測量誤差與實驗數(shù)據(jù)處理mnust2012春

1、MNUSTSHISHI CHINA測量誤差與實驗數(shù)據(jù)處理2011物理課程組1一.測量與誤差 測量 直接測量：用儀器直接將待測量與選定的同類單位量進行比較，即直接在儀器上讀出待測量的值。 間接測量：由若干直接測得量通過一定的函數(shù)關(guān)系（公式、定律）進行計算從而求出待測量。 例如，直接測出擺長 l 及周期 T ，通過公式1 測量與誤差 測量：將被測量與選定的同類單位量進行比較。求出重力加速度 。 等精度測量：同一條件下，對同一物理量的多次測量 若測量條件發(fā)生變化則為不等精度測量。 我們所討論的測量均為等精度測量。2 測量的誤差誤差定義：測量值(x)與真值(X)之差，用 表示 又稱絕對誤差。相對誤差：

2、絕對誤差與真值的比，用 表示，即 按產(chǎn)生的原因和性質(zhì)，測量誤差分為兩類： 系統(tǒng)誤差：公式與定律不嚴(yán)格；儀器本身的缺陷；實驗者自身的不良習(xí)慣等原因引起的有一定規(guī)律的誤差。 隨機(偶然)誤差：由許多不穩(wěn)定的偶然因素產(chǎn)生的。 隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，測量次數(shù)足夠多，其平均測量結(jié)果總是在真值附近。 例如，測量環(huán)境溫度、氣壓的偶然變化，電流或電壓的起伏波動等因素。 3 理論與實踐都表明，一組等精度測量數(shù)據(jù)的隨機誤差服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，最常見的統(tǒng)計規(guī)律是正態(tài)(高斯)分布，如圖所示。橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為二. 誤差的處理 系統(tǒng)誤差的處理 可以通過修正公式或定律，選擇或改進儀器，糾正不良習(xí)慣等來消除或減

3、小系統(tǒng)誤差。 用儀器測量物理量總有誤差存在，要使測量更精確，就得設(shè)法減少、消除或修正測量誤差。 隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律 隨機誤差的處理誤差出現(xiàn)的概率密度 。4 圖中陰影部分的面積是測量列的概率，大小約為 68.3%。 中的任一測量值落在區(qū)間中 是測量無限次時的標(biāo)準(zhǔn)誤差。由于實際測量只能是有限次，而且被測量的真值也不可能準(zhǔn)確知道，因此這一標(biāo)準(zhǔn)誤差公式只具有理論意義。測量列 的標(biāo)準(zhǔn)誤差5 隨機誤差的實際估算其真值的最優(yōu)估計值是它們的算術(shù)平均值 單次測量值 xi 與算術(shù)平均值 之差稱為該次測量的偏差（或殘差）設(shè)一組n次的測量值為 偏差是測量值與有限次等精度測量的算術(shù)平均值之間的差值，偏差與誤差不同，實際

4、誤差估算使用偏差。測量列 標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計值稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差貝塞爾公式 測量列中任一測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。6 算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 按統(tǒng)計理論，算術(shù)平均值 比每一測量值都更接近真值，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 表示在 范圍內(nèi)包含真值X的概率為68.3%。物理實驗中，將用 作為測量結(jié)果隨機誤差的估計值。72-2 測量不確定度簡介 測量不但要得到被測量的最佳估計值，而且要對其可靠性作出評價。 不確定度是與測量結(jié)果聯(lián)系在一起的一種參數(shù)，用來表示因測量誤差的存在而對測量結(jié)果不能肯定的程度。 不確定度是指被測物理量的真值以一定的概率落在某一量值范圍的綜合誤差指標(biāo)。 誤差與不確定度的區(qū)別： 誤差測量值與真值之差。 估算

5、的標(biāo)準(zhǔn)偏差并不能表示測量結(jié)果的誤差，只是表示測量結(jié)果的不確定性。 不確定度是可觀測量，誤差是不可觀測量。8一. 測量不確定度的分類 測量不確定度按評定方法的不同分為兩大類1. 不確定度A類分量uA 凡可以通過統(tǒng)計方法計算得出的不確定度稱為A類不確定度，用uA表示。 約定：物理實驗中，A類不確定度取測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即2. 不確定度B類分量uB 凡不能用統(tǒng)計方法計算，只能通過其他方法估算的不確定度稱為B類不確定度，用uB表示。約定：B類不確定度是將測量儀器的誤差限（可能的最大誤差） 折合成等價的標(biāo)準(zhǔn)偏差。即9 例如，0.5級mA表的量程為10mA時，儀器的誤差限為 未注明儀器誤差限或誤差限

