人教版高中數(shù)學高考一輪復習-空間直線、平面的平行

1、7.3空間直線、平面的平行第七章2022高中總復習優(yōu)化設計GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,通過直觀感知、操作確認、思辨論證,認識和理解空間中直線、平面平行的有關性質(zhì)與判定.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題.備考指導空間直線、平面的平行包括平行關系的證明和根據(jù)平行關系證明相關結(jié)論,是立體幾何的重點,多在解答題的第一個問號中考查.對邏輯推理和直觀想象的學科素養(yǎng)體現(xiàn)較多,難度中等.復習時要熟悉各個判定定理和性質(zhì)定理,依據(jù)條件進行證明.有時候需要從結(jié)論入手,通過逆推尋找解題

2、思路.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】 直線與平面、平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理 溫馨提示三種平行關系的轉(zhuǎn)化 1.兩條平行線中的一條直線與平面平行(另一條直線不在該平面內(nèi)),另一條直線也與這個平面平行.2.過平面外一點可以作無數(shù)條直線與該平面平行,這些直線都在同一平面內(nèi).3.過兩條異面直線中的一條可以作唯一一個平面與另一條直線平行.4.兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.5.夾在兩個平行平面間的與兩個平面都相交的平行線段相等.6.經(jīng)過平面外一點,有且只有一個平面和已知平面平行.7.兩條

3、直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.8.如果兩個平面分別平行于第三個平面,那么這兩個平面互相平行.9.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面平行.10.垂直于同一條直線的兩個平面平行.【知識鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.()(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.()(3)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a.()(4)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.()(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個

4、平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()2.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列結(jié)論正確的是()A.AD1BC1B.平面AB1D1平面BDC1C.AD1DC1D.AD1平面BDC1ABD如圖,因為AB C1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,所以AD1BC1,所以A正確.易證BDB1D1,AB1DC1,又AB1B1D1=B1,BDDC1=D,所以平面AB1D1平面BDC1,所以B正確.易知AD1與DC1異面,故C錯誤.因為AD1BC1,AD1平面BDC1,BC1平面BDC1,所以AD1平面BDC1,故D正確.3.如圖,在四面體ABCD中,M,N分別是ACD,BCD的重心,則四面體的

5、四個面中與MN平行的是.平面ABC,平面ABD 如圖,連接AM并延長交CD于點E,連接BN并延長交CD于點F.由重心性質(zhì)可知,E,F重合為一點,且該點為CD的中點E,由 ,得MNAB,所以MN平面ABC,且MN平面ABD.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E為AD的中點,點F在CD上,若EF平面AB1C,則EF=.根據(jù)題意,因為EF平面AB1C,EF平面ABCD,平面ABCD平面AB1C=AC,所以EFAC.又E是AD的中點,所以F是CD的中點.因此,在RtDEF中,DE=DF=1,從而5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,

6、D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,則點M滿足條件時,有MN平面B1BDD1.M線段FH 由題意易知平面HNF平面B1BDD1,當點M滿足在線段FH上時有MN平面B1BDD1.第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1線面平行、面面平行的基本問題例1(1)設m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列說法正確的是()A.若,m,n,則mnB.若,m,n,則mnC.若mn,m,n,則D.若m,mn,n,則DA中,m與n可能相交、異面或平行;B中,m與n可能平行或異面;C中,仍然可滿足mn,m,n,故C錯誤;D正確.(2)設m,n表示不同直線,表示不同平面,則下列說法正確

7、的是()A.若m,mn,則nB.若m,n,m,n,則C.若,m,mn,則nD.若,m,nm,n,則nDA錯誤,n有可能在平面內(nèi).B錯誤,平面有可能與平面相交.C錯誤,n也有可能在平面內(nèi).D正確,易知m或m,若m,又nm,n,則n;若m,過m作平面交平面于直線l,則ml,又nm,nl,又n,l, n.解題心得線面平行、面面平行的命題真假判斷多以小題出現(xiàn),可通過畫圖,用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.正方體是較為常見的模型.對點訓練1(1)若直線ab,且直線a平面,則直線b與平面的位置關系是()A.bB.bC.b或bD.b與相交或b或bD當b與相交或b或b時,均可滿足直線ab,且直線a平面的情況,故選D.

