B樣條曲線教學(xué)課件

1、 計算機圖形學(xué)B樣條曲線1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優(yōu)點的同時，克服了Bezier方法的弱點。計算機圖形學(xué)Bezier曲線Bernstein基底計算機圖形學(xué)Bernstein基底計算機圖形學(xué)3.3.1 B樣條的遞推定義和性質(zhì)B樣條曲線的方程定義為： 是控制多邊形的頂點 (i=0,1,.,n) 稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù) B樣條基函數(shù)是一個稱為節(jié)點矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項式，也即為k階（k-1次)多項式樣條。 計算機圖形學(xué) B樣條基地的de Boor-Cox遞推定義 計算機圖形學(xué) B樣條基地的de Bo

2、or-Cox遞推定義 曲線n+1個控制點需要n+1個B樣條基 底需要n+k+1個節(jié)點 約定 B樣條基地的de Boor-Cox遞推定義 確定第i個k階B樣條基底 需要 共k+1個節(jié)點 B樣條的注意點控制多邊形的頂點數(shù)=B樣條基底函數(shù)的個數(shù)B樣條基底函數(shù)的個數(shù)和階數(shù)k是獨立概念控制多邊形的頂點個數(shù)n不能確定B樣條基底階數(shù)k需要定義節(jié)點矢量T設(shè)控制多邊形頂點數(shù)為n+1，B樣條基底階數(shù)為k一般來說，2 k n+1節(jié)點數(shù)=n+k+1計算機圖形學(xué)計算機圖形學(xué)B樣條基底的計算計算機圖形學(xué)B樣條基底的計算以節(jié)點數(shù)4為例：從定義可得1階B樣條基底:計算機圖形學(xué)B樣條基底的計算計算2階基底從遞推公式計算機圖形學(xué)

3、B樣條基底的計算2階基底計算機圖形學(xué)B樣條基底的計算計算3階基底從遞推公式計算機圖形學(xué)B樣條基底的計算3階B樣條基底計算機圖形學(xué)B樣條基底的計算3階B樣條基底計算機圖形學(xué)B樣條基底的支撐區(qū)間計算機圖形學(xué)B樣條基底的支撐區(qū)間計算機圖形學(xué)B樣條基底的性質(zhì)局部支撐性以k4，n=4為例計算機圖形學(xué)B樣條基底的性質(zhì)權(quán)性。微分公式。計算機圖形學(xué)B樣條曲線類型的劃分曲線按其首末端點是否重合，區(qū)分為閉曲線和開曲線。B樣條曲線按其節(jié)點矢量中節(jié)點的分布情況，可劃分為四種類型。計算機圖形學(xué)均勻B樣條曲線節(jié)點矢量中節(jié)點為沿參數(shù) 軸均勻或等距分布，所有 節(jié)點區(qū) 間長度為常數(shù)。這樣的節(jié)點矢量定義了均勻的B樣條基。計算機圖

4、形學(xué)準(zhǔn)均勻B樣條與均勻B樣條曲線的差別在于兩端節(jié)點具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點矢量定義了準(zhǔn)均勻的B樣條基。均勻B樣條曲線沒有保留Bezier曲線端點的幾何性質(zhì)，即樣條曲線的首末端點不再是控制多邊形的首末端點。采用準(zhǔn)均勻的B樣條曲線解決了這個問題計算機圖形學(xué)準(zhǔn)均勻B樣條基底計算機圖形學(xué)分段Bezier曲線節(jié)點矢量中兩端節(jié)點具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點重復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點矢量定義了分段的Bernstein基。計算機圖形學(xué) 分段Bezier曲線 B樣條曲線用分段Bezier曲線表示后，各曲線段就具有了相對的獨立性，移動曲線段內(nèi)的一個控制頂點只影響該曲線段的形狀，對其它曲線段的形狀沒有影響。并且Bezi

5、er曲線一整套簡單有效的算法都可以原封不動地采用。缺點是增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點數(shù)及節(jié)點數(shù)。任意分布的節(jié)點矢量 ，只要在數(shù)學(xué)上成立（節(jié)點序列非遞減，兩端節(jié)點重復(fù)度k，內(nèi)節(jié)點重復(fù)度k-1）都可選取。這樣的節(jié)點矢量定義了非均勻B樣條基底。計算機圖形學(xué)非均勻B樣條曲線k 階B樣條曲線上參數(shù)為 的一點p(t)至多與k個控制頂點 有關(guān)，與其它控制頂點無關(guān)；移動該曲線的第i個控制頂點Pi至多影響到定義在區(qū)間 上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不發(fā)生影響。計算機圖形學(xué)B樣條曲線的性質(zhì) 局部性 P(t)在區(qū) 間 上的部分位于k個點 的凸包 內(nèi)，整條曲線則位于各凸包 的并集之內(nèi)。計算機圖形學(xué)B樣條曲線的

