2020-2021哈爾濱備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)-相似的綜合_第1頁
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1、OF=2m+1,HF=1,2020-2021哈爾濱備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)相似的綜合一、相似1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸相交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=1.求點C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);聯(lián)結(jié)AC、BC,若ABC的面積為6,求此拋物線的表達(dá)式;在第(2)小題的條件下,點Q為x軸正半軸上一點,點G與點C,點F與點A關(guān)于點Q成中心對稱,當(dāng)CGF為直角三角形時,求點Q的坐標(biāo).【答案】(1)解:拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸為直線x=1,而拋物線與x軸的一個交點A的坐標(biāo)為(-1,0)拋物線與x軸的另一個交點B

2、的坐標(biāo)為(3,0)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,當(dāng)x=0時,y=-3a,C(0,-3a)解:TA(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),AB=4,OC=3a,S“CB=ABOC=6,6a=6,解得a=1,拋物線解析式為y=x2-2x-3解:設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,0).過點G作GH丄x軸,垂足為點H,如圖,琳GT點G與點C,點F與點A關(guān)于點Q成中心對稱,QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3,當(dāng)/CGF=90時,TZQGH+ZFGH=90,ZQGH+ZGQH=90,ZGQH=ZHGF,RtAQGH-RtAGFH,GhQh3m.

3、-=,即.,解得m=9,.Q的坐標(biāo)為(9,0);當(dāng)ZCFG=90時,TZGFH+ZCFO=90,ZGFH+ZFGH=90,.ZCFO=ZFGH,RtAGFH-RtAFCO,GhFh31f,即-.;:;:=,解得m=4,.Q的坐標(biāo)為(4,0);ZGCF=90不存在,綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(4,0)或(9,0).【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線是軸對稱圖形和已知條件可求得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo),再用交點式可求得拋物線的解析式,然后根據(jù)拋物線與y軸交于點C可得x=0,把x=0代入解析式即可求得點C的坐標(biāo);1(2)由(1)的結(jié)論可求得AB=4,OC=3a,根據(jù)三角形ABC的面積=ABOC=6

4、可求得a的值,則解析式可求解;(3)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,0).過點G作GH丄x軸,垂足為點H,根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3。分兩種情況討論:當(dāng)ZCGF=90時,由同角的余角相等可得ZGQH=ZHGF,于是根據(jù)有兩個角相等的兩個三角形相似可得GHQhRtAQGH-RtAGFH,則可得比例式二,代入可求得m的值,則點Q的坐標(biāo)可求解;當(dāng)ZCFG=90時,同理可得另一個Q坐標(biāo)。2.如圖,在中,工-匚二,點M是AC的中點,以AB為直徑作分別交X于點.(1)求證:-匕2)填空:若AB=6,當(dāng)彳=2Dk時,DE=;連接,當(dāng)弍的度數(shù)為時,四邊形ODME是

5、菱形.【答案】(1)證明::厶ABC=90,AM=MC,ABM=AM=MC,二ZA=ZABM.T四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,AZADE+ZABE=180,又ZADE+ZMDE=180,AZMDE=ZMBA,同理證明:ZMED=ZA,AZMDE=ZMED,AMD=MEDE【解析】【解答】解:由(1)可知,ZA=ZMDE,ADEIIAB,Mb11.TAD=2DM,ADM:MA=1:3,ADE=AB=x6=2.故答案為:2.當(dāng)ZA=60時,四邊形ODME是菱形.理由如下:連接OD、OE.TOA=OD,ZA=60,AAOD是等邊三角形,AZAOD=60.TDEIAB,AZODE=ZAOD=60,ZM

6、DE=ZMED=ZA=60,AODE,DEM都是等邊三角形,AOD=OE=EM=DM,A四邊形OEMD是菱形.故答案為:60.【分析】(1)要證MD=ME,只須證ZMDE=ZMED即可。根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=AM=MC,則ZA=ZABM,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易得ZMED=ZA,ZMDE=ZMBA,所以可得ZMDE=ZMED;DE聽(2)由(1)易證得DEIIAB,可得比例式:廠,結(jié)合中的已知條件即可求解;當(dāng)ZA=60時,四邊形ODME是菱形.理由如下:連接OD、OE,由題意易得ODE,DEM都是等邊三角形,所以可得OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。3.如

