2004年考研數(shù)學試題及解析

1、PAGE PAGE 692004年考研數(shù)學(一)試題填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分,把答案填在題中橫線上)選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分,在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).) 2004年考研數(shù)學（一）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎題型，相當于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導數(shù)為1可確定切點的坐標?！驹斀狻?由，得x=1, 可見切點為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評注】 本題也可先設切點為，曲

2、線y=lnx過此切點的導數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .【評注】 本題屬基礎題型，已知導函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。（3）設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標將曲線用參數(shù)方程表示，相應曲線積分可化為定積分。【詳解】 正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定

3、積分計算即可.（4）歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可。【詳解】 令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評注】 本題屬基礎題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 （5）設矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評注】 先化簡再計算是此類問題求解的特點，而題設含有伴隨矩陣，一般均應先利用公式進行化簡。 （6）設隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】

4、 已知連續(xù)型隨機變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉化為定積分計算即可?！驹斀狻?由題設，知，于是 = =【評注】 本題應記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應在考試時再去推算。二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先兩兩進行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應選(B).【評注】 本題是無窮小量

5、的比較問題，也可先將分別與進行比較，再確定相互的高低次序.（8）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對任意的有f(x)f(0) . (D) 對任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點的導數(shù)大于零，一般不能推導出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項，再利用導數(shù)的定義及極限的保號性進行分析即可?！驹斀狻?由導數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號性，知存在，當時，有 即當時，f(x)f(0). 故應選(C).【評注】 題設函數(shù)一點可導，一般均應聯(lián)想到用導數(shù)的定義進行討論。（9）設為正項級數(shù)，下列結論中正確的是 (A

6、) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往可用反例通過排除法找到正確選項.【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級數(shù)收斂，但，排除(C), 故應選(B).【評注】 本題也可用比較判別法的極限形式， ，而級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)也發(fā)散，故應選(B).（10）設f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導，再代入t=2求即可。關鍵是求導前應先交換積分次序，使得被積

7、函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應選(B).【評注】 在應用變限的積分對變量x求導時，應注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應先通過恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號外或積分線上。（11）設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對A作兩次初等列變換，相當于右乘兩個相應的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的乘積。【詳解】由題設，有 ， ，于是， 可見，應選(D).【評注】

8、涉及到初等變換的問題，應掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關系。（12）設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關. A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關. A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (D) A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關. A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進行分析討論.【詳解1】 設A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)0,r(B)0. 可見r(A)n, r(B)e時， 所以單調(diào)減

9、少，從而，即 ，故 .【證法2】 設，則 ， ,所以當xe時， 故單調(diào)減少，從而當時， ，即當時，單調(diào)增加.因此當時，即 ，故 .【評注】 本題也可設輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進行證明即可。 （16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.【分析】 本題是標準的牛頓第二定理的應用，列出關系式后再

10、解微分方程即可?！驹斀?】 由題設，飛機的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當時，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當時，所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【評注】 本題求飛機滑行的最長距離，可理解為或的極限值，這種條

11、件應引起注意.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是曲面的上側.【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應用高斯公式求解，而在添加的曲面上應用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評注】 本題選擇時應注意其側與圍成封閉曲面后同為外側（或內(nèi)側），再就是在上直接投影積分時，應注意符號(取下側，與z軸正向相反，所以取負號).（18）（本題滿分11分）設有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當時，級數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項級數(shù)的斂

12、散性可用比較法判定?！咀C】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實數(shù)根當x0時，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實數(shù)根由與知 ，故當時，.而正項級數(shù)收斂，所以當時，級數(shù)收斂. 【評注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級數(shù)的斂散性，題型設計比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應該可以輕松求證。（19）（本題滿分12分）設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.【分析】 可能極值點是兩個一階偏導數(shù)為零的點，先求出一階偏導，再令其為零確定極值點即可，然后用二階偏導確定是極大值還是極小值，并求出相應的極值.【詳解】 因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ，

13、 ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.【評注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關鍵是求可能極值點時應注意x,y,z滿足原方程。（20）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進而判斷是否有非零解；或直接計算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設行列式的值必為零，由此對參數(shù)a

14、的可能取值進行討論即可?！驹斀?】 對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當a=0時， r(A)=1n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當時，對矩陣B作初等行變換，有 可知時，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當，即a=0或時，方程組有非零解.當a=0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為

15、，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評注】 矩陣A的行列式也可這樣計算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式（21）（本題滿分9分） 設矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個線性無關的特征向量，確定A是否可相似對角化即可.【詳解】 A的特征多項式為 =當是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當a= -2時，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對應的線性無關的特征向量有兩個，從而A可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當時，A的特

