敲出部分上漲生效觸碰

39、期權(quán)64141.6963911.62-0.36%未敲入且未敲出部分雙邊失效觸碰期權(quán)9779.7910623.018.62%雙邊失效看跌障礙敲入且未敲出部分期權(quán)-上漲失效看-53897.85-54328.390.80%跌障礙期權(quán)加總雪球結(jié)構(gòu)20023.6320206.230.91%對應(yīng)期權(quán)結(jié)構(gòu)有限差分法定價蒙特卡羅模擬（50誤差比例（假設(shè)有限差資料來源：測算3、追本溯源：雪球產(chǎn)品是否值得投資？、什么樣的市場環(huán)境適合投資雪球產(chǎn)品站在投資者的角度，我們需要關(guān)心的是雪球產(chǎn)品是否值得投資以及什么樣的市場環(huán)境更適合投資；對于第一個問題，我們可以利用雪球產(chǎn)品的條款對其定價，并根據(jù)貼現(xiàn)價值進行判斷，報告的第二

40、部分已經(jīng)對此內(nèi)容進行了詳細的討論；對于第二個問題，我們需要對不同的環(huán)境參數(shù)和產(chǎn)品條款進行討論，在本部分中我們將對標的資產(chǎn)的預(yù)期收益率和標的資產(chǎn)的波動率進行分析。標的資產(chǎn)的收益率對本文的案例進行分析，我們發(fā)現(xiàn)當其他條件相同時，標的資產(chǎn)的收益率越高，對投資者越有利，所以若未來一段時間的資產(chǎn)表現(xiàn)較好，投資勝率將提升。在風險中性測度下，默認風險資產(chǎn)的預(yù)期收益率等于無風險利率的收益率，實際投資中當投資者看好標的資產(chǎn)，認為未來不會持續(xù)下跌時，購買雪球結(jié)構(gòu)的意愿將更強。下圖表展示了不同的對數(shù)收益率假設(shè)下，本文中雪球結(jié)構(gòu)收益的分布情況（10 萬條軌道的蒙特卡羅模擬），在同一組隨機數(shù)下，控制其他條件保持一致，當

41、標的資產(chǎn)的對數(shù)收益率從 5%變化到 40%時，雪球結(jié)構(gòu)的投資勝率也單調(diào)遞增。圖表 21、本文案例中雪球結(jié)構(gòu)的投資勝率隨著標的資產(chǎn)收益率的提高而增加（控制其他變量）益率比例5%72.92%4.34%22.74%77.27%10%78.33%3.87%17.80%82.20%15%83.12%3.36%13.52%86.48%20%87.17%2.74%10.09%89.91%25%90.50%2.21%7.29%92.71%30%93.12%1.81%5.07%94.93%35%95.21%1.31%3.48%96.52%40%96.80%0.90%2.31%97.69%標的資產(chǎn)對數(shù)收敲出比例未

42、敲入未敲出敲入且未敲出比例勝率資料來源：測算上述結(jié)論也符合我們的邏輯直覺，對于投資者而言，購買雪球結(jié)構(gòu)相當于賣出了帶有復雜障礙條款的看跌期權(quán)，若標的資產(chǎn)價格上漲概率較大，產(chǎn)品敲出概率增加，敲入且不敲出概率減小，投資者的收益將提升。近年來雪球產(chǎn)品規(guī)模的快速擴張也與權(quán)益資產(chǎn)整體表現(xiàn)較好有關(guān)，若標的資產(chǎn)處于趨勢上漲周期（如 2019 年一季度），投資者獲取正收益的概率增加，若標的資產(chǎn)處于趨勢下跌周期中（如 2018 年），投資者虧損的概率也會相應(yīng)增加。標的資產(chǎn)的波動率對本文的案例進行分析，我們發(fā)現(xiàn)當其他條件相同時，標的資產(chǎn)的波動率越低，雪球結(jié)構(gòu)的貼現(xiàn)價值越高，對投資者越有利，所以若預(yù)期未來一段時間內(nèi)

