LMS算法原理及推導(dǎo)

1、第八章自適應(yīng)濾波在第五章和第六章中，我們介紹了維納濾波和卡爾曼濾波。維納濾波器參數(shù)是固定的，適合J：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)?？柭鼮V波器參數(shù)是時(shí)變的，適合非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。然U,只有在信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性先驗(yàn)已知的情況卜，這兩種濾波技術(shù)才能獲得最優(yōu)濾波。在實(shí)際應(yīng)用中，常常無法得到信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性的先驗(yàn)知識(shí)。在這種情況卜，自適應(yīng)濾波技術(shù)能夠獲得極佳的濾波性能，因而具有很好的應(yīng)用價(jià)值。常用的自適應(yīng)濾波技術(shù)有：最小均方（LMS）自適應(yīng)濾波器、遞推最小二乘（RLS）濾波器、格型濾波器和無限沖激響應(yīng)（IIR）濾波器等。這些自適應(yīng)濾波技術(shù)的應(yīng)用又包括：自適應(yīng)噪聲抵消、自適應(yīng)譜線增強(qiáng)和陷波等?，F(xiàn)在，已經(jīng)有許多信號(hào)處理

2、書籍全而介紹了自適應(yīng)濾波技術(shù)?？紤]到生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)人三本科生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，本章首先介紹最小均方（LMS）自適應(yīng)濾波器原理，在此基礎(chǔ)上介紹自適應(yīng)噪聲抵消器及其生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用，這樣安排更能夠突出本教材的宗旨。第一節(jié)LMS自適應(yīng)維納濾波器LMS自適應(yīng)濾波器是使濾波器的輸出信號(hào)與期壑響應(yīng)之間的誤差的均方值為最小，因此稱為最小均方（LMS）自適應(yīng)濾波器。8丄1基本LMS算法構(gòu)成自適應(yīng)數(shù)字濾波器的基本部件是自適應(yīng)線性組合器，如圖8-1的所示。設(shè)線性組合器的M個(gè)輸入為x伙-M）,其輸出y（燈是這些輸入加權(quán)后的線性組合，即.1/(8-1-2)(8-1-3)定義權(quán)向量W=且X（R）=X（伙-1）0,X（伙-M）T

3、）F在圖8-1中，令d（燈代表“所期羞的響應(yīng)”，并定義誤差信號(hào)（k）=d（k）-y（k）=伙-i）y-1式（8-1-3）寫成向量形式(8-1-4)(8-1-5)S(k)=d(k)-WTX伙)=d(k)-XT(k)W誤差平方為s2(k)=d2(k)2d(k)XT(k)W+WTX(k)XT(k)W上式兩邊取數(shù)學(xué)期望后，得均方誤差Ek)=EdXk)-2Ed(k)XT(k)W+WTEX(k)XT(k)W定義互相關(guān)函數(shù)行向最R：磴=Ed伙)燈伙)(8-1-6)和自相關(guān)函數(shù)矩陣Rxx=EX(k)XT(k)(8-1-7)則均方誤差(8-1-5)式可表述為/伙)=Ed2(k)-2磴W+(8-1-8)這表明，均

4、方誤差是權(quán)系數(shù)向最W的二次函數(shù)，它是一個(gè)中間向上凹的拋物形曲面，是具有唯一最小值的函數(shù)。調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)使均方誤差為最小，相當(dāng)J：沿拋物形曲面卜降找最小值?？梢杂锰荻葋砬笤撟钚≈?。將式(8-1-8)對權(quán)系數(shù)W求導(dǎo)數(shù)，得到均方誤差函數(shù)的梯度呼)卞訕2E，(R)6E，(R)了=郵化(8-1-9)令V(k)=0,即可求出最佳權(quán)系數(shù)向鼠(8-1-10)它恰好是第五章研究Wiener濾波器遇到過的Wiener-Hopf方程。因此，最佳權(quán)系數(shù)向鼠比曲通常也叫作Wienei權(quán)系數(shù)向量。將W測代入式(8-1-8)得最小均方誤差訕附伙)-吧8-1-11)利用式(8-1-10)求最佳權(quán)系數(shù)向屋的精確解需要知道Kx和只刈

5、的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，而且還需要進(jìn)行矩陣求逆等運(yùn)算。WidiowandHoff(I960)提出了一種在這些先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)未知時(shí)求肥“的近似值的方法，習(xí)慣上稱為WidiowandHoffLMS算法。這種算法的根據(jù)是最優(yōu)化方法中的最速卜降法。根據(jù)最速卜降法，“卜一時(shí)刻”權(quán)系數(shù)向屋W（R+1）應(yīng)該等J：“現(xiàn)時(shí)刻”權(quán)系數(shù)向量W伙）加上一個(gè)負(fù)均方誤差梯度-V（燈的比例項(xiàng)，即W（k+1）=W（燈“V伙）（8-1-12）式中，“是一個(gè)控制收斂速度與穩(wěn)定性的常數(shù)，稱之為收斂因子。不難看出，LMS算法有兩個(gè)關(guān)鍵：梯度V伙）的計(jì)算以及收斂因子“的選擇。（一）V（燈的近似計(jì)算精確計(jì)算梯度V伙）是十分困難的，一種粗略的但是卻