16、征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2，故對應的線性無關的特征向量只有一個，從而A不可相似對角化?！驹u注】 n階矩陣A可對角化的充要條件是：對于A的任意重特征根，恒有 而單根一定只有一個線性無關的特征向量。 (22)（本題滿分9分）設A,B為隨機事件，且，令 求：（ = 1 * ROMAN I）二維隨機變量(X,Y)的概率分布； （ = 2 * ROMAN II）X和Y的相關系數(shù)【分析】 先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個可能取值點上的概率，而這可利用隨機事件的運算性質(zhì)得到，即得二維隨機變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進而可計算出相關系數(shù)?！驹斀狻?（ =

17、1 * ROMAN I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 ( = 2 * ROMAN II) X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 【評注】 本題盡管難度不大，但考察的知識點很多，綜合性較強。通過隨機事件定義隨機變量或通過隨機變量定義隨機事件，可以比較好地將概率論的知識前后連貫起來，這種命題方式值得注意。（23）（本題滿分9分）設總體X的分布函數(shù)為 其中未知參數(shù)為來自總體X的簡單隨機樣本，求：（ = 1 * ROMAN I） 的矩估計量；（ = 2 * ROMAN II） 的最大似然

18、估計量.【分析】 先由分布函數(shù)求出概率密度，再根據(jù)求矩估計量和最大似然估計量的標準方法進行討論即可?！驹斀狻?X的概率密度為 （ = 1 * ROMAN I） 由于 ，令，解得 ，所以參數(shù)的矩估計量為 （ = 2 * ROMAN II）似然函數(shù)為 當時，取對數(shù)得，兩邊對求導，得，令，可得 ，故的最大似然估計量為 【評注】 本題是基礎題型，難度不大，但計算量比較大，實際做題時應特別注意計算的準確性。 2004年考研數(shù)學（二）試題一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分,把答案填在題中橫線上)(1)二. 選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分,在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合

19、要求的,把所有選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)2004年考研數(shù)學（二）試題解析一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）（1）設, 則的間斷點為 0 .【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.對不同的,先用求極限的方法得出的表達式, 再討論的間斷點.【詳解】顯然當時,; 當時, ,所以 ,因為 故 為的間斷點. （2）設函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為.【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】 , ,令 .又 單調(diào)增, 在 時, 。(時，時，曲線凸.)（3）.【分析

20、】利用變量代換法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】 .【詳解2】 .（4）設函數(shù)由方程確定, 則.【分析】此題可利用復合函數(shù)求偏導法、公式法或全微分公式求解.【詳解1】在 的兩邊分別對,求偏導,為的函數(shù). , ,從而 , 所以 【詳解2】令 則 , , , ,從而 【詳解3】利用全微分公式,得 即 , 從而 （5）微分方程滿足的特解為.【分析】此題為一階線性方程的初值問題.可以利用常數(shù)變易法或公式法求出方程的通解,再利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)而得特解.【詳解1】原方程變形為 ,先求齊次方程 的通解: 積分得 設為非齊次方程的通解,代入方程得 從而 , 積分得 ,于

21、是非齊次方程的通解為 ,故所求通解為 .【詳解2】原方程變形為 ,由一階線性方程通解公式得 ,從而所求的解為 .（6）設矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則.【分析】利用伴隨矩陣的性質(zhì)及矩陣乘積的行列式性質(zhì)求行列式的值.【詳解1】 , , , .【詳解2】由,得 二. 選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). ）（7）把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） 【分析】對與變限積分有關的極限問題，一般可利用洛必塔

22、法則實現(xiàn)對變限積分的求導并結合無窮小代換求解.【詳解】 ,即 .又 ,即 .從而按要求排列的順序為, 故選（B）.（8）設, 則（A）是的極值點, 但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點, 但是曲線的拐點.（C）是的極值點, 且是曲線的拐點.（D）不是的極值點, 也不是曲線的拐點. 【分析】求分段函數(shù)的極值點與拐點， 按要求只需討論兩方, 的符號.【詳解】 , , ,從而時, 凹, 時, 凸, 于是為拐點.又, 時, , 從而為極小值點.所以, 是極值點, 是曲線的拐點, 故選（C）.（9）等于（A）. （B）.（C）. （D） 【分析】將原極限變型，使其對應一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式。作變換后