43、標的波動率會下降，投資勝率將提升。我們不妨考慮極端的情況，若標的資產(chǎn)的波動率為 0，那么資產(chǎn)價格將隨著時間的推移直線上行（假設(shè)標的資產(chǎn)的預(yù)期收益率為無風險收益率），投資者的到期收益有兩種可能：若敲出價格較低，標的資產(chǎn)價格提前敲出，投資者提前獲利了結(jié)；若敲出價格較高，產(chǎn)品持有到期，獲得紅利票息，無論是哪一種情況，投資者的收益均為正，此時投資的勝率為 100%；反之，若標的資產(chǎn)的波動率較大，未來的價格的上下限將寬幅波動，雖然提前敲出的概率變大，但是敲入的概率也在相應(yīng)增加，表示投資者收益的不確定性也在增加。根據(jù)我們的測試，若控制其他條件保持一致（在同一組隨機數(shù)下），當標的資產(chǎn)的年化波動率從 0%變化

44、到 40%時，雪球結(jié)構(gòu)的貼現(xiàn)價值單調(diào)遞減。當標的資產(chǎn)的年化波動率分別設(shè)置為 10%和 30%時，在 10 萬條軌道下標的資產(chǎn)模擬價格的最大值分別為 10546.16 和 25372.89，最小值分別為 3894.27 和 1277.52，雪球定價分別為 137544 元和-3972 元。因此，如果未來市場波動變大，購買雪球產(chǎn)品潛在的最大虧損風險可能增加。圖表 22、本文案例中雪球結(jié)構(gòu)的貼現(xiàn)價值隨著標的資產(chǎn)波動率的提高而降低（控制其他變量）0000000.0% 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.000% 5.003000002

45、5000雪球定價2000015000100005000-50000標的資產(chǎn)的年化波動率資料來源：測算雪球結(jié)構(gòu)的收益受到多重因素的影響，從產(chǎn)品條款的角度出發(fā)，若雪球結(jié)構(gòu)設(shè)置的敲入價格越低，觸發(fā)敲入的概率越小，那么投資者的勝率就越高，產(chǎn)品的平均收益率也會隨之提高，我們建議保守的投資者可以選擇敲入價格較低的產(chǎn)品；當產(chǎn)品條款已確定時，利用本文的案例對標的資產(chǎn)預(yù)期收益率和波動率進行分析，我們發(fā)現(xiàn)當標的資產(chǎn)的預(yù)期收益率較高且處于低波動的狀態(tài)時，投資者未來的潛在收益增加，因此我們建議投資者在購買雪球結(jié)構(gòu)時對未來的標的走勢和波動進行預(yù)判，若預(yù)期未來標的趨勢向上且波動趨于平緩，投資者購買產(chǎn)品的勝率將提高。、高票

46、息背后的原因具有吸引力的敲出（紅利）票息是雪球結(jié)構(gòu)備受歡迎的主要原因之一，為什么產(chǎn)品能提供給投資者如此高的票息？這些收益究竟來自于何處？站在產(chǎn)品發(fā)行方的角度，我們在本部分將分析雪球產(chǎn)品的運作模式以及雪球高票息背后的原因。在報告第二部分的模擬案例中，定價結(jié)果顯示雪球產(chǎn)品到期收益的貼現(xiàn)價值為 20023.63 元（名義本金為 100 萬元），投資者可能會疑惑，證券公司為什么會愿意折價發(fā)行產(chǎn)品？其實不然，對于產(chǎn)品的發(fā)行方而言，一方面投資者期初支付的名義本金（100 萬）可以投資產(chǎn)品獲取收益；另一方面，細心的投資者可能會發(fā)現(xiàn)，雪球掛鉤的標的資產(chǎn)通常為中證 500 指數(shù)，產(chǎn)品發(fā)行方在對沖時能獲取相當一部

47、分的收益，下面我們將對其展開分析。對沖中的高拋低吸對于投資者而言，購買雪球結(jié)構(gòu)相當于賣出了帶有障礙條件的看跌期權(quán)，當標的資產(chǎn)上漲時投資者獲得收益（有天花板），但是當標的資產(chǎn)下跌時，承擔和資產(chǎn)價格相同的跌幅。對于產(chǎn)品的發(fā)行方則恰恰相反，賣出雪球結(jié)構(gòu)相當于買入了帶有障礙結(jié)構(gòu)的看跌期權(quán)。雖然雪球結(jié)構(gòu)希臘字母的計算相較于普通的期權(quán)更加復雜，但是對沖的基本思想是相同的。對于產(chǎn)品的發(fā)行方而言，買入看跌期權(quán)的對沖是收益性對沖，對標的資產(chǎn)持續(xù)的高拋低吸是收益的重要來源之一。舉例而言，假設(shè)當前做多一份看跌期權(quán)的 delta 為-0.5，如果標的資產(chǎn)的價格上漲了 100 元，看跌期權(quán)的 delta 增加到-0.4