6、十分有效的計(jì)算V伙）的近似方法是：直接取，（燈作為均方誤差Eek）的估計(jì)值，即令伙)=可，伙)=2(k)(k)式中的V鍬)為7鍬)=Vd(k)一WT(k)X(k)=-X(k)將式(8-1-14)代入式(8-1-13)中,得到梯度估值V(k)=-2s(k)X(k)J是，WidiowHoffLMS算法最終為W(R+1)=W(k)+2jus(k)X伙)式(8亠15)的實(shí)現(xiàn)方框圖如圖82所示(8-1-13)(8-1-14)(8-1-15)卜而分析梯度估值P伙）的無偏性?；铮┑臄?shù)學(xué)期望為伙）=-2X（W）=-2EX（k）d（k）-XT（k）W（k）=-2Rxd-RxxW（k）=V伙）（8-1-16）在上

7、面的推導(dǎo)過程中，利用了d（燈和鍬）一-者皆為標(biāo)最的事實(shí)。在得到最后的結(jié)果時(shí)，利用了式（8-1-9）。式（8-1-16）表明，梯度估值&（約是無偏估計(jì)。（-）“的選擇對權(quán)系數(shù)向杲更新公式（8-1-15）兩邊取數(shù)學(xué)期望，得EW(k+1)=EW(R)+2jLiEe(k)X(k)=EV(k)+2“EX伙)d(k)-XT(k)W伙)=(/一2嘰)EW(k)+2嘰(8-1-17)式中，7為單位矩陣，Rxx=EX(k)XTXT(k)和心(幼。當(dāng)R=0時(shí)，E(1)=(I-2Rxx)EW(o)+2皿對=利用上式結(jié)果，則有EW(2)=(/-2皿)EW(1)+2嘰d=(/-2RXX)2EW(0)+2“士(/-2“心

8、)Rxdr-0起始時(shí)，EW(0)=W(0)故EW(2)=(Z-2pRxx)2W(0)+2/(7-2心Jgi-O重復(fù)以上迭代至R+l,則有EW伙+1)=(Z-2“心*尸用+一2“心J心d(8亠18)1-0由炳是實(shí)值的対稱陣，我們可以寫出其特征值分解式(8-1-19)=eseT=eze1這里，我們利用了正定陣0的性質(zhì)Ql=Q且工=邊(右,婦)是対角陣，其對角元素人是心的特征值。將式(8-1-19)代入式(8-1-18)后得EW(k+L)=(I-2QXQ-1)k+1W+2“(2應(yīng)工0巧心(8-1-20)J-0注意到以卜恒等式及關(guān)系式：a-2噸0=(ee_1-2噸(8-l-21a)=g(z-2/z)e

9、-Ir=Q(I-2)Qi0(/-2“工)0=g(7-2Az)/e-1k8赳(/2“0工0-y=Z2(/-2“工)Q“/-0j-0=g(2/S)-1g-1(8-l-21b)(3)假定所有的對角元素的值均小(這可以通過適當(dāng)選擇“實(shí)現(xiàn))，貝Ilun(/-2/Z)i+1=0(8-1-21C)00(4)R-x=QYlQl(8-l-21d)將式(8亠21a)(8-l-21d)代入式(8-20),結(jié)果有EW伙+1)=0丹0傀d=RRxd=Wpt(8-1-22)由此可見，當(dāng)?shù)螖?shù)無限増加時(shí)，權(quán)系數(shù)向覺的數(shù)學(xué)期望值可收斂至Wiener解，其條件是對角陣(/-2“工)的所有對角元素均小于1,即|1-2心1或0/

10、(8-1-23)Amx其中人nx是心V的最大特征值。稱為收斂因子，它決定達(dá)到式(8-1-22)的速率。事實(shí)上,用伙)收斂丁比0由比值d=人述/幾迪決定，該比值叫做譜動(dòng)態(tài)范圍。人的d值喻示要花費(fèi)很長的時(shí)間才會(huì)收斂到最佳權(quán)值?？朔@一困難的方法之一是產(chǎn)生正交數(shù)據(jù)?；綥MS自適應(yīng)算法如卜：初始化：W(0)=0;心0);選擇；/：o；/幾maxFork=1tonfinaldo:W(k)=W伙_1)+2jnx(k)一WT(k一1)X(幼X(k)LMS自適應(yīng)濾波器如圖8-3所示。8丄2基本LMS算法的性能LMS自適應(yīng)濾波器的性能通常用所謂的“失調(diào)駅”進(jìn)行評估。失調(diào)M(k)定義為EW(k-l)rX(k)/

11、2式中，V(燈是自適應(yīng)濾波器與最佳濾波器的離差。根據(jù)Macclu(1986)的分析，LMS濾波器與最佳權(quán)的離差V(約可以寫成兩個(gè)離差分屋Z和，即V(k)=Vn(k)+V(k)(8-1-24)噪盧離差Wg)和滯后離差(燈具有以卜遞推式：V(k)=Z-2“X(約X()V伙-1)+pXTk)eo(k)(8-1-25)V(k)=I-2pX(k)XT(kyyl(k-1)-T(k)(8-1-26)其中eo(k)=x(k)-Wjpt(k)X(k)(8-1-27)V(k-l)=W(k+l)-W)pl(k)(8-1-28)且T(燈是LMS濾波器試圖“學(xué)習(xí)”的最佳濾波器的時(shí)間變化，定義為T(k)=Wtpl(k+l