6、不清楚，則按如下規(guī)定： 能連續(xù)讀數(shù)，取最小分度的一半作為儀器的誤差限，如米尺、螺旋測微計、讀數(shù)顯微鏡等； 不能連續(xù)讀數(shù)或指針跳躍式移動的儀器，其最小分度為儀器誤差限，如機械秒表、數(shù)字儀表等。 儀器的誤差限一般通過兩種方式注明： 儀器上直接標(biāo)出或用準(zhǔn)確度表示。如50分度的游標(biāo)卡尺的分度值為0.02mm，其 ； 給出儀器的準(zhǔn)確度級別，然后算出 。如常用電學(xué)指針式儀表所用量程為A，準(zhǔn)確度等級為K，則10儀器備注 米尺（最小刻度1mm）0.5mm 游標(biāo)卡尺（20，50分度）最小分度值（0.05mm;0.02mm） 螺旋測微計（0-50mm）0.004mm物理天平（0.1 g ）0.05g各類數(shù)字儀表儀

7、器最小讀數(shù)分光計最小分度值（ ）磁電儀表（指針式）AK%A-量程，K-等級表2-1 儀器誤差限11二. 合成不確定度與相對不確定度 不確定度的合成誤差的方法是“方和根”合成法。 若兩類不確定度分量uA1, uA2, uAi, uB1, uB2 , uBi彼此獨立，則合成不確定度相對不確定度 12三. 直接測量的不確定度1. 單次測量的不確定度A類分量uA 單次測量的合成不確定度即不確定度B類分量2. 多次測量的不確定度 多次等精度測量列平均值的合成不確定度由不確定度A類分量uA和不確定度B類分量uB的方和根給出，即式中13 例2-1（P.13）用螺旋測微計測小球直徑，5次測量值為5.499，5

8、.500，5.499，5.498，5.498 (mm) ，求其合成不確定度。解：小球直徑測量列的算術(shù)平均值A(chǔ)類分量B類分量合成取不確定度結(jié)果14三. 間接測量的不確定度 間接被測量的算術(shù)平均值與合成不確定度由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計算給出。設(shè)間接被測量的函數(shù)式為其中則N的算術(shù)平均值 間接被測量N的算術(shù)平均值的不確定度 間接被測量N的算術(shù)平均值的相對不確定度15 若間接被測量的函數(shù)式以和差運算為主，則先計算 若間接被測量的函數(shù)式以乘除運算為主，則先計算，后計算 比較方便；，后計算 比較方便。求 可用下列算式：則間接被測量N的算術(shù)平均值的不確定度16如：1. 為和差關(guān)系 其中解：則17如：2. 為

9、乘除關(guān)系解：對 兩邊取對數(shù)，得其中則18 例2-2 (P.14) 用螺旋測微計測圓柱體的體積，其直徑的算術(shù)平均值 ，其不確定度 ； 高度的算術(shù)平均值 ，不確定度 。 求體積的不確定度（單位：cm）。解：函數(shù)關(guān)系為 ，則有19代入數(shù)據(jù)得取不確定度結(jié)果20函數(shù)式不確定度傳遞公式表2-2 常用函數(shù)的不確定度傳遞公式212-3 有效數(shù)字運算及其運算法則 用檢測儀器直接測量的數(shù)值都會有一定誤差，由這些數(shù)據(jù)通過計算獲得的間接測量值也不是準(zhǔn)確值。 為正確記錄實驗測量結(jié)果和數(shù)值計算結(jié)果，反應(yīng)真實的準(zhǔn)確程度，了解誤差的傳遞規(guī)律，確定適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)記錄和計算規(guī)則是必要的。 有效數(shù)字及其運算規(guī)則，給出了測量與計算數(shù)據(jù)的

10、正確方法，也給出了反應(yīng)測量與計算結(jié)果精確程度的科學(xué)表述方法。22一. 有效數(shù)字的基本概念 有效數(shù)字：物理量值中的全部可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成該量值的有效數(shù)字。 按有效數(shù)字規(guī)則，測量值只保留一位可疑數(shù)字。 例如：用米尺（最小刻度為mm）量得粉筆長度“7”和“2”是最小刻度以上的讀數(shù)，是可靠 (準(zhǔn)確) 數(shù)字；“5”是最小刻度以下估讀的數(shù)字，是可疑 (欠準(zhǔn)確) 數(shù)字。 盡管可疑數(shù)字并不準(zhǔn)確，但它在一定程度上反映了物理量大小和精確程度，是有意義的，是有效的。 不能估讀的儀器，則末位為可疑數(shù)字。如秒表、數(shù)字儀表、卡尺等。23例如： 例如：50.20cm是4位有效數(shù)字。它與50.2cm是不相等的，因為它