6、性質(zhì) 連續(xù)性 P(t)在r重節(jié)點處的連續(xù)階不低于 k-1-r。 凸包性 算機圖形學(xué)B樣條曲線的性質(zhì)分段參數(shù)多項式P(t)在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)t的多項式 導(dǎo)數(shù)公式 計算機圖形學(xué)B樣條曲線的性質(zhì)變差縮減性 設(shè)平面內(nèi) n+1 個控制頂點 構(gòu)成B樣條曲線 P(t) 的特征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與 P(t) 的交點個數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點個數(shù)。幾何不變性B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。計算機圖形學(xué)B樣條曲線的性質(zhì)仿射不變性即在仿射變換下，的表達(dá)式具有形式不變性。直線保持性控制多邊形退化為一條直線時，曲線也退化為一條直線。計算機圖形學(xué)B樣條曲線的性質(zhì) 造型的

7、靈活性。計算機圖形學(xué)B樣條曲線的多樣性節(jié)點矢量和基函數(shù)的種類基底函數(shù)的階數(shù)控制頂點的個數(shù)和位置控制頂點的重復(fù)度節(jié)點的重復(fù)度計算機圖形學(xué) 均勻與非均勻B樣條B樣條曲線的多樣性計算機圖形學(xué)B樣條曲線的多樣性 基底階數(shù)k對B樣條形狀的影響計算機圖形學(xué)B樣條曲線的多樣性 多重頂點對B樣條形狀的影響計算機圖形學(xué)B樣條曲線的多樣性 頂點位置對B樣條形狀的影響計算機圖形學(xué)3.3.3 de Boor 算法欲計算B樣條曲線上對應(yīng)一點P(t)，可以利用B樣條曲線方程，但是采用de Boor 算法，計算更加快捷。de Boor 算法的導(dǎo)出計算機圖形學(xué)de Boor 算法現(xiàn)令則這就是著名的de Boor 算法計算機圖

8、形學(xué)de Boor 算法的遞推關(guān)系圖計算機圖形學(xué)De Boor 算法的幾何意義de Boor算法有著直觀的幾何意義 割角，即以線段 割去角 。從多邊形 開始，經(jīng)過 k-1 層割角，最后得到P(t)上的點 。計算機圖形學(xué)計算機圖形學(xué)三次B樣條的Bezier表示4階(3次)B樣條曲線和Bezier曲線的關(guān)系計算機圖形學(xué)三次B樣條的Bezier表示4階(3次)B樣條曲線和Bezier曲線的關(guān)系計算機圖形學(xué)3.3.4 節(jié)點插入算法通過插入節(jié)點可以進(jìn)一步改善B樣條曲線的局部性質(zhì)，提高B樣條曲線的形狀控制的靈活性，可以實現(xiàn)對曲線的分割等。插入一個節(jié)點 在定義域某個節(jié)點區(qū)間 內(nèi)插入一個節(jié)點t，得新的節(jié)點矢量

9、： 重新編號成為這個新的節(jié)點矢量T1決定了一組新的B樣條基原始的B樣條曲線就可以用這組新的B樣條基與未知頂點 表示計算機圖形學(xué)計算機圖形學(xué)Boehm給出了這些未知新頂點的計算公式 r 表示所插結(jié)點t在原始節(jié)點矢量T中的重復(fù)度。計算機圖形學(xué) 計算機圖形學(xué) 計算機圖形學(xué) 3.3.5 B樣條曲面給定參數(shù)軸u和v的節(jié)點矢量 pq階B樣條曲面定義如下 計算機圖形學(xué) 構(gòu)成一張控制網(wǎng)格，稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。 和 是B樣條基，分別由節(jié)點矢量U和V按deBoor-Cox遞推公式?jīng)Q定。計算機圖形學(xué) 計算機圖形學(xué)3.4 NURBS曲線與曲面B樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲

10、線而只能給出近似表示。提出NURBS方法，即非均勻有理B樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。計算機圖形學(xué)兩類研究問題逼近問題：圓弧的Bezier曲線逼近精確表示問題：權(quán)因子、頂點滿足什么條件才能精確表示圓??？計算機圖形學(xué)NURBS方法的主要優(yōu)點既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計提供了一個公共的數(shù)學(xué)形式修改控制頂點和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計提供了充分的靈活性。具有明顯的幾何解釋和強有力的幾何配套技術(shù)對幾何變換和投影變換具有不變性。非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例。

11、計算機圖形學(xué)應(yīng)用NURBS中還有一些難以解決的問題：比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲空間權(quán)因子選擇不當(dāng)會引起畸變對搭接、重疊形狀的處理很麻煩。反求曲線曲面上點的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題 (MAF方法) 計算機圖形學(xué)在講NURBS 的定義前，先回顧一下B樣條的定義：計算機圖形學(xué)3.4.1NURBS曲線的定義NURBS曲線是由分段有理B樣條多項式基函數(shù)定義的計算機圖形學(xué)Ri,k(t)具有k階B樣條基函數(shù)類似的性質(zhì)：局部支承性：Ri,k(t)=0，tti, ti+k )權(quán)性：可微性：如果分母不為零，在節(jié)點區(qū)間內(nèi)是無限次連續(xù)可微的，在節(jié)點處 (k-1-r)次連續(xù)可導(dǎo)，r是該節(jié)點的重復(fù)度。