12、)-Wopt(k)(8-1-29)如果*足夠人，使得算法可以在穩(wěn)態(tài)考慮，那么，式(8-1-25)和(8-1-26)的初始值就可以置為零。卜面假定：V伙-1)的擾動(dòng)與在向鼠X(約中包含的所有過去的樣本值獨(dú)立。且還需要假定：與X(約獨(dú)立，這在本質(zhì)上意味著序列X(約是獨(dú)立的。這一假定盡管不現(xiàn)實(shí),但是當(dāng)“很小以及時(shí)間變化T(燈很慢時(shí)，該假定可以成立。因此，我們允許這一獨(dú)立性。回顧第五章，獨(dú)立性假設(shè)意味著正交原理成立，即日.訛)”你伙)X(R)Xp)=0(8-1-30)將此正交結(jié)果代入式(8-1-25),直接得甲伙)=0(8-1-31)對T-V(k),其均值不為零。令V(k)=Z(k)+Z(k)(8-1

13、-32)其中EV(k)=Z(k)(8-1-33)EZ(k)=0(8-1-34)BershadandMacchi(1991)證明了以卜結(jié)果。其一，恢復(fù)誤差的所謂“失調(diào)由M伙)=可伙)+易(燈+%(燈(8-1-35)給出，其中(8-1-36)叼伙)OZ(kl)HRx(k)Z(k)&伙川EZ伙_1)譏伙吃伙_】)(8-1-37)(8-1-38)(8-1-39)(8-1-40)(8-1-41)(8-1-42)(8-1-43)n(EV(k-l)HRx(k)Vk-l)Rx(k)DEX(k)XT(k)此處，符號(hào)H代表共軌轉(zhuǎn)置。其二，在緩慢尖化條件卜，總的跟蹤失調(diào)為M(k)=sl+sll(k)其中叼是當(dāng)kT8

14、時(shí)匂(燈的極限,即有Sn伙)=6(燈口05“(M+1)幾(幾+億)式(8-1-41)中,3(M+1)n=7pM(M-1)這里，。是信躁比，代是躁聲功率。第二節(jié)自適應(yīng)噪聲抵消器基r維納理論的自適應(yīng)噪聲抵消方法利用了自適應(yīng)最優(yōu)濾波概念，在信號(hào)處理領(lǐng)域已經(jīng)被證明非常有用。自適應(yīng)噪聲抵消的目的是要去除主信號(hào)中的背景噪聲。主信號(hào)由有用信號(hào)和背景噪聲組成，而背景噪聲與參考信號(hào)中的噪聲相關(guān)。因此，自適應(yīng)噪聲抵消技術(shù)主要依賴于從主信號(hào)和噪聲中獲取參考信號(hào)。1957年，Howells等提出并建立了一個(gè)自適應(yīng)噪盧抵消(ANC)系統(tǒng)來消除天線信號(hào)的旁瓣。此系統(tǒng)中的參考信號(hào)由一輔助大線提供，且濾波器有兩個(gè)權(quán)重。Z后，

15、Wukow和Hoff發(fā)展了最小均方誤差(LMS)自適應(yīng)算法和稱為自適應(yīng)線性閾值邏輯單尤(ADALINE)的模式識(shí)別方法。1965年，基最小均方誤差準(zhǔn)則(LMS)的自適應(yīng)噪聲抵消首次得以實(shí)現(xiàn)，隨后，自適應(yīng)噪聲抵消在信號(hào)處理、地震和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域均獲得成功應(yīng)用。8.2.1自適應(yīng)噪聲抵消原理自適應(yīng)濾波器已經(jīng)在信道均衡、回波消除、雷達(dá)、線性預(yù)測、譜分析和系統(tǒng)識(shí)別等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。本節(jié)將專門討論自適應(yīng)濾波器用作自適應(yīng)噪聲抵消的應(yīng)用?；S納理論的自適應(yīng)噪聲抵消需要無限加權(quán)濾波器，以極小化輸出誤差。為了實(shí)現(xiàn)維納濾波方案，必須使用有限加權(quán)濾波器。換句話說，自適應(yīng)濾波器必須假定維納濾波器是一個(gè)有限沖激響應(yīng)如圖8

16、-4(a)所示是基J：維納濾波器的自適應(yīng)噪聲抵消原理方框圖。主信號(hào)x()由有用信號(hào)s(“)和背景噪盧y(“)構(gòu)成，其中s(/?)和v(n)不相關(guān)。參考信號(hào)r(/?)可與s()或v(/?)相關(guān)。v(/?)是背景噪聲心)的最佳估計(jì)。；(”)可以通過選擇最佳FIR維納濾波器的最佳加權(quán)w()計(jì)算得出，即v(n)=w/Z(n-/W)m=0=w0(n)r(n)+wx(n)r(n-l)+-+ww(n)r(M-Af),其中，M表示濾波器的階；r（n-m）由r（）延時(shí)獲得。具有M個(gè)權(quán)重濾波器的估計(jì)謀差（）由卜式定義:e(n)=x(n)-v(n)=x(n)-w7(n)r(n)0mM(8-2-1)(8-2-2)其中