48、，為了持續(xù)保證 delta 中性，期權(quán)交易員此時需要減少頭寸（高拋）；反之如果標的資產(chǎn)的價格下跌了 100 元，看跌期權(quán)的 delta 降低為-0.6，此時期權(quán)交易員需要買入更多的現(xiàn)貨以保持 delta 中性，所以在現(xiàn)貨下跌的時候反而在補充頭寸（低吸），若標的資產(chǎn)價格不斷波動，對資產(chǎn)高拋低吸的機會變多，券商的對沖收益也會隨之加大。股指期貨的基差收益目前雪球產(chǎn)品的標的資產(chǎn)多為中證 500 指數(shù)，在進行期權(quán)的對沖時，由于股指期貨常年處于貼水的狀態(tài)，產(chǎn)品發(fā)行方可以使用股指期貨多頭代替現(xiàn)貨指數(shù)多頭，從而獲取基差的收益。首先定義股指期貨的年化基差率=（股指期貨價格-現(xiàn)貨價格）/現(xiàn)貨價格*365/剩余到期

49、自然日，下表展示了中證 500 股指期貨、滬深 300 股指期貨和上證 50 股指期貨分年度的年化基差率，不難看出中證 500 股指期貨和滬深 300 股指期貨均長期處于貼水狀態(tài)中，且中證 500 期貨的貼水程度更深，2016 年以來的當月合約的年化基差率均值為-19.94%，2021 年至今的年化基差率均值為-11.51%；滬深 300股指期貨從 2016 年以來的當月合約的年化基差率均值為-12.11%，2021 年至今的年化基差率均值為-8.53%。當其他條件相同時，若使用股指期貨作為對沖工具，相對于直接使用現(xiàn)貨對沖，股指期貨多頭的貼水也能為投資者帶來不菲的收益。圖表 23、股指期貨不同

50、年份的年化基差率注：2021 年數(shù)據(jù)截至 2021/6/16；資料來源：Wind，整理標的資產(chǎn)的高波動性目前雪球產(chǎn)品的掛鉤標的大多為中證 500 指數(shù)，我們推測出現(xiàn)這一局面的原因一方面是由于中證 500 股指期貨的貼水相對更深，期貨對沖的收益增厚更多，另一方面是因為中證 500 的波動較大，產(chǎn)品發(fā)行人在對沖時獲利明顯。對于產(chǎn)品發(fā)行方而言，賣出雪球結(jié)構(gòu)相當于買入了帶有障礙條款的看跌期權(quán)，作為期權(quán)的買方，發(fā)行方希望波動率上升從而獲取收益；標的資產(chǎn)的波動加大，產(chǎn)品發(fā)行方高拋低吸的機會也相應(yīng)增多。下表展示了部分寬基指數(shù)的收益波動情年化收益率年化波動率收益波動比最大回撤中證 500 指數(shù)-1.12%23

51、.37%-0.0543.13%滬深 300 指數(shù)7.25%19.76%0.3732.46%上證 50 指數(shù)8.18%19.31%0.4228.87%況，可以看到中證 500 指數(shù)的年化波動率要高于滬深 300 和上證 50 指數(shù)。圖表 24、重要寬基指數(shù)的收益波動情況（2016/1/4-2021/6/16）資料來源：Wind，整理在一定程度上，雪球產(chǎn)品同時滿足了發(fā)行方和投資者的需求，因此成為了場 外市場中的“香餑餑 ”。對投資者而言，雪球產(chǎn)品的高票息和高勝率極具吸引力（雖 然在實際情況中，大部分產(chǎn)品都提前敲出，到期未敲入且未敲出的產(chǎn)品只占很少 一部分，且還有一部分投資者可能會產(chǎn)生虧損）；對產(chǎn)品