8、(2)給出下列關于互不相同的直線l,m,n和平面,的三個命題:若l與m為異面直線,l,m,則;若,l,m,則lm;若=l,=m,=n,l,則mn.其中真命題的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0C中,當與相交時,也存在符合題意的l,m;中,l與m也可能異面;中,l,l,=mlm,同理ln,則mn.能力形成點2直線與平面平行的判定與性質(zhì)例2如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,ACBC, AC=BC=CC1=2,點D為AB的中點.(1)證明:AC1平面B1CD;(2)若P,Q分別是A1CD與B1CD的重心,證明:PQ平面ABC.證明 (1)如圖,連接BC1,交B1C于點O,連接O

9、D.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1是平行四邊形,所以O是BC1的中點.因為D為AB的中點,所以ODAC1.又OD平面B1CD,AC1平面B1CD,所以AC1平面B1CD.(2)如圖,P是A1CD的重心,連接A1P并延長,交CD于點M,則M為CD的中點.同理連接B1Q,并延長,與CD也相交于點M.又因為ABA1B1,所以PQAB.因為PQ平面ABC,AB平面ABC,所以PQ平面ABC.解題心得1.證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.2.利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式等證明兩直線平行.3.證明

10、線面平行時,注意說明已知直線不在已知平面內(nèi).對點訓練2如圖所示,在多面體中,DE平面ABCD,AFDE,ADBC,AB=CD, ABC=60,BC=2AD=4DE=4.(1)在AC上求作點P,使 PE平面ABF,請寫出作法并說明理由;(2)求三棱錐A-CDE的高.解 (1)取BC的中點G,連接DG,交AC于點P,連接PE,此時P為所求作的點,如圖所示.理由如下:BC=2AD,BG=AD.又BCAD,四邊形BGDA為平行四邊形,DGAB,即DPAB.又AB平面ABF,DP平面ABF,DP平面ABF.AFDE,AF平面ABF,DE平面ABF,DE平面ABF.又DP平面PDE,DE平面PDE,DPD

11、E=D,平面ABF平面PDE.又PE平面PDE,PE平面ABF.能力形成點3平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)證明:平面A1BD平面CD1B1;(2)若平面ABCD平面CD1B1=直線l,證明:B1D1l.證明 (1)由題設知BB1 DD1,所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,所以BDB1D1.因為BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,所以BD平面CD1B1.因為A1D1 B1C1 BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1BD1C.因為A1B平面CD1B1,D1C平面CD1B1,所以A1B平面CD1B1.又因為BD

12、A1B=B,所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1,又平面ABCD平面CD1B1=直線l,平面ABCD平面A1BD=直線BD,所以直線l直線BD.又由(1)知BDB1D1,所以B1D1l.解題心得1.證明面面平行的方法(1)定義法:兩個平面沒有公共點.(2)判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:若平面內(nèi)的兩條相交直線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則.(4)利用平行平面的傳遞性:若,則.2.應用平面與平面平行的性質(zhì)定理的基本步驟 對點訓練3如圖,B為ACD所在平面外一點,M,N,G分別為ABC,ABD,BCD的重心.(

13、1)求證:平面MNG平面ACD;(2)求SMNGSADC.(1)證明 連接BM,BN,BG,并延長分別交AC,AD,CD于點P,F,H.M,N,G分別為ABC,ABD,BCD的重心,連接PF,FH,PH,則MNPF.又PF平面ACD,MN平面ACD.同理可得MG平面ACD.MGMN=M,平面MNG平面ACD.第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升分類討論思想在空間平行關系中的應用 典例如圖所示,平面平面,點A,點C,點B,點D,點E,F分別在線段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求證:EF平面;(2)若E,F分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60,求EF的長.(1)證明:當AB,CD在同一平面內(nèi)時,平面平面,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF平面.當AB與CD異面時,如圖所示,設平面ACD平面=HD,且HD=AC,平面平面,平面平面ACDH=AC,ACHD,四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點G,使AGGH=CFFD,連接EG,FG,BH.AEEB