17、W（/7）=Wo()、Wg)心)、心-1)r(n)=-由正交原理有E(e(n)r(n)=0,所以w()和r(n)正交。對式(82-2)兩邊取平方和數(shù)學(xué)期望，可得=x(n)2-2x(/i)r(n)rw(n)+w(w)rr(w)r(n)rw(n)Ee(n)2=Ex(n)2-2Ex(譏(“)?里S)+里(川耳匸(址()丁里()然后，式(82-4)可簡化如卜：Ee(n)2=Ex(n)2-2Prw+wr/?w(8-2-3)(8-2-4)(8-2-5)其中，輸入信號(hào)S（“）和參考欠鼠廠（）Z間的互相關(guān)用表示，即再設(shè)2“(亦(%)則式(8-2-9)滿足卜列不等式P=Ex(n)r(n)(82-6)R表示輸入自

18、相關(guān)矩陣，即(8-2-7)式（82-5）中的均方估計(jì)誤差應(yīng)該相對濾波器權(quán)重有極小值，即dE(e(n)2)嘰0E(g)2)=-2P+2Rw(8-2-8)再設(shè)2“(亦(%)則式(8-2-9)滿足卜列不等式P=Ex(n)r(n)(82-6)再設(shè)2“(亦(%)則式(8-2-9)滿足卜列不等式P=Ex(n)r(n)(82-6)令均方估計(jì)誤差函數(shù)的梯度等丁0,可得最佳FIR濾波器（維納濾波器）權(quán)重如匚(82-9)w=/?-1P實(shí)際上，通常和尺的統(tǒng)計(jì)最是未知的。然而，用Widrow和Hoff提出的方法迭代求解式（82-9）能夠克服這一限制。圖8-4（b）表示了自適應(yīng)濾波器的方框圖。如果參考信號(hào)廠（）和主信號(hào)

19、中的噪聲V（/7）相關(guān)，則自適應(yīng)濾波器將在輸出端去除其相關(guān)性，具體方法是:從參考信道的噪聲中產(chǎn)生一個(gè)主信道中背景噪聲的估計(jì)值；（”），然后從主信道中減去這個(gè)估計(jì)噪聲v（/?）,那么自適應(yīng)濾波器的輸出就是有用信號(hào)的估計(jì)s（n）o用最速I、降法（或梯度卜降法）可得到式（82-9）的解。自適應(yīng)濾波器的加權(quán)值竺被更新的第（+1）步迭代式為(8-2-10)因此，Aw（/）的估計(jì)十分關(guān)鍵。計(jì)算Aw（/）最簡單最通常的方法是用最速卜降法，且每次迭代選擇的Aw應(yīng)該滿足如卜條件：(8-2-11)其中，8（蘭）表示性能指標(biāo)。假設(shè)Aw很小，則式（82-11）可寫為(8-2-12)(8-2-13)de(w)“巴)一“

20、二5(豈)OW其中，是收斂參數(shù)。最后，把Aw代入式(8-2-10),得，W(77+1)=W(7?)+AW(7?)=W(/7)一/呢(蚊)dw(8-2-14)再設(shè)2“(亦(%)則式(8-2-9)滿足卜列不等式P=Ex(n)r(n)(82-6)再設(shè)2“(亦(%)則式(8-2-9)滿足卜列不等式P=Ex(n)r(n)(82-6)8.2.2基于最小均方誤差準(zhǔn)則(LMS)的自適應(yīng)噪聲抵消從上一節(jié)我們可以看出，如果沒有關(guān)參考信號(hào)向鼠和輸入自和關(guān)矩陣R的先驗(yàn)信息(見式(8-2-9),要實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波器加權(quán)是不可能的。因此Widrow和Hoff提出了另一種可迭代的維納FIR濾波實(shí)現(xiàn)方法。在這種方法中，氐(wS)

21、/5w項(xiàng)用丟棄期塑算子的嶙時(shí)梯度代替，即(8-2-15)=2Ee(n)冒2=-2EeQi)r(n)=-2e(n)r(n)其中,de(n)/dw=5(x(/?)一w7r(n)/w=一ow7r(n)/ow=一r(n)。結(jié)合式(82-14)和式(82-15),濾波器的權(quán)重可被更新為：w(/z+1)=w(/?)+2pe(n)r(n)(8-2-16)綜上所述，基最小均方誤差準(zhǔn)則(LMS)的自適應(yīng)噪聲抵消算法可按以I、步驟實(shí)現(xiàn)：第一步：設(shè)一個(gè)初值w,“(0)；第二步：由式(8-2-17)計(jì)算自適應(yīng)FIR濾波器的輸出v(/?),八Mv(n)=工()/(一m)(8-2-17)/H=0其中，M表示濾波器的階。第