7、圖1,在RtAABC中,ZB=90,BC=2AB=8,點D、E分別是邊BC、AC的中點,連接。,將厶EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為a.1)問題發(fā)現(xiàn)AhAh當(dāng)a=0時,冊=;當(dāng)a=180時,乩=.(2)拓展探究AL試判斷:當(dāng)0a360時,AC=4J,,CD=4,CD丄AD,.AD=J-:+AD=BC,AB=DC,ZB=90,.四邊形ABCD是矩形,BD=AC=叮.如圖4,連接BD,過點D作AC的垂線交AC于點Q,過點B作AC的垂線交AC于點P,的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明.3)問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點共線時,直接寫出線段BD的長2)解:如圖2,AE當(dāng)0a360時

8、,的大小沒有變化,ZECD=ZACB,ZECA=ZDCB,/.IfBD=BD的長為叨:或.綜上所述,【解析】【解答】(1)當(dāng)a=0時,RtAABC中,ZB=90,.AC=I,T點D、E分別是邊BC、AC的中點,如圖1,S圖1z當(dāng)a=180時,可得ABIIDE,AC_BC.字_JAE_AC_序石.云-廠-:-【分析】(1)當(dāng)a=0時,RtAABC中,根據(jù)勾股定理算出AC的長,根據(jù)中點的定義得出AE,BD的長,從而得出答案;如圖1,當(dāng)a=180時,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AC:AE=BC:BD,再根據(jù)比例的性質(zhì)得出AE:BD=AC:BC,從而得出答案。當(dāng)0a?一.二:?CP.CP=8故答案為

9、【分析】(1)延長AB到M,使BM=AB,則A和M關(guān)于BC對稱,連接EM父BC于P,此時AP+EP的值最小,根據(jù)勾股定理求出AE長,根據(jù)矩形性質(zhì)得出ABIICD,推出ECP-MBP,得出比例式,代入即可求出CP長;(2)點A向右平移2個單位到M,點E關(guān)于BC的對稱點F,連接MF,交BC于Q,要使四邊形APQE的周長最小,只要AP+EQ最小就行,證MNQ-FCQ即可求BP的長;(3)作點P關(guān)于AB的對稱點G,作點P關(guān)于AC的對稱點H,連接GH,交AB,AC于點M,N,此時PMN的周長最小.S旳邊形ampn=S“gm+S“nh=S“gh-S“mn,即S“mn的值最小時,S四邊形ampn的值最大.1

10、0.已知:如圖,在RtAABC中,ZC=90,AC=3cm,BC=4cm,點P從點B出發(fā),沿BC向點C勻速運動,速度為lcm/s;同時,點Q從點A出發(fā),沿AB向點B勻速運動,速度為2cm/s;當(dāng)一個點停止運動時,另一個點也停止運動連接PQ,設(shè)運動時間為t(s)(0VtV2.5),解答下列問題:BQ=,BP=;(用含t的代數(shù)式表示)設(shè)PBQ的面積為y(cm2),試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式;在運動過程中,是否存在某一時刻上,使厶PBQ的面積為厶ABC面積的二分之一?如果存在,求出t的值;不存在,請說明理由;在運動過程中,是否存在某一時刻上,使厶BPQ為等腰三角形?如果存在,求出t的值;不存在,請說明

11、理由.【答案】(1)5-2t;t;y=-t2+-t(2)解:不存在,理.由:AC=3,BC=4,二SBC=X3X4=6,J.J由(1)知,SPBQ=-t2+-t,TPBQ的面積為厶ABC面積的二分之一,二-t2+-t=3,二2t2-5t+10=0,T=25-4x2x10V0,此方程無解,即:不存在某一時刻上,使厶PBQ的面積為厶ABC面積的二分之一(3)解:由(1)知,AQ=2t,BQ=5-2t,BP=t,TBPQ是等腰三角形,當(dāng)BP=BQ時,二t=5-2t,ZBEP=90=ZC,ZB=ZB,BEP-BCA,ZBFQ=90=ZC,ZB=ZB,.BFQ-BCA,BF_BG.,46t=,25b46

