帶電細(xì)圓環(huán)以及薄圓盤(pán)的空間電場(chǎng)分布

1、帶電細(xì)圓環(huán)以及薄圓盤(pán)的空間電場(chǎng)分布孝義市第五中學(xué):藺金林摘要:先介紹電位的兩種計(jì)算方法，一種是用點(diǎn)電荷的電位分布來(lái)計(jì)算電位（參考點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)），一種是用電位與場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系式來(lái)計(jì)算電位.然后用兩種不同的方法求出均勻帶電薄圓盤(pán)軸線上的電位和電場(chǎng).根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)和電場(chǎng)的疊加原理，導(dǎo)出了均勻帶電細(xì)圓環(huán)電勢(shì)和電場(chǎng)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，再用疊加法推廣到均勻帶電圓盤(pán)周圍空間的電場(chǎng)分布（將均勻帶電薄圓盤(pán)分割成同心的帶電圓環(huán),先求出任一帶電圓環(huán)電位的空間分布,再進(jìn)行疊加,由點(diǎn)電荷在空間激發(fā)電場(chǎng)的電位公式，用兩種方法，一種是線電荷元分割法，一種是面電荷元分割法，求出均勻帶電圓盤(pán)電位的空間分布）.關(guān)鍵詞：均勻帶電圓環(huán)；均

2、勻帶電圓盤(pán)；電場(chǎng)；電位TheSpaceDistributionOfElectricFieldOfChargedThinRingAsWellAsThinDiscABSTRACT:Inthispaper,wefirstintroducetwocomputationalmethodsoftheelectricpotential,onekindisthatcalculatingtheelectricpotentialwiththepointchargespotentialdistribution(referencepointisininfinitedistance),anotheroneisthatc

3、alculatingtheelectricpotentialwiththeelectricpotentialandthefieldintensityintegralrelationship.Thenextractthespoolthreadontheevenchargedthindiscwithtwodifferentmethods.Accordingtotheprincipleofsuperpositionofelectricpotentialandtheelectricfieldofthepointcharges,derivetheprogressionexpressionoftheele

4、ctricpotentialandtheelectricfieldontheevenchargedthinring,againwewillusethemethodofsuperpositiontopromotethespacedistributionofelectricfield(Dividetheevenchargedthindisctomanyaconcentricchargedrings.Extractfirsttheelectricpotentialspatialdistributionnomatterwhereonachargedring.Againcarryonthesuperpo

5、sition.Fromtheformulaofelectricpotentialstirredupbyapointcharge,wededucethespacedistributionofauniformchargeddiscselectricpotentialwithtwomethods.Onekindisthelinechargemethod,onekindisthesurfacechargemethod).KEYWORDS:Evenchargedring；Evenchargeddisc；Electricfield；Electricpotential目錄TOC o 1-5 h z引言1 H

6、YPERLINK l bookmark8 o Current Document 1電位的計(jì)算21.1電位的兩種計(jì)算方法2均勻帶電圓盤(pán)軸線上電位2 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 2均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)5均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電勢(shì)5均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)6均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)、電勢(shì)的討論7 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 3均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)8均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)（線電荷元分割法）8均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)（面電荷元分割法）11總結(jié)12參考文獻(xiàn)13全國(guó)中小學(xué)教師論文大賽 引言各種帶電體周圍空間電場(chǎng)的解是電