22、三步：估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻的誤差e(n),e(/?)=x(/?)-v(/i)as(n)(8-2-18)第四步：用最速卜降LMS算法更新濾波器權(quán)重Wtt(7?):(8-2-19)Wm(n+1)=WrS)+2pe(n)r(n-m)第五步：校驗(yàn)誤差是否滿足標(biāo)準(zhǔn)。若滿足標(biāo)準(zhǔn)，則停止迭代。若不滿足，則進(jìn)行卜一步;P=Ex(n)r(n)(82-6)第六步:/-/?+!,到卜一個(gè)時(shí)刻，重復(fù)以上步驟，直至滿足耍求為止。收斂參數(shù)必須是正數(shù)，并且滿足:(8-2-20)(8-1-21)其中，人址表示自相關(guān)矩陣尺的最人特征值。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，R的具體值是不知道的，參數(shù)“的值也需要試探性地選擇。若“取值小，能保證收斂，但需

23、要注意的是，如果取得過小，收斂速度將非常慢；相反，若取值人，可以提高收斂速度，卻是以噪聲收斂為代價(jià)的。如果參考輸入信號(hào)M)是頻率為5的正眩信號(hào)，自適應(yīng)濾波器將從主信號(hào)中濾除所有的頻率為4的正眩成分。在這種情況卜，自適應(yīng)濾波器相當(dāng)r一個(gè)槽形濾波器。卜面我們將対槽形濾波器的工作原理作進(jìn)一步的討論。先假定參考輸入信號(hào)M)為r(n)=嚴(yán)代入式(&219)得，w加(“+1)=(7?)+2川)廠沁2町加=0丄M(8-2-22)式(8-2-22)中的Wm(n)由卜式給出，(8-2-23)W7)=兒(必(心咫心將式(82-23)代入式(8-22)得兒(+1)廠5=兒()+2“如)(8-2-24)P=Ex(n)

24、r(n)(82-6)P=Ex(n)r(n)(82-6)式(8-2-24)兩邊同時(shí)取Z變換得Z打廠5=打+2M(8-2-25)P=Ex(n)r(n)(82-6)P=Ex(n)r(n)(82-6)(8-2-27)(8-2-26)被估計(jì)的信號(hào)由卜式定義為咻)=工wm(-加)=工P=Ex(n)r(n)(82-6)將式（82-23）代入式（82-27）得嗆）=工幾（）/H=0式（8-2-28）兩邊同時(shí)取Z變換，并利用式（8-2-26）有P如*Z一嚴(yán)輸出e何能被估計(jì)為A（/?）=X（/7）-V（H）取式（8-2-30）的Z變換有R、V/2（M+1）嚴(yán)E=X（z）_E總一Z一嚴(yán)(8-2-28)(8-2-29

25、)(8-2-30)(8-2-31)P=Ex(n)r(n)(82-6)P=Ex(n)r(n)(82-6)轉(zhuǎn)移函數(shù)H（Z）能被估計(jì)為(8-2-32)很明顯，式（82-32）在乙=嚴(yán)處有一個(gè)零點(diǎn)，這表明槽形濾波器將濾除主信號(hào)x（）中頻率為Q的成分。從式（8-2-32）還可發(fā)現(xiàn)，較小值將使濾波器的所有極點(diǎn)落在單位園內(nèi)，從1何使濾波器穩(wěn)定?；钚【秸`差準(zhǔn)則（LMS）的自適應(yīng)噪盧抵消算法的樣本程序可在很多參考書中找到。8.2.3基于RLS（遞推最小二乘）算法的自適應(yīng)噪聲抵消我們在第三節(jié)討論過，LMS（最小均方）算法是一種有效而簡便的方法。然而，這種方法対快速變化的信號(hào)并不適合，因?yàn)樗氖諗克俣群苈?。RL

26、S（遞推最小二乘）算法是另一種基最小二乘準(zhǔn)則的精確方法，它具有快速收斂和穩(wěn)定的濾波器特性，因而被廣泛地應(yīng)用J：實(shí)時(shí)系統(tǒng)識(shí)別和快速啟動(dòng)的信道均衡等領(lǐng)域。但對J：某些應(yīng)用來說，這種算法的計(jì)算最會(huì)很大，因?yàn)樗看胃滦枰?=次運(yùn)算。這里我們將RLS算法作為一種FIR濾波器權(quán)重少（）的更新算法。RLS算法的估計(jì)準(zhǔn)則是最小二乘時(shí)間平均，即考慮從零時(shí)刻到當(dāng)前時(shí)刻m的所有估計(jì)誤差如卜：n（8-2-33）/=0Ae(/)=x(z)-v(z)(8-2-34)Az/、其中表示主參考信號(hào)中噪盧信號(hào)y(/)的估計(jì)。為了更好地掌握信號(hào)特性的變化，式(8-2-33)中的性能指標(biāo)定義為何=lnV(r)=e2(n)+2(n-

27、l)+-+Ze2(O)(g_2_35)/=0其中久是遺忘因子。將式(8-2-35)刈巴(“)求導(dǎo)，可得最佳濾波器權(quán)重W(/?):=一2丄n(OrG)(8-2-36)P=Ex(n)r(n)(82-6)P=Ex(n)r(n)(82-6)(8-2-39)(8-2-40)把式(8-2-34)代入式(8-2-36),并令式(8-2-36)等丁零，我們可得最佳濾波器權(quán)重W(/7)如下:-2乞幾心X(i)叮r(f)=0(8-2-37)_1=0(8-2-38)式(8-2-38)可簡化為7?(,7)理(”)=P(/?)其中1=0P(n)=X(i)r(i)r=0最后，最佳濾波器權(quán)重蘭S)可以表示為W(/?)=R7