11、們有效數(shù)字不等，精度不等。 有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點及單位換算無關(guān)。都是3位有效數(shù)字。 50.2cm是用最小刻度為cm的尺測量的。 例如：粉筆的長度 L = 0.0725m（SI單位）。仍是3位有效數(shù)字，左邊的“0”只起到定位的作用。 量值中間的“0”和右邊的“0”是有效數(shù)字。 按有效數(shù)字規(guī)則，量值左邊的“0”不是有效數(shù)字。24二. 有效數(shù)字尾數(shù)取舍規(guī)則 擬舍去數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時，法則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。 例如：4.83499mm 保留3位有效數(shù)字時為4.83mm； 擬舍去數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5時；或者是5，而其后跟有并非全0的數(shù)字時，則進1，即保留的末位數(shù)字加1。 擬舍去數(shù)字

12、的最左一位數(shù)字為5；而右邊無數(shù)字或皆為0時，若所保留的末位數(shù)為奇數(shù)，則進1，為偶數(shù)，則舍棄。 例如：6.745001mm保留3位有效數(shù)字時為6.75mm。 例如：6.73500mm保留3位有效數(shù)字時為6.74mm。 例如：6.70500mm保留3位有效數(shù)字時為6.70mm。 不確定度的位數(shù)取舍按“進一法”，即非0則進1。25三. 有效數(shù)字的運算法則 用實驗儀器間接測量的數(shù)據(jù)存在誤差，用這些數(shù)據(jù)通過計算所得的間接測量數(shù)據(jù)的誤差一定不會變小。 因此，有效數(shù)字的運算規(guī)則對間接測量數(shù)據(jù)的精度至關(guān)重要。 有效數(shù)字運算的結(jié)果且保留最后一位可疑數(shù)； 可疑數(shù)字與可疑數(shù)字運算后為可疑數(shù)字，但進位數(shù)為可靠數(shù)； 可

13、疑數(shù)字與可靠數(shù)字運算后為可疑數(shù)字； 可靠數(shù)字與可靠數(shù)字運算后為可靠數(shù)字；有效數(shù)字運算的約定原則：26例如：1. 加減法 加減時，結(jié)果的有效數(shù)字按各數(shù)中最大可疑數(shù)位保留一位可疑數(shù)字（式中紅色數(shù)字，下同）。例如：2. 乘法例如： 兩個量乘積的有效數(shù)字一般與兩因子中有效數(shù)字較少的相同。 如果它們的最高位或等于10，積的有效數(shù)字比兩因子中較少的多取一位。273. 除法 兩個量相除，如果被除數(shù)的有效數(shù)字多于除數(shù)，則商的有效數(shù)字位數(shù)與除數(shù)相同。 如果被除數(shù)的有效數(shù)字不多于除數(shù)，且最高位小于除數(shù)的最高位，則商的有效數(shù)字比被除數(shù)少一位。 如果被除數(shù)的有效數(shù)字不多于除數(shù)，但最高位不小于除數(shù)的最高位，則商的有效數(shù)

14、字與被除數(shù)相同。例如：例如：例如：4. 乘方與開方 乘方按乘法規(guī)則。開方結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)相同。例如：285. 函數(shù)運算 對數(shù) 結(jié)果中小數(shù)點后面的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同。例如： 指數(shù) 冪的有效數(shù)字的位數(shù)與指數(shù)小數(shù)點后的位數(shù)相同。例如：例如： 三角函數(shù) 角度精確到1 時，結(jié)果保留四位有效數(shù)字； 角度精確到1” 時，結(jié)果保留五位有效數(shù)字。 常數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)一般比測量值多保留一位。6. 常數(shù)的有效數(shù)字不影響運算結(jié)果292-4 實驗數(shù)據(jù)的處理方法 依據(jù)物理實驗的具體內(nèi)容，包括實驗所遵從的定理、定律或?qū)嶒炓?guī)律，實驗數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和特點，實驗的目的和要求等，選用適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理方法，是實驗的重要