12、若i=0， 則Ri,k(t)=0；若i=+，則Ri,k(t)=1；計算機圖形學(xué)NURBS曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：局部性質(zhì)。變差減小性質(zhì)。凸包性。在仿射與透射變換下的不變性。在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的可微性。計算機圖形學(xué)如果某個權(quán)因子為零，那么相應(yīng)控制頂點對曲線沒有影響。若 ，則當(dāng) 時，非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情況計算機圖形學(xué)3.4.2 齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)系xyw中的控制頂點為k階非有理B樣條曲線可表示為： 計算機圖形學(xué)以坐標(biāo)原點為投影中心，則得到平面曲線計算機圖形學(xué)三維空間的NURBS曲線可以類似地定義。非有理B樣條的算法可以推

13、廣到NURBS曲線，只不過是在齊次坐標(biāo)下進(jìn)行。計算機圖形學(xué)3.4.3 權(quán)因子的幾何意義如果固定曲線的參數(shù)t，而使 變化，則NURBS曲線方程變成以 為參數(shù)的直線方 程，即NURBS曲線上t值相同的點都位于同一直線上。計算機圖形學(xué) 分別是 對應(yīng)曲線上的點，即 計算機圖形學(xué)（1）若i增大或減小，則也增大或減小，所以 曲線被拉向或推離開Pi點；（2）若j增大或減小，曲線被推離或拉向Pj（ji）。計算機圖形學(xué)3.4.4圓錐曲線的NURBS表示取節(jié)點向量為T=0,0,0,1,1,1則NURBS曲線退化為二次Bezier曲線，且可以證明，這是圓錐曲線弧方程。計算機圖形學(xué)3.4.4圓錐曲線的NURBS表示計

14、算機圖形學(xué)3.4.5 NURBS曲線的修改常用的方法有修改權(quán)因子、控制點和反插節(jié)點。修改權(quán)因子當(dāng)保持控制頂點和其它權(quán)因子不變，減少或增加某權(quán)因子時，曲線被推離或拉向相應(yīng)頂點。計算機圖形學(xué)修改權(quán)因子欲將曲線在該點S拉向或推離控制頂點Pi一個距離d，以得到新點 ，可由重新確定相應(yīng)的權(quán)因子 使之改變?yōu)?來達(dá)到修改控制頂點修改控制頂點的位置，曲線隨之變形。 計算機圖形學(xué)修改控制頂點計算機圖形學(xué)反插控制點頂點計算機圖形學(xué)反插控制頂點計算機圖形學(xué)3.4.6非均勻有理B樣條（NURBS）曲面NURBS曲面的定義計算機圖形學(xué) 規(guī)定四角點處用正權(quán)因子，即 ，其余 。NURBS曲面的性質(zhì) 與非有理B樣條基函數(shù)相類

15、似的性質(zhì)：局部支承性質(zhì)權(quán)性計算機圖形學(xué)可微性. 在重復(fù)度為r的u節(jié)點處沿u向是p-r-1次連續(xù)可微，在重復(fù)度為r的v節(jié)點處沿v向是q-r-1次連續(xù)可微極值.若p，q1，恒有一個極大值存在是雙變量B樣條基函數(shù)的推廣計算機圖形學(xué)3.5 Coons曲面雙線性Coons曲面1964年，美國麻省理工學(xué)院S. A. Coons提出了一種曲面分片，拼合造型的思想。Coons區(qū)面的特點是插值，即利用滿足給定的邊界條件的方法構(gòu)造曲面。曲面的4個邊界曲面的4個焦點計算機圖形學(xué)3.5.2 雙線性Coons曲面計算機圖形學(xué)兩個曲面的疊加3.5.2 雙線性Coons曲面計算機圖形學(xué)3.5.2 雙線性Coons曲面構(gòu)造第三張曲面分別以P(0,0),P(0,1)及P(1,0),P(1,1)構(gòu)造兩個直線段以這兩條直線為邊界，構(gòu)造直紋面計算機圖形學(xué)3.5.2 雙線性Coons曲面合成曲面可改寫成矩陣的形式便是所要求的曲面，稱之雙線性Coons曲面。計算機圖形學(xué)3.5.2 雙三次Coons曲面對雙線性Coons曲面方程中的v求偏導(dǎo)后，代入v=0，可得P(u,0)的跨界切矢可見，跨界切矢不僅與該邊界端點的切矢有關(guān)，還與該邊界曲線有關(guān)。因 此，雙線性Coons曲面在曲面片的邊界上，跨界切矢一般不連續(xù)，也即，不能 達(dá)到曲面片的光滑拼接。計算機圖形學(xué)3.5.2 雙三次Coons曲面為了構(gòu)造光滑拼接的Coons曲面，除了