28、(n)P(n)=IR(“)P(n)其中/eG)是R(n)的逆。RLS算法運(yùn)用式(8-2-40)遞推計(jì)算濾波器權(quán)重。R和P在當(dāng)前時(shí)刻估計(jì)如卜:R(n)=XRn1)+r(n)rr(n)P(n)=2P(n-l)+x(n)r(n)(8-2-41)(8-2-42)r(a?)=心)r(n-1)r-M）M為FIR濾波器的階。尺刃）的逆IR何定義為:IR（n）JR：n-r(nrT(8-2-43)式（8-2-43）通過矩陣求逆引理可以簡化為：；/?(/?)=-Z/?(/7-l)-AlRn-l)r(n)rr(n)Z7?(n-l)2+rr(n)/7?(n-l)r(n)利用式(8-2-43)和(8-2-44),式(8

29、-2-40)可以表示如下:(8-2-44)w(n)=w(n-l)+g(n)(8-2-45)其中P=Ex(n)r(n)(82-6)P=Ex(n)r(n)(82-6)其中）表示增益欠量，/77-1）表示在力-1時(shí)刻的濾波器權(quán)重的估計(jì)誤差，二者可分別估計(jì)為/?（/?-l）r（n）&（）=?。?、（=叫）心）=Rn）r（n）(8-2-46)濾波器權(quán)重被更新為=x(n)-wr(n-l)(n)(8-2-47)w(/?)=w(n1)+/7?(n)r(n)e(8-2-48)最后，估計(jì)誤差可計(jì)算如卜I(82-49)LMS算法和RLS算法濾波器更新序列的差別在誤差序列的估計(jì)和?()項(xiàng)出現(xiàn)在相關(guān)項(xiàng)的前面。當(dāng)斤矩陣初始

30、化后的值很小時(shí),RLS更新算法可按如I、的步驟進(jìn)行:其中IR(n)=I/a,Z為mXm單位矩陣，b為很小的正數(shù)，并且所有的權(quán)重系數(shù)初始化為零，即P=Ex(n)r(n)(82-6)在時(shí)刻的值已知，運(yùn)用式(8-2-46)計(jì)算增益矢量g(n)o步驟1：用式(8-2-47)計(jì)算誤差信號(hào)e(/7/7-l).步驟2：用式(8-2-46)計(jì)算増益矢量&()；步驟3：用式(8-2-44)計(jì)算IR(n)；步驟4：用式(8-2-45)或(8-2-48)更新濾波器權(quán)重W(M)；步驟5：估計(jì)噪聲X)計(jì)算如卜:步驟6：計(jì)算估計(jì)誤差e(/7),=x(n)-v(/?)步驟7：返回步驟1進(jìn)行卜一次迭代(HTH+1)。遺忘因子

31、2的選擇取決J：樣本數(shù)n,即n=1-2如果待分析信號(hào)是平穩(wěn)的，則久應(yīng)該選為單位1。否則，幾應(yīng)小J：單位1,以便跟蹤信號(hào)的非平穩(wěn)部分。性能指標(biāo)考慮到了由最鄰近迭代（第次迭代）產(chǎn)生的最鄰近誤差。在實(shí)際應(yīng)用中，較小的兄值能促使平穩(wěn)噪聲信號(hào)的收斂，這種情況只利用了很少的樣本。第三節(jié)生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用本節(jié)中，我們將討論用自適應(yīng)噪聲抵消從有用的生物醫(yī)學(xué)信號(hào)中消除干擾的應(yīng)用。831自適應(yīng)噪聲抵消法增強(qiáng)心電圖（ECG）監(jiān)護(hù)ESU（Anelectrosurgicalunit）（以卜簡稱電刀）是一種醫(yī)療設(shè)備。它被廣泛地應(yīng)用J：切割組織和凝結(jié)血管，會(huì)產(chǎn)生調(diào)制在120Hz的射頻信號(hào)。記錄心電信號(hào)的心電圖（ECG）電極能夠采

32、集到出現(xiàn)在病人皮膚表面的人ESU電壓。電刀工作時(shí)能夠產(chǎn)生信噪比人約為-90DB的非平穩(wěn)干擾，這種干擾能夠淹沒有用的心電信號(hào)。為了增強(qiáng)在手術(shù)室里的心電監(jiān)護(hù)，Mlderman等提出了一種自適應(yīng)噪聲抵消的方法。該方法能夠從心電信號(hào)中消除60Hz的電源線干擾。Yeldman等提出的方法由兩步組成，如圖84是整個(gè)系統(tǒng)的方框圖。第一步，利用被動(dòng)式射頻濾波器消除高壓射頻噪聲，這些被動(dòng)式濾波器為心電圖電極提供了高阻抗負(fù)載。在被動(dòng)式濾波器處理后，主動(dòng)式濾波器被用來消除剩余的高J*600Hz的噪聲信號(hào)。盡管ECG的信噪比從-90DB改進(jìn)為-10DB（人約80dB的動(dòng)態(tài)范閑），但是在低頻頻率點(diǎn)60Hz、120Hz和