7、磁學(xué)中經(jīng)常碰到的問(wèn)題,其中均勻帶電細(xì)圓環(huán)以及薄圓盤(pán)電場(chǎng)的空間分布是一個(gè)非常棘手的問(wèn)題.本文將先討論均勻帶電細(xì)圓環(huán)空間電場(chǎng)的解,再用疊加法推廣到均勻帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)分布.對(duì)于均勻帶電細(xì)圓環(huán)周圍空間電場(chǎng)的解,近年來(lái),已有文獻(xiàn)在用積分方程表示電場(chǎng)解的同時(shí),還用計(jì)算機(jī)對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.然而,尋找更易于理解的數(shù)學(xué)表達(dá)式,常常是我們問(wèn)及,也是我們非常關(guān)心的問(wèn)題.本文先利用點(diǎn)電荷電勢(shì)的公式及疊加原理導(dǎo)出均勻帶電細(xì)圓環(huán)周圍空間電勢(shì)的級(jí)數(shù)解,再通過(guò)電勢(shì)與電場(chǎng)的關(guān)系得出其電場(chǎng)強(qiáng)度的級(jí)數(shù)解.均勻細(xì)圓環(huán)的靜電勢(shì),由于物理圖象清晰,計(jì)算簡(jiǎn)單,在數(shù)學(xué)物理方法及電動(dòng)力學(xué)教材中多有討論.在此基礎(chǔ)上,很自然地就會(huì)要討論到均勻帶

8、電薄圓盤(pán)的靜電勢(shì)問(wèn)題.事實(shí)上，在Morse和Feshbach所著的MethodofTheoreticalPhysicsw書(shū)中就可以找到這個(gè)問(wèn)題.目前,在一些教材中也有所討論,或者把它列為習(xí)題2-6.但是,這個(gè)問(wèn)題，形似簡(jiǎn)單，實(shí)際上涉及數(shù)學(xué)物理方法中的一些基本理論，在一些教材中似乎討論的不夠充分，而且不能簡(jiǎn)單地把無(wú)窮多個(gè)細(xì)圓環(huán)疊加起來(lái)，就能得到正確的結(jié)果.本文將做盡可能詳細(xì)的分析，并用一種簡(jiǎn)單而又容易理解的疊加法（在球坐標(biāo)系中）求出其正確的結(jié)果.在電磁學(xué)中，對(duì)均勻帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)的空間分布問(wèn)題，一般的教材中只討論均勻帶電圓盤(pán)軸線上的分布，而對(duì)軸線以外場(chǎng)點(diǎn)的分布沒(méi)有討論，本文由電位的定義式，用兩種方

9、法求出均勻帶電圓盤(pán)電位的空間分布.1電位的計(jì)算電位的兩種計(jì)算方法當(dāng)電荷分布已知時(shí)，可用如下兩種方法計(jì)算電位.1、用點(diǎn)電荷的電位公式UJE-dl-Q卜巴二Q(1.1.1)pp4k8rr24k8r0p0p計(jì)算電位式中r是場(chǎng)點(diǎn)p與點(diǎn)電荷Q的距離接下來(lái)我們對(duì)電位的計(jì)算就用此公式.p由場(chǎng)強(qiáng)的迭加原理不難證明電位的迭加原理：n個(gè)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電位等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電位的代數(shù)和把激發(fā)電場(chǎng)的電荷分為許多點(diǎn)電荷，利用點(diǎn)電荷的電位公式(1.1.1)及電位疊加原理便可求得場(chǎng)中各點(diǎn)的電位當(dāng)電荷按體密度P連續(xù)分布時(shí)，可把帶電區(qū)域分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小體元山,其對(duì)場(chǎng)點(diǎn)p貢獻(xiàn)的元電位按式(1.1.1)為d

10、U=pdT(1.1.2)r是dt與場(chǎng)點(diǎn)p的距離整個(gè)帶電區(qū)域在p點(diǎn)激發(fā)的電位為(1.1.3)U二丄出農(nóng)4k8r0積分遍及整個(gè)帶電體積類似地，當(dāng)電荷按面密度連續(xù)分布于某曲面上時(shí)，電位公式為U二丄歸s(1.1.4)4k8r0積分遍及整個(gè)帶電曲面.應(yīng)該注意式(1.1.1),因而式(1.1.3)及(1.1.4)只對(duì)參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)的情況成立.因此,當(dāng)參考點(diǎn)不在無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，就不宜使用這種方法.2、用電位與場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系式計(jì)算電位使用這種方法時(shí)，首先應(yīng)在欲求電位的點(diǎn)p與參考點(diǎn)p0間選擇一條適當(dāng)?shù)那€，并根據(jù)電荷分布求出線上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng).由于積分路徑的任意性，可以根據(jù)具體情況選擇一條最便于計(jì)算的曲線.均勻帶電圓盤(pán)軸線