12、即:t為秒或秒或秒時,BPQ為等腰三角形.【解析】【解答】(1)在RtAABC中,AC=3cm,BC=4cm,根據(jù)勾股定理得,AB=5cm,由運動知,BP=t,AQ=2t,BQ=AB-AQ=5-2t,故答案為:5-2t,t;如圖1,過點Q作QD丄BC于D,圖1ZBDQ=ZC=90,IZB=ZB,BDQ-BCA,DQ_BCDQ5-2t,DQ=(5-2t)11.j.jy=S“c=BPDQ=-xtx(5-2t)=-t2+-t;【分析】(1)先利用勾股定理求出AB,即可得出結(jié)論;過點Q作QD丄BC于D,進而得出厶BDQ-BCA,用t表示出DQ,最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論;(2)先求出ABC的面

13、積,再利用厶PBQ的面積為厶ABC面積的二分之一,建立關(guān)于t的方程,進而判斷出此方程無解,即可得出結(jié)論;(3)分三種情況,利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),得出比例式建立關(guān)于t的方程求解,即可得出結(jié)論.11.如圖,在ABC中,ZC=90,AE平分ZBAC交BC于點E,O是AB上一點,經(jīng)過A,E兩點的O0交AB于點D,連接DE,作ZDEA的平分線EF交O0于點F,連接AF.(1)求證:BC是OO的切線;(2)若sinZEFA=,AF=,求線段AC的長.【答案】(1)解:如圖1,連接,平分_門;,.上二.,TI,、.T為-的半徑,是-*的切線.(2)解:如圖2,連接.由題可知為的直徑,二平分

14、ZDEF=ZAEF=15廠.:7.AFD為等腰直角三角形在-中,DF=AF=_丄_丄匸,止二_.4;.=匯-二空.【解析】【分析】(1)連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義可得北,根據(jù)平行線的判定可得OEIIAC,再由平行線的性質(zhì)可得ZBEO=ZC=90,即可證得結(jié)論;(2)連接,,根據(jù)已知條件易證.:-亠:.在2血中,根據(jù)勾股定理求得妙-16.根據(jù)同弧所對的圓周角相等及已知條件可得4MED丸二mw/EFA二一工在RrA址中求得AE的長,再證明AACE-AAED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得線段AC的長.12.如圖,矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點E從點A出發(fā),沿射線AD

15、移動,以CE為直徑作圓0,點F為圓0與射線BD的公共點,連接EF、CF,過點E作EG丄EF,EG與圓0相交于點G,連接CG.1)求證:四邊形EFCG是矩形;(2)當(dāng)圓0與射線BD相切時,點E停止移動,在點E移動的過程中,矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值?若存在,求出這個最大值或最小值;若不存在,說明理由【答案】(1)證明:如圖1,CE為O0的直徑,ZCFE=ZCGE=90.TEG丄EF,.ZFEG=90.ZCFE=ZCGE=ZFEG=90.四邊形EFCG是矩形(2)存在.連接0D,如圖2,四邊形ABCD是矩形,ZA=ZADC=90.點O是CE的中點.OD=OC.點D在OO上.TZFCE

16、=ZFDE,ZA=ZCFE=90,CFE-DAB.S/j-.7Cb.=(?)2.TAD=4,AB=3,.BD=5,a沐CFE=()2%dab/-=xx3x4=.S矩形Bcd=2SacfeT四邊形EFCG是矩形,.FCIIEG.ZFCE=ZCEGTZGDC=ZCEG,ZFCE=ZFDE,.ZGDC=ZFDETZFDE+ZCDB=90,.ZGDC+ZCDB=90.ZGDB=90I.當(dāng)點E在點A(Ez)處時,點F在點B(Fz)處,點G在點D(Gz處,如圖2所示.此時,CF=CB=4口.當(dāng)點F在點D(F)處時,直徑FG丄BD,如圖2所示,此時O0與射線BD相切,CF=CD=3.皿.當(dāng)CF丄BD時,CF最小,此時點F到達(dá)F,如圖2所示.匯bcd=BCCD=BDcf.4x3=5xCF.12CF=12CF4.3CR矩形ABCD1:.X(1)2SX42.矩形ABCD108S12.矩形ABCD108.矩形EFCG的面積最大值為12,最小值為-.【解析】【分析】(1

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