對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、 對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 孫林摘 要利用對(duì)稱性解題是一種重要的解題策略.高中數(shù)學(xué)引入了諸多實(shí)踐案例驗(yàn)證對(duì)稱性對(duì)提高解題速度的作用，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生掌握對(duì)稱性解題思路.Key對(duì)稱性;高中數(shù)學(xué);解題 G633.6 A 1674-6058（2021）20-0023-02利用對(duì)稱性解題，不僅能快速梳理解題思路，還可增強(qiáng)學(xué)生的解題能力.一、對(duì)稱美的表現(xiàn)（一）楊輝三角的對(duì)稱美1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1（二）公式的對(duì)稱美很多數(shù)學(xué)公式中的字母具有對(duì)稱關(guān)系.例如完全平方公式、立方和公式：a+b2=a2+2ab+b2，a3+b3=

2、a+ba2-ab+b2.在公式中，交換字母a和b，公式本身沒有發(fā)生變化.（三）圖形的對(duì)稱美對(duì)稱的幾何圖形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、圓、橢圓等，它們有些是軸對(duì)稱圖形，有些是中心對(duì)稱圖形.在空間中，球就是一個(gè)高度對(duì)稱的幾何體，還有正多面體，如圓臺(tái)、圓錐等.二、對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（一）對(duì)稱性在幾何中的應(yīng)用如果我們能將球、圓、雙曲線、橢圓、拋物線等的直觀對(duì)稱性應(yīng)用到待解決的問題中去，就可以把陌生的、困難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、容易的問題，從而實(shí)現(xiàn)化難為易.1.解決平面幾何問題例1如圖1，A、B兩點(diǎn)是雙曲線y=kx（k0）與正比例函數(shù)y=ax（a0），畫出其函數(shù)圖像.設(shè)交匯點(diǎn)為A、B，

3、其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（6，-2），求B點(diǎn)坐標(biāo)值.分析：求B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，不少學(xué)生都會(huì)選擇將A點(diǎn)坐標(biāo)（6，-2）直接代入正反函數(shù)解析式，得到a、b值，再創(chuàng)建方程組計(jì)算B點(diǎn)坐標(biāo)值，但這種方法需進(jìn)行大量的計(jì)算.若根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性，則B點(diǎn)坐標(biāo)值可較快得出.解：在坐標(biāo)軸上畫出正比例函數(shù)y=ax圖像、反比例函數(shù)y=bx圖像，得到兩圖像均具有原點(diǎn)對(duì)稱特征，故而其交匯點(diǎn)A、B亦是原點(diǎn)對(duì)稱.由此得B點(diǎn)坐標(biāo)值為（-6，2）.3.解決最值問題例3已知M（3，5），在y軸取點(diǎn)Q，再在直線l：x-2y+2=0上取點(diǎn)P，三點(diǎn)連線形成MPQ，求該三角形的最小周長(zhǎng).分析：先按題意作圖，找到點(diǎn)M，以直線l為中線，找到對(duì)稱點(diǎn)M1.同理，以

4、y軸為中線，找到M的對(duì)稱點(diǎn)M2，連線M1M2，與直線l交匯于P點(diǎn)，與y軸交匯于Q點(diǎn).根據(jù)軸對(duì)稱特性，結(jié)合平面幾何形成條件可知此時(shí)MPQ周長(zhǎng)處于最小值.解：如圖2，以直線l為中線，找到M（3， 5）的對(duì)稱點(diǎn)M1（5， 1）.同理，以y軸為中線，找到對(duì)稱點(diǎn)M2（-3， 5）.連接M1M2，得到x+2y-7=0.令x=0，直線 M1M2恰好和y軸交匯于點(diǎn)Q0， 72 .聯(lián)立方程組x+2y-7=0，x-2y+2=0，得到P坐標(biāo)52， 94 .點(diǎn)P52， 94、Q0， 72即為所求.4.解決參數(shù)范圍問題從圖像對(duì)稱性切入，找到輔助變數(shù)，即參數(shù)，再將待求解或者待證明的關(guān)系式轉(zhuǎn)變成參數(shù)關(guān)系式，計(jì)算各數(shù)，去除參

5、數(shù)得解.例4如果拋物線y=ax2-1和直線x+y=0相互交匯的點(diǎn)恰好對(duì)稱，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：關(guān)于直線對(duì)稱，則得到該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A（-y0， -x0） .由對(duì)稱性可知，該點(diǎn)亦位于y=ax2-1.則y0=ax02-1， -x0=a（-y0）2-1， 一定存在兩組解，-得y0+x0=a（x02-y02） 一定有兩個(gè)相異的解，y0+x00，a（x0-y0）=1有解，從而有ax0-（ax02-1）=1有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即a2x02-ax0-a+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，=（-a）2-4a2（-a+1）0， a0， a34.運(yùn)用對(duì)稱性來分析，避免了復(fù)雜的分析，從而使解題的思路更清晰，同時(shí)也簡(jiǎn)化了解

6、題步驟，提高解題速度.（二）對(duì)稱在基本不等式中的運(yùn)用例5（1）若x， y0，且x+y=1，則x+1xy+1y的最小值為 .（2）已知正數(shù)a， b， c滿足a+b+c=1，則2a+1+2b+1+2c+1的最大值為 .分析：第（1）小題，如果直接用基本不等式，得到x+1xy+1y2x?1x?2y?1y=4.答案是錯(cuò)誤的.細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式成立的條件是x=y=1.顯然與已知條件x+y=1矛盾.那本題應(yīng)該如何解答呢？解：（1）利用基本不等式、對(duì)勾函數(shù)解題.x+1xy+1y=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+y2+x2xy=xy+1xy+（x+y）2-2xyxy=xy+2xy-2.又xyx+y

7、22=14，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)xy=14時(shí)，x+1xy+1y=xy+1xy-214+214-2=254.此處，用到基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=12時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)x=y=12時(shí)，x+1xy+1y有最小值254.但是，如果一道填空題就花費(fèi)大量的時(shí)間像做解答題一樣來解，得不償失.考慮到本題中交換x，y兩個(gè)字母，題目并沒有任何變化，從而它們是對(duì)稱的，故當(dāng)x=y=12時(shí)，x+1xy+1y有最小值254.第（2）小題，同樣，當(dāng)a=b=c=13時(shí)，2a+1+2b+1+2c+1有最大值33.（三）對(duì)稱在概率中的運(yùn)用例6某企業(yè)放假3天，由員工甲、乙、丙輪流值班，各值班1天.甲值班時(shí)間早于乙的概率為 .解析：此題為古典概型.求解前，可對(duì)員工甲、乙、丙進(jìn)行排序，