11、上電位均勻帶電圓盤(pán)軸線上電位.已知圓盤(pán)半徑為R，電荷面密度為o，參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn).如下圖因參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)，故可用式（1.1.1）作積分（第一種方法）,用極坐標(biāo)的方法把圓平面分成許多面元，坐標(biāo)為r,申的面元的面積為圖1.2.1均勻帶電圓盤(pán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)(1.2.1)(1.2.2)(1.2.3)z圖1.2.2均勻帶電圓盤(pán)軸線上的分布（z表示與盤(pán)心的絕對(duì)距離）dS=rd申dr其電量為dq=cdS=crd申dr按式(1.1.1)它在軸線上一點(diǎn)p貢獻(xiàn)的電位為grdpdrdU=一4ksr2+z20整個(gè)圓盤(pán)在p點(diǎn)貢獻(xiàn)的電位為u=Lg哼dr4兀Jr2+z20=旦J2兀d訂R,rdr4兀.00Jr2+z2=&R2+

12、z2-z）280其中z是p點(diǎn)與圓盤(pán)的絕對(duì)距離（不論p點(diǎn)在圓盤(pán)的左側(cè)還是右側(cè),z恒取正）電位沿圓盤(pán)軸線的分布如圖（1.2.2）曲線所示,這是一條連續(xù)曲線（包括盤(pán)心O點(diǎn)在內(nèi)）.這就說(shuō)明，雖然場(chǎng)強(qiáng)在帶電圓盤(pán)面發(fā)生突變（一面兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)雖然數(shù)值相同，但反向相反，故為突變），但電位在面上卻是連續(xù)的.也可用第二種方法求解，為此可選圓盤(pán)軸線為積分路徑可按照點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式，它在軸上一點(diǎn)P貢獻(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)(大小)為Qrd甲drdE=一4K8120其中l(wèi)是半扇形到點(diǎn)P的距離.由于電荷分布對(duì)稱于圓盤(pán)軸線OP，故必存在與所取半扇形對(duì)稱配置的另一半扇形,兩者面積、電量分別相等虛線半扇形在P點(diǎn)貢獻(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)如圖中dE所示.dE與dE

13、大小相等，與軸線夾角亦等，兩者的合場(chǎng)強(qiáng)必平行于軸線整個(gè)圓盤(pán)可分割為一對(duì)對(duì)這樣的半扇形，故P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)E亦平行于軸線因此只須對(duì)dE沿軸線的分量dE作z積分便可求出E由圖可知十十Qrd串drcosaqrd串drzdE=dEcosa=z4兀8120Qzrdqdr4兀812l04兀8(r2+z2)302對(duì)變量r、申作二重積分得E-QzJ2兀dqpjRrdr-Qf1-z(1.2.4)4K8000(r2+z2)3228oIJr2+z2丿其中z為O與P間的絕對(duì)距離(不論P(yáng)點(diǎn)在圓盤(pán)的右側(cè)還是左側(cè)，z恒取正)再對(duì)式(124)積分，即可求得式(123).圖(2.1.1)均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電勢(shì)式中C=丄2兀&0(2.