23、,從四個選項中選出正確的.【詳解】 故選（B）.（10）設函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內(nèi)單調(diào)增加.（B）在內(nèi)單調(diào)減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有. 【分析】可借助于導數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)在附近的局部性質(zhì).【詳解】由導數(shù)的定義知 ,由極限的性質(zhì), , 使時, 有 即時, ， 時, ,故選（C）.（11）微分方程的特解形式可設為（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式.【詳解】對應齊次方程 的特征方程為 ,特征根為 ,對 而言, 因0不是特征根, 從而其特解形式可設為 對 , 因為特征根, 從而其特解形式可設為 從而

24、的特解形式可設為 （12）設函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標系和極坐標系,并在兩種坐標系下化為累次積分.【詳解】積分區(qū)域見圖.在直角坐標系下, 故應排除（A）、（B）.在極坐標系下, , ,故應選（D）.（13）設是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為（A）. （B）. （C）. （D）. 【分析】根據(jù)矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關系，對題中給出的行（列）變換通過左(右)乘一相應的初等矩陣來實現(xiàn).【詳解】由題意 , , ,從而 ,故選（D）

25、.（14）設,為滿足的任意兩個非零矩陣, 則必有（A）的列向量組線性相關,的行向量組線性相關.（B）的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.（C）的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.（D）的行向量組線性相關,的列向量組線性相關. 【分析】將寫成行矩陣, 可討論列向量組的線性相關性.將寫成列矩陣, 可討論行向量組的線性相關性.【詳解】設 , 記 （1）由于, 所以至少有一 (),從而由（1）知, ,于是 線性相關.又記 , 則 由于,則至少存在一 (),使 ,從而 線性相關,故應選（A）.三. 解答題（本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）（15）（本題滿分

26、10分）求極限.【分析】此極限屬于型未定式.可利用羅必塔法則,并結合無窮小代換求解.【詳解1】 原式 【詳解2】 原式 （16）（本題滿分10分）設函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式;()問為何值時, 在處可導.【分析】分段函數(shù)在分段點的可導性只能用導數(shù)定義討論.【詳解】()當,即時, .()由題設知 . .令, 得.即當時, 在處可導.（17）（本題滿分11分）設,()證明是以為周期的周期函數(shù);()求的值域.【分析】利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性,利用求函數(shù)最值的方法討論函數(shù)的值域.【詳解】 () ,設, 則有 ,故是以為周

27、期的周期函數(shù).()因為在上連續(xù)且周期為, 故只需在上討論其值域. 因為 ,令, 得, , 且 , ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體, 其體積為, 側面積為, 在處的底面積為.()求的值;()計算極限.【分析】用定積分表示旋轉體的體積和側面積，二者及截面積都是的函數(shù),然后計算它們之間的關系.【詳解】 () , , .(), （19）（本題滿分12分）設, 證明.【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證明方法來證明,常用函數(shù)不等式的證明方法主要有單調(diào)性、極值和最值法等.【詳證1】設, 則 ,

28、所以當時, , 故單調(diào)減小, 從而當時, ,即當時, 單調(diào)增加.因此, 當時, , 即 故 .【詳證2】設, 則 ,時, , 從而當時, ,時, 單調(diào)增加.時, 。令有即 . 【詳證3】證 對函數(shù)在上應用拉格朗日定理, 得 , .設, 則,當時, , 所以單調(diào)減小,從而, 即 ,故 （20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機,著陸時的水平速度為.經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少? 注 表示千克,表示千米/

29、小時.【分析】本題屬物理應用.已知加速度或力求運動方程是質(zhì)點運動學中一類重要的計算,可利用牛頓第二定律,建立微分方程,再求解.【詳解1】由題設,飛機的質(zhì)量,著陸時的水平速度.從飛機接觸跑道開始記時,設時刻飛機的滑行距離為,速度為. 根據(jù)牛頓第二定律,得 .又 , ,積分得 ,由于, 故得, 從而 .當時, .所以,飛機滑行的最長距離為.【詳解2】根據(jù)牛頓第二定律,得 .所以 ,兩邊積分得 ,代入初始條件 , 得, ,故飛機滑行的最長距離為 .【詳解3】根據(jù)牛頓第二定律,得 ,其特征方程為 ,解得, ，故 ，由, ，得，.當時, .所以,飛機滑行的最長距離為.（21）（本題滿分10分）設,其中具

30、有連續(xù)二階偏導數(shù),求.【分析】利用復合函數(shù)求偏導和混合偏導的方法直接計算.【詳解】 , , .（22）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問取何值時, 該方程組有非零解, 并求出其通解.【分析】此題為求含參數(shù)齊次線性方程組的解.由系數(shù)行列式為0確定參數(shù)的取值,進而求方程組的非零解.【詳解1】對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換, 有 當時, , 故方程組有非零解, 其同解方程組為 .由此得基礎解系為 , , ,于是所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).當時, 當時, , 故方程組也有非零解, 其同解方程組為 由此得基礎解系為 ,所以所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).【詳解2】方程組的系數(shù)行列