33、180Hz上仍然剩余有較強(qiáng)的干擾噪盧。第二步，用自適應(yīng)噪聲抵消方法從ECG信號(hào)中消除較強(qiáng)的低頻干擾。然而，Yeldnian等人的研究表明，僅僅運(yùn)用自適應(yīng)噪盧抵消方法1何又沒有任何預(yù)處理濾波器，要消除所有ECG信號(hào)干擾是不可能的。（a）電刀干擾阻塞系統(tǒng)(b)數(shù)字式自適應(yīng)噪聲抵消器內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖85電刀全系統(tǒng)方框圖一種基J：LMS算法的自適應(yīng)濾波器如圖8-6所示。這種自適應(yīng)濾波器采用了雙參考信道，|何不是傳統(tǒng)上的單參考信道。采用雙參考信道是因?yàn)橥瑫r(shí)存在兩個(gè)不同的干擾：低頻干擾(25Hz)來源射頻電流流動(dòng)的波動(dòng)以及60Hz、120Hz的導(dǎo)線頻率失真等。為了控制自適應(yīng)處理的收斂，參考信號(hào)被分為兩類成分：如

34、低頻干擾和干擾，其中干擾是截止頻率為25Hz的數(shù)字低通濾波器導(dǎo)致的導(dǎo)線頻率失真。此外，在主信道和高頻參考信道中采用自動(dòng)增益控制單元來歸一化輸入功率，并改善自適應(yīng)處理的性能。如圖8-6是雙參考自適應(yīng)噪聲抵消器的方框圖。在這個(gè)應(yīng)用實(shí)例中，抽樣率為400Hz。對兩個(gè)不同的參考信道，收斂參數(shù)“在0.02和0.2Z間取值。參考信道的輸入功率進(jìn)一步被歸一化。值得注意的是，圖86中的D表示由因果低通濾波器引起的延遲。軻出8-6雙參考信道自適應(yīng)噪聲抵消器如圖87表示BOVIE電刀凝血過程中的噪聲消除。關(guān)鍵在丁要運(yùn)用雙參考輸入，通過選擇適當(dāng)?shù)摹爸祦砜刂剖諗柯省i一TZj畫.r時(shí)恫f,4-BOVI畋EOVLE開

35、8-7消除/凝固綜上所述，Yeldenmn等人的工作表明，在自適應(yīng)濾波處理之前，生物醫(yī)學(xué)信號(hào)的預(yù)處理是十分必要的，以便消除高頻干擾噪慮。研究結(jié)果表明，模擬/數(shù)字濾波器和ANC（自適應(yīng)噪聲抵消）的結(jié)合可有效地從背景噪聲中獲取ECG心電信號(hào)。&32自適應(yīng)噪聲抵消方法增強(qiáng)胎兒ECG心電監(jiān)護(hù)在實(shí)際應(yīng)用中，胎兒心率和三個(gè)月以上胎兒數(shù)屋能夠通過記錄懷孕和分娩時(shí)的腹部心電圖來探測。然而，這種腹部心電圖常常被肌肉活動(dòng)和胎兒運(yùn)動(dòng)引起的背景噪聲所污染。胎兒心跳的探測更被強(qiáng)J：其兩倍的母體心跳所模糊。近年來，自適應(yīng)濾波器一直被用來減少背景噪盧和增強(qiáng)胎兒的心電圖。自適應(yīng)抵消器的輸入由母親和胎兒的心跳組成，從母親腹部記

36、錄數(shù)據(jù)。此外，在母親胸部的四個(gè)電極用來記錄母親的ECGo采用基J-LMS算法的自適應(yīng)噪聲抵消器，從那些ECG電極記錄的信號(hào)作為其參考輸入。圖8-8表示母親和胎兒的心電場向最和導(dǎo)聯(lián)的位置。圖8-9表示本研究中使用的多參考噪聲抵消器的方框圖。圖8-7表示其中的一個(gè)參考信號(hào)、主輸入信號(hào)和自適應(yīng)噪聲抵消器的輸出。從圖8-10可以明顯看出通過減弱在輸入信號(hào)中的母親心電信號(hào)，自適應(yīng)噪聲抵消器的輸出結(jié)果中只保留了胎兒的ECG心電信號(hào)。在這項(xiàng)研究中，每個(gè)信道有32個(gè)權(quán)值，采樣頻率是256Hzo在主信號(hào)和多參考信號(hào)輸入到自適應(yīng)噪聲抵消器Z前，通過濾波消除它們中高J35Hz和低J-3Hz的信號(hào)。圖89多參考噪聲抵

37、消器的方框圖為了檢驗(yàn)自適應(yīng)抵消器的性能，我們使用了各種不同的預(yù)處理器（帶寬在0.3-75HZ之間）和另一種采用頻率（512Hz）o圖表示了寬帶胎兒ECG心電增強(qiáng)的結(jié)果。從圖8-11不難看出，在主輸入信號(hào)和參考輸入信號(hào)中都存在60Hz成分的強(qiáng)干擾。自適應(yīng)噪聲抵消器能夠通過減弱母親的ECG心電信號(hào)和60Hz干擾來增強(qiáng)胎兒的ECG心電信號(hào)。（a）參考輸入（胸導(dǎo)聯(lián)）（a）參考輸入（胸導(dǎo)聯(lián)）（b）主輸入（腹部導(dǎo)聯(lián)）WL（O噪聲抵消器輸出圖8-11寬帶胎兒ECG實(shí)驗(yàn)結(jié)果（帶寬,0.30.75Hz,抽樣率,512Hz）8.3.3自適應(yīng)噪聲抵消在增強(qiáng)胃電測量中的應(yīng)用n電信號(hào)測竜已經(jīng)被廣泛應(yīng)用r醫(yī)學(xué)診斷中。胃電