15、一步。 常用的數(shù)據(jù)處理方法包括：平均值法、逐差法、最小二乘法、列表法和作圖法等。一. 列表法 設(shè)計適當(dāng)?shù)谋砀?，把被測量和測量的數(shù)據(jù)一一對應(yīng)地排列在表格中，這就是最基本的列表法。 表格中還可以包括數(shù)據(jù)處理的中間結(jié)果等。 用表格整理的數(shù)據(jù)簡潔明了，便于了解物理量之間的對應(yīng)關(guān)系和測量值的變化情況，容易從排列的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)個別錯誤。30 曲線是依據(jù)若干測量數(shù)據(jù)點描出的平滑曲線，則作圖法具有多次測量取其平均效果的作用。二. 作圖法 作圖法就是把實驗數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系擬合成直線或曲線，反映物理量間的變化規(guī)律或函數(shù)關(guān)系。 作圖法的基本作用：能簡便地從曲線中求解結(jié)果。 作圖可有助發(fā)現(xiàn)實驗中的測量錯誤，以

16、便剔除。 通過變量代換，將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用直線表示 。直線斜率截距31 將作圖的有關(guān)數(shù)據(jù)列成完整的表格。作圖基本規(guī)則： 作圖必須用坐標(biāo)紙，根據(jù)需要選擇坐標(biāo)紙 。 坐標(biāo)紙的大小原則是以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括全部實驗點作為最低要求，即坐標(biāo)紙的最小分格與實驗數(shù)據(jù)的最后一位準(zhǔn)確數(shù)字相當(dāng)。 標(biāo)出坐標(biāo)軸的名稱和標(biāo)度，在坐標(biāo)軸上表明所代表物理量的名稱（或符號）和單位。 在坐標(biāo)紙上用“”或“”標(biāo)出測量數(shù)據(jù)點，并使各測量數(shù)據(jù)坐落在“”或“”的交叉點上。 用直尺或曲線板把數(shù)據(jù)點連成直線或光滑曲線 ，應(yīng)使數(shù)據(jù)點較勻稱地分布在曲線兩旁。32三. 逐差法 1. 逐差法的適用條件： 逐差法是一種求測量數(shù)據(jù)算術(shù)平

17、均值的方法。 將等間距測量的n(n為偶數(shù))個數(shù)據(jù) 和分成前后兩組2. 應(yīng)用方法yb0 + b1x + b2xyb0 + b1x + b2x + b3x 兩物理量x，y之間的關(guān)系可表達為多項式形式。例如： yb0 + b1x 變量 x 必須是等間距變化，且較因變量 y 有更高的測量準(zhǔn)確度。33然后對應(yīng)項相減得出逐差量則逐差量的算術(shù)平均值為即 例. 用受力拉伸法測彈簧的勁度系數(shù)k。已知彈性限度內(nèi)伸長量x與拉力F 滿足F = kx關(guān)系?，F(xiàn)等間距的改變拉力 ，測得一組數(shù)據(jù)如下表：34表2-5 彈簧受力伸長的測量數(shù)據(jù)次數(shù)拉力F(10-3N)伸長x(10-2m)100.0021.5033.0244.505

18、6.0167.5079.00810.5035 驗證 與 的線性關(guān)系1.51，1.49，1.50，1.50 (10-2m)。可判斷出 基本相等， 用逐差法求彈簧的勁度系數(shù)k 將實驗數(shù)據(jù)分成前組（x4, x3, x2, x1）和后組（x8, x7, x6, x5）, 對應(yīng)項相減后求平均值，可得由于每隔1個數(shù)據(jù)的拉力為 ，則得 按 逐項相減分別得出1.50，1.52，1.48，與 為線性關(guān)系。362-5 實驗測量結(jié)果的表示 物理量的測量結(jié)果由三部分組成，即被測量的算術(shù)平均值、不確定度和單位。 測量結(jié)果的基本表示格式：一. 直接測量結(jié)果的表示1. 單次測量結(jié)果的表示格式被測量平均值的不確定度。式中：X測量結(jié)果，被測量的算術(shù)平均值，2. 多次測量結(jié)果的表示格式37二. 間接測量結(jié)果的表示 設(shè)被測量N與直接測量量的函數(shù)關(guān)系為測量結(jié)果的表示格式為則其算術(shù)平均值間接測量量平均值的不確定度函數(shù)為自變量乘除運算式時，還可用38三. 測量結(jié)果中的有效數(shù)字 被測量的最后結(jié)果只保留一位可疑數(shù)字，而不確定度只