31、式.當, 即或時, 方程組有非零解.當時, 對系數(shù)矩陣作初等行變換, 有故方程組的同解方程組為 .其基礎解系為 , , ,于是所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).當時, 對作初等行變換, 有 故方程組的同解方程組為 其基礎解系為,所以所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù)（23）（本題滿分9分）設矩陣的特征方程有一個二重根, 求的值, 并討論是否可相似對角化.【分析】由矩陣特征根的定義確定的值，由線性無關特征向量的個數(shù)與秩之間的關系確定是否可對角化.【詳解】的特征多項式為 .若是特征方程的二重根, 則有, 解得.當時, 的特征值為2, 2, 6, 矩陣的秩為1,故對應的線性無關的特征向量有兩

32、個, 從而可相似對角化.若不是特征方程的二重根, 則為完全平方, 從而, 解得. 當時, 的特征值為2, 4, 4, 矩陣的秩為2,故對應的線性無關的特征向量只有一個, 從而不可相似對角化.2004年考研數(shù)學（三）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【評注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0. (2) 設函數(shù)f (u

33、 , v)由關系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達式，再求偏導數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.【評注】 本題屬基本題型.(3) 設，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x 1 = t，. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對應的矩陣的秩, 亦即標準型中平方項的項數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因為于是

34、二次型的矩陣為 ,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因為, 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6) 設總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因為 , ,故應填 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填

35、在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當x 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設f (x)在( , +)

36、內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關. D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉化為.【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以，當a = 0時，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當a 0時，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性. (9) 設f (x) = |

37、x(1 x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側的二階導數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x

38、)的極小值點.顯然，x = 0是f (x)的不可導點. 當x ( , 0)時，f (x) = x(1 x)，當x (0 , )時，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導數(shù)的符號來判斷. (10) 設有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明4個

39、命題的正確性.【詳解】(1)是錯誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因為由可得到不趨向于零(n )，所以發(fā)散.(4)是錯誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評注】本題主要考查級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設在a , b上連續(xù)，且，則下列結論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得 f (a).(B) 至少存在一點，使得 f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【

40、詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點使得，即. 同理，至少存在一點使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度. (12) 設階矩陣與等價, 則必有(A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當時, , 又 與等價, 故, 即, 故選(D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型. 相關知識要點見數(shù)學復習指南P.284-286.(13)

41、設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系(A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關的解向量. (D) 含有三個線性無關的解向量. B 【分析】 要確定基礎解系含向量的個數(shù), 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因為基礎解系含向量的個數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎解系僅含一個解向量, 即選(B).【評注】本題是對矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系、線性方程組解的結構等多個知識點的綜合考查. (14) 設隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若

42、, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得. 故正確答案為(C).【評注】本題是對標準正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴格地說它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達法則求解即可.【詳解】=.【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應充分利用等價無窮小替換來簡化計算. (16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍

43、成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可.【詳解】令，由對稱性，.所以，.【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算. (17) (本題滿分8分)設f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，將積分不等式轉化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) g(x)，由題設G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) 0，x a

44、 , b，故有，即 .因此 .【評注】引入變限積分轉化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法. (18) (本題滿分9分)設某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性( 0)；(II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導.【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當10 P 1，于是，故當10 P 0時，需求量對價格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式： ，(收益對

45、價格的彈性).這些公式在文登學校輔導材料系列之五數(shù)學應用專題(經(jīng)濟類)有詳細的總結. (19) (本題滿分9分)設級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達式.【分析】對S(x)進行求導，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達式.【詳解】(I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評注】本題綜合了級數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題. (20)(本題滿分13分) 設, , , , 試討論當為何值時, ()

46、 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉化為線性方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】 設有數(shù)使得 . (*)記. 對矩陣施以初等行變換, 有.() 當時, 有 .可知.故方程組(*)無解, 不能由線性表示.() 當, 且時, 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時可由唯一地線性表示, 其表示式為 () 當時, 對矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無窮多解，其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不唯一,其表示式為 【評注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過

47、兩次(1991, 2000). (21) (本題滿分13分) 設階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠毯妄R次線性方程組來解決.【詳解】() 當時， ,得的特征值為，對，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對， 得基礎解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當時，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當時，有個線性無關的特征向量，令，則當時，對任意可逆矩陣, 均有 【評注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計算, 齊次線性方程組的求解