38、活動(dòng)可利用胃電圖在體內(nèi)或者體表紀(jì)錄。因?yàn)轶w表胃電測竜是無創(chuàng)的，所以得到臨床診斷的迫切需要。但是，不管是體內(nèi)或是體表測帚都易受到呼吸背景噪聲和由j：運(yùn)動(dòng)造成電極與皮膚z間的位置變化而形成的背景噪聲的影響。目前，已經(jīng)有一些研究者利用信號(hào)處理技術(shù)，例如帶通濾波、鎖相濾波、自回歸建模和自適應(yīng)濾波，來增強(qiáng)胃電信號(hào)。在這一小節(jié)中，我們將要概括地介紹一種由Chen等人提出的研究方法，該方法可從胃電觀測信號(hào)中抵消呼吸背景噪聲，獲得有用的胃電信號(hào)。如圖8-12所示為記錄的體內(nèi)和體表胃電信號(hào)。通過放置七個(gè)Ag/AgCl電極在胃外部的腹部皮膚的不同部位可記錄體表信號(hào)。此外，通過放置一個(gè)沖水的小氣球和一個(gè)壓力傳感器靠

39、近橫膈膜的腹部可以記錄呼吸參考信號(hào)。（b）雙極體內(nèi)胃電信號(hào)（c）參考呼吸信號(hào)圖8-12測量的胃電信號(hào)和呼吸信號(hào)從圖8-12可以明顯看出，呼吸背景噪聲（慢波）和ECG信號(hào)（有層次的釘狀成分）污染入了體表胃電信號(hào)。圖8-13表示圖8-12中信號(hào)的功率譜密度函數(shù)。呼吸信號(hào)的功率譜密度函數(shù)在0.3Hz附近出現(xiàn)主峰。同時(shí)，體表胃電信號(hào)的功率譜密度函數(shù)分別在0.05Hz和0.3Hz附近出現(xiàn)兩個(gè)主峰，前者由胃活動(dòng)引起，而后者由呼吸背景噪聲形成。給定一個(gè)窄帶寬，很明顯可看到，呼吸背景噪聲的頻率的確可能和實(shí)際的胃信號(hào)相重疊，特別是對胃的腹部活動(dòng)產(chǎn)生的信號(hào)頻率。因此，傳統(tǒng)的功率譜估計(jì)不能成功地分離這兩類信號(hào)。一些

40、學(xué)者利用自適應(yīng)噪聲抵消從觀測的胃電測最信號(hào)中消除呼吸背景聲，以獲得有用的胃電信號(hào)。如圖8-14所示的自適應(yīng)濾波系統(tǒng)由自適應(yīng)噪聲抵消器和自適應(yīng)線性增強(qiáng)器組成（請見相關(guān)參考書）。在自適應(yīng)線性增強(qiáng)器中，主信號(hào)由有用的胃電信號(hào)升、呼吸信號(hào)耳和其他背景噪聲匚組成。參考信號(hào)僅由呼吸背景噪聲廠組成。功卒(dB)頻率Hz(a)體表胃電信號(hào)的功率譜(b)體內(nèi)胃電信號(hào)的功率譜圖813功率譜圖14自適應(yīng)呼吸噪聲抵消系統(tǒng)。(a)自適應(yīng)線性增強(qiáng)級；(b)自適應(yīng)噪聲抵消級自適應(yīng)線性增強(qiáng)器的目的是從主信號(hào)d/中消除背景噪聲卩O為了從匚去相關(guān)周期和和關(guān)信號(hào)片和匚，延遲選為1。自適應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)線性增強(qiáng)部分(ALE)實(shí)質(zhì)作為一個(gè)預(yù)處理單尤用來消除背景噪聲廠o自適應(yīng)線性增強(qiáng)器的輸出5-+匚，用作自適應(yīng)噪聲抵消器的主信號(hào)。自適應(yīng)噪聲抵消部分的參考輸入是呼吸信號(hào)。在這個(gè)例子中，胃電信號(hào)和呼吸信號(hào)的周期分別是40和4個(gè)采點(diǎn)。當(dāng)選擇濾波權(quán)值為50時(shí)，呼吸和胃電信號(hào)的復(fù)制信號(hào)在ALE輸出端產(chǎn)生。以同樣的方式，當(dāng)選擇濾波權(quán)值為10,呼吸背景噪盧的復(fù)制在ANC輸出端產(chǎn)生。對JANC和ANC,收斂因子“分別被選為輸入信號(hào)功率的0.01和0.05倍。在自適應(yīng)濾波前，主信號(hào)d,需要通過1Hz截止頻率的低通濾波器。圖815(a)表示胃信號(hào)作為自適應(yīng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)，胃信號(hào)被掩埋在呼吸背景聲和背景噪聲