中考體系1.二次函數(shù)與線段-1(最全,)

1、二次函數(shù)與線段-1一、點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線的距離問(wèn)題二、線段和差最值及周長(zhǎng)最值問(wèn)題一、點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線的距離問(wèn)題1.【易】（揚(yáng)州市2013年初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題）如圖，拋物線yx22x8交y軸于點(diǎn)A，交x同正半軸于點(diǎn)B（1）求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點(diǎn)A、B之間平行移動(dòng)，直尺兩長(zhǎng)邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且0m3試比較線段MN與PQ的大小yBOxMPQAN【答案】（1）y2x8；（2）因?yàn)镸、N橫坐標(biāo)均為m；P、Q的橫坐標(biāo)均為m1可得：MNm24m；PQm22m3當(dāng)0m1.5時(shí)，MNPQ；當(dāng)m1.5時(shí)，MNPQ

2、；當(dāng)1.5m3時(shí)，MNPQ2.【中】(點(diǎn)到線段的距離+面積)（2012年四川廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABx軸于點(diǎn)B，AB3，tanAOB3將OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得41/42到eqoac(,OA)B；再將eqoac(,OA)B繞著線段OB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，得到eqoac(,OA)B，拋物線1111121yax2bxca0經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B、A12求拋物線的解析式；在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PBB的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P1的坐標(biāo)；在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB的距離為1求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yyAA22？若存在，A2BOxBO

3、A2xA1B1A1B1備用圖【答案】解：ABx軸，AB3，tanAOB34，23a3bc0OB4，B4，0，B10，4，A23，0拋物線yax2bxca0經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B、A，1242a4bc0c4，11解這個(gè)方程組，得a，b，c43311因?yàn)椋瑨佄锞€的解析式是yx2x43311點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線yx2x4上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PCx軸于33點(diǎn)C2/42ABCPA1yOA2xB1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m，n，則m0，n0，nm2m4于是，113311PCnnm2m4，33OCmm，BCOBOC4m4m，SPBB1SPBCS梯形PB1OCSOBB1BCPCPCOBOCOBOB2221111114mm2m4m2

4、m44m44332323211111128m2m332m22833當(dāng)m2時(shí)，PBB的面積最大1，即點(diǎn)P2，這時(shí)，n101033假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)Qx0，y0，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為22過(guò)點(diǎn)Q作QDBB于點(diǎn)D13/42AByDOA2x2x223311eqoac(,S)PBB1BBQD422，222x22233QA1B1由可知，這時(shí)PBB的面積可以表示為：180在RtOBB中，BBOB2OB24211121280解得x1或x300當(dāng)x1時(shí)，y4；當(dāng)x3時(shí)，y2；0000因此，在第三象限內(nèi)，拋物上存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB的距離為122，這樣的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是1，4或3，23.【中】(點(diǎn)

5、到直線距離)在直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22mxn1的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線上的一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC310用配方法把解析式y(tǒng)x22mxn1化成yaxh2k的形式；用含m、n的代數(shù)式表示頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；在中的拋物線上有一點(diǎn)D，使得直線DB經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，交x軸于點(diǎn)F，且原點(diǎn)O到直線DB的距離為85，求這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)54/42yCDBAOFx【答案】配方得：yxm2m2n1，所以頂點(diǎn