48、和矩陣的對角化等問題, 屬于有一點綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況. (22) (本題滿分13分) 設，為兩個隨機事件,且, , , 令 求() 二維隨機變量的概率分布;() 與的相關系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】本題的關鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機變量的各取值對轉化為隨機事件和表示即可【詳解】 () 因為 ，于是，則有，( 或)，即的概率分布為： 0 1 0 1 ()方法一：因為，所以與的相關系數(shù) 方法二： X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故

49、，從而 () 的可能取值為：0，1，2 ，即的概率分布為： 0 1 2 【評注】本題考查了二維離散隨機變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機變量函數(shù)的分布等計算問題，屬于綜合性題型 (23) (本題滿分13分) 設隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設為來自總體的簡單隨機樣本,() 當時, 求未知參數(shù)的矩估計量;() 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; () 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 【分析】本題是一個常規(guī)題型, 只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計和最大似然估計都須已知密度函數(shù), 從而先由分布函數(shù)求導得密度函數(shù).【詳解】 當時, 的概率密度為 () 由于 令 , 解得 , 所以

50、, 參數(shù)的矩估計量為 .() 對于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當時, , 取對數(shù)得 ,對求導數(shù)，得，令，解得，于是的最大似然估計量為 ( ) 當時, 的概率密度為對于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當時, 越大，越大, 即的最大似然估計值為,于是的最大似然估計量為 【評注】本題屬于常規(guī)題型, 往年曾經(jīng)考過多次.2004年考研數(shù)學（四）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【評注】一般地，已知 A

51、，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0. (2) 設，則.【分析】本題為基礎題型，先求導函數(shù)即可.【詳解】因為，所以，.【評注】 本題屬基本題型，主要考查復合函數(shù)求導.(3) 設，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x 1 = t， .【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進行求解. 設，其中為三階可逆矩陣,則【分析】 將的冪次轉化為的冪次, 并注意到為對角矩陣即得答案.【詳解】因為, .故 , .【評注】本題是對矩陣高次冪運算的考查設是實正

52、交矩陣，且，則線性方程組的解是【分析】利用正交矩陣的性質(zhì)即可得結果.【詳解】因為 , 而且是實正交矩陣, 于是 , 的每一個行(列)向量均為單位向量, 所以 .【評注】本題主要考查正交矩陣的性質(zhì)和矩陣的運算 (6) 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A) (1 , 0).(B)

53、 (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當x 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設f (x)在( , +)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0

54、必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關. D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉化為.【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以，當a = 0時，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當a 0時，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性. (9) 設f (x) = |x(1 x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲

55、線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側的二階導數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點.顯然，x = 0是f (x)的不可導點. 當x ( , 0)時，f

56、 (x) = x(1 x)，當x (0 , )時，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導數(shù)的符號來判斷. (10) 設，則(A) F(x)在x = 0點不連續(xù).(B) F(x)在( , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點不可導.(C) F(x)在( , +)內(nèi)可導，且滿足.(D) F(x)在( , +)內(nèi)可導，但不一定滿足. B 【分析】先求分段函數(shù)f (x)的變限積分，再討論函數(shù)F(x)的連續(xù)性與可導性即可.【詳解】當x 0時，當x = 0時，F(xiàn)(0) = 0. 即F(x

57、) = |x|，顯然，F(xiàn)(x)在( , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點不可導. 故選(B).【評注】本題主要考查求分段函數(shù)的變限積分. 對于絕對值函數(shù)：在處不可導；f (x) =在處有n階導數(shù)，則. (11) 設在a , b上連續(xù)，且，則下列結論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得 f (a).(B) 至少存在一點，使得 f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點使得，

58、即. 同理，至少存在一點使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度. (12) 設階矩陣與等價, 則必須當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當時, , 又與等價, 故, 即, 從而選 (D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型. (13) 設隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得

59、.【詳解】 由, 以及標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得.故正確答案為(B).【評注】本題是對標準正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴格地說它的上分位數(shù)概念的考查. (14) 設隨機變量獨立同分布，且方差令隨機變量， 則(A) (B) (C) (D) C 【分析】 利用協(xié)方差的性質(zhì)立即得正確答案.【詳解】 由于隨機變量獨立同分布, 于是可得 .故正確答案為(C).【評注】本題是對協(xié)方差性質(zhì)的考查, 屬于基本題. 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達法則求解即可.【詳解】 =. .【評

60、注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應充分利用等價無窮小替換來簡化計算. (16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可.【詳解】令，由對稱性，.所以，.【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算. (17) (本題滿分8分)設f (u , v)具有連續(xù)偏導數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【分析】先求，利用已知關系，可得到關于y的一階微分方程.【詳解】，因此，所求的一階微分方程為.