14、1.1)CXA2卜dOU=p2ox：1-BcosO=cxaH；+卜dO2-o1一BcosO兀V1一BcosOdO=CXA丿JdO1J1+BsinO,1odOoJ1一BcosOyj1+BsinOJ(2.1.2)2均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電勢(shì)利用上一章介紹的點(diǎn)電荷電勢(shì)的公式(1.1.1)及疊加原理導(dǎo)出均勻帶電細(xì)圓環(huán)周圍空間電勢(shì)的級(jí)數(shù)解如圖(2.1.1),設(shè)均勻帶電細(xì)圓環(huán)半徑為R,其電荷線密度為九.由對(duì)稱性可知：其電勢(shì)與電場(chǎng)必以z軸對(duì)稱因此，只要求得xOz平面內(nèi)電勢(shì)與電場(chǎng)，則整個(gè)空間的電勢(shì)與電場(chǎng)便可知.圖中dl線段電荷在p點(diǎn)電勢(shì)為：TOC o 1-5 h zdU=廻p4ksr0=1XRd

15、O4兀0%2+z2+R2-2xRcos0=CXAdO2J1一BcosO2xRx2+z2+R2將細(xì)圓環(huán)視為點(diǎn)電荷的集合，由電勢(shì)疊加原理，在空間p點(diǎn)處電勢(shì)為其中O=O-1.利用幕級(jí)數(shù)8TO131351357“2=1x+x2x3+x4xd0224246IC九aJ22+GB(cos0-sin0)+GB2+GB3(cos30-sin30)+0123GB4(cos40+sin40)+GB5(cos50-sins0)+45(2.1.3)GBn(cosn0+(-1)nsinn0)d0n式中：,g=7514864231廠_5312423642C(2n-1)(2n-3)31G即p點(diǎn)不應(yīng)在環(huán)上.n2n(2n-2)4

16、2n為正整數(shù).且Inn6688(2.1.4)這里：M_(n-1)(n-3)nn為正偶數(shù).同樣|B1.均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)得到均勻帶電細(xì)圓環(huán)周圍空間電勢(shì)的級(jí)數(shù)解后,再通過(guò)電勢(shì)與電場(chǎng)的關(guān)系,可得出其電場(chǎng)強(qiáng)度的級(jí)數(shù)解.由電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系:E=-VU(2.2.1)不難得到p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)令E=Ei+Ek，有：xzdUc兀QA(1E=-p=-CX(2+2MGB2+MGB4+MGBn+-J-xQx2Qx2244nnCXA-22MGB+4MGB3+nMGBn-1+22244nnQx咚(B2-2A2)22MG+4MGB22R22442R1QUE=-pzQznMGBn-2nn+nMGBn-2+丿nnzA2兀2z=江

17、U+CXA3B(上)22MG+4MGB2+R2p2R221(2.2.2)(2.2.3)其中|B|1.2.3均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)、電勢(shì)的討論1、對(duì)于z軸上的點(diǎn)(x=0,B=0),式(2.1.4)、U=C九A兀=九兀Rp(2.2.2)、(2.2.3)分別變?yōu)?Q(2.3.1)2兀8z2+R24兀8R),U近似為式(2.1.4)第一項(xiàng)：pQ(2.3.2)U沁p4兀8(x2+z2)0 xQ(2.3.3)Eqx4耐(x2+z2)320zQEqz4兀8(x2+z2)320此時(shí),p點(diǎn)電勢(shì)相當(dāng)于環(huán)上電荷置于圓心處時(shí)的點(diǎn)電荷的電勢(shì)和電場(chǎng).2、由式(2.1.4)可見(jiàn),電勢(shì)較大區(qū)域在圓環(huán)附近對(duì)于場(chǎng)強(qiáng)，此時(shí)由式(2.2

18、.3),E=0場(chǎng)強(qiáng)x方向沿圓環(huán)徑向同樣，當(dāng)p點(diǎn)位于環(huán)附近時(shí)，B2=2A2場(chǎng)強(qiáng)由式(2.2.2)中第一項(xiàng)決定當(dāng)p點(diǎn)距環(huán)越遠(yuǎn)時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)將會(huì)迅速減小得知:均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)主要集中在圓環(huán)附近(2.3.4)全國(guó)中小學(xué)教師論文大賽0 3均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)(線電荷元分割法)在電磁學(xué)中,對(duì)均勻帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)的空間分布問(wèn)題,一般的教材中只討論均勻帶電圓盤(pán)軸線上的分布,而對(duì)軸線以外場(chǎng)點(diǎn)的分布沒(méi)有討論,本章由電位的定義式,用兩種方法求出均勻帶電圓盤(pán)電位的空間分布.AZPrr9oydla0p圖3.1.1線電荷元分割法如圖(3.1.1),將均勻帶電薄圓盤(pán)分割成同心的帶電圓環(huán),先求出任一帶電圓環(huán)電位

19、的空間分布,再進(jìn)行疊加,即可求出均勻帶電圓盤(pán)電位的空間分布.在前面得到均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電位分布，得到(2.1.4)式如下：兀135-37-5-3U=C九A2+2GB2+GB4+GB6+GB8+p222446468648TOC o 1-5 h zn_1n_33GB.nn一24n=C九A-2+2MGB2+MGB4+MGB6+MGB8+222446688MGBn十nnRx2+Z2+R22xRx2+Z2+R2式中只有A、B與坐標(biāo)量有關(guān)，把上式對(duì)x積分，便可得到均勻帶電圓盤(pán)在xOz平面全國(guó)中小學(xué)教師論文大賽 上的分布.但計(jì)算起來(lái)相當(dāng)麻煩，（計(jì)算機(jī)可對(duì)它進(jìn)行數(shù)值計(jì)算）為了便于計(jì)算，我們?cè)谇蜃鴺?biāo)系中計(jì)算.本

20、節(jié)先用線電荷元分割法來(lái)求解.已有文獻(xiàn)對(duì)它進(jìn)行了計(jì)算，但用這種方法把無(wú)窮多個(gè)細(xì)圓環(huán)疊加起來(lái)，不能得到正確的結(jié)果.從根本上說(shuō)來(lái)，這是因?yàn)檩S定理所處的體系，不僅要求具有軸對(duì)稱性，而且對(duì)源（靜電問(wèn)題中的電荷，引力中的質(zhì)量，等等）的分布也有一定的限制.源只能分布在作為系統(tǒng)內(nèi)部界面的球面上.而在本問(wèn)題中，作為靜電勢(shì)的源的電荷，分布在赤道面上的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi).因此，我們?cè)谇蜃鴺?biāo)系中計(jì)算，便可容易得到正確的結(jié)果.如圖中所示，設(shè)均勻帶電圓環(huán)帶電量為dq，半徑為p，在環(huán)上任取一小線元dl,dl到p點(diǎn)的距離為r,dl帶申量為：蟲(chóng)dl-蟲(chóng)pdQ2p2p在p點(diǎn)激發(fā)電場(chǎng)的電位為:dV-1dqdqdQ-pdQ-(3.1.1

21、)4k8r2兀p8兀28r00式中r2=(rcos0)2+p2+(rsin0)2一2prsin0cos(a-Q)=r2+p2一2prsin0cos(a-Q)(3.1.2)將(3.1.2)代入(3.1.1)得:dV，=dq.dQ8兀280r2+p2-2prsin0cos(a-Q)V2性(3.1.3)8兀280oyjr2+p2-2prsin0cos(a-Q)由對(duì)稱性可知，圓環(huán)在p點(diǎn)的電位V與p點(diǎn)的方位角a無(wú)關(guān)，即可取0.dQr2+p2-2prsin0cosQ(3.1.4)(3.1.5)dqJ2兀8兀280Q=兀一2dQ=-2d0cosQ=cos(兀一勿)=一cos勿=一1+2sin2屮(3.1.6

22、)將(3.1.6)(3.1.5)代入(3.1.4)式得：V，=J22卻(3.1.7)8兀280一：Jr2+p2+2prsin04prsin0sin2屮為了計(jì)算簡(jiǎn)便，這里令4prsin0k2=p2+r2+2prsin0(3.1.8)將(3.1.8)代入(3.1.7)式得dqV，=_LJ；4兀28oJr2+p2+2prsin0-；J1-k2sin2屮(3.1.9)q.dq=2兀pdp=o2兀pdp兀R2將(3.1.10)代入(3.1.9)式積分得：v=_J-pdpJ：,2兀800Jr2+p2+2prsin0-；J1-k2sin2屮1-k2sin2v是屮的以兀為周期的偶函數(shù)，且k20則(3.1.10

23、)(3.1.11)J：-;(I-k2sin2屮=22/.=0fl-k2sin2屮C兀/17z13735=2一1+()2k2+()2k4+()2k62224246-兀2將(3.1.8)(3.1.12)代入(3.1.11)得JR些+(-)2(4rsin0)JR0r2+p2+2prsin020(13)+(3.1.12)oV=280(4rsin0)2JR0J(r2+p2+2prsin0)52p3dp(r2+p2+2prsin0)32(4rsin0)3JR0J(r2+p2+p4dp+2prsin0禮rzr-_r.ciR+rsin0+4R2+2Rrsin0+r2R2+2Rrsin0+r2一r一rsin0l

24、noV二280rsin0+rp2dp+()2(4rsin0)JR-20(r2+p2+2prsin0)32(4rsin0)2JR-0J(r2+p2+2prsin0)52p3dpp4dp(4rsin0)3JR+r2+p2+2prsin0)72(3.1.13)(3.2.1)(3.2.2)(3.2.3)討論：當(dāng)9=0時(shí)，p點(diǎn)便在軸線上，這時(shí)(3.1.13)式化為V=-(R2+r2一r)2&0即圓盤(pán)在軸線上與盤(pán)心相距為r處p點(diǎn)的電位，與電磁學(xué)中得出的結(jié)論相符合接下來(lái)用面電荷元分割法來(lái)求均勻帶電圓盤(pán)的電勢(shì).均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)(面電荷元分割法)如圖(321),將坐標(biāo)原點(diǎn)選在圓心O上,盤(pán)面在xOy平面內(nèi),z

25、軸沿圓盤(pán)軸線，設(shè)p點(diǎn)到圓心的距離為r，在盤(pán)內(nèi)任取一小面積元ds車z圖3.2.1面電荷兀分割法ds=dxdyds到圓心的距離為p，到空間任一點(diǎn)p的距離為”，電荷元帶電量為:dq=gdxdy電荷元在p點(diǎn)激發(fā)電場(chǎng)的電位為：dV二丄色4兀rr0由圖(3.2.1)可知r2=(rcos9)2+/2=(rcos9)2+p2+(rsin9)2一2prsin9cos(a)r=r2+p22prsin9cos(a0)將(3.2.1)(3.2.3)式代入(3.2.2)式得dV=dxdyr2+p2一2prsin0cos(a-Q)(3.2.4)將(3.2.4)式化為極坐標(biāo)的形式：dV=pdpdQr2+p2一2prsin0

26、cos(a-Q)pdpdQr2+p2一2prsin0cos(a-Q)a_0貝Vv_GjpdpdQ令沁0sr2+p2-2prsin0cosQQ_兀一2dQ_-2dcosQ_cos(兀一)_-cos2_-1+2sin2屮根據(jù)對(duì)稱性可知，圓盤(pán)電荷在p點(diǎn)產(chǎn)生的電位V與p點(diǎn)的方位角無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)單可取(3.2.5)(3.2.6)(3.2.7)(3.2.8)(3.2.9)(3.2.10)將(3.2.6)(3.2.7)代入(3.2.5)式得V_Gj-2pdp卻4兀0sJr2+p22prsin0(-1+2sin2屮)_Gj-pdpd2兀0jr2+p2+2prsin0-4prsin0sin2令4prsin0k2_p2+r2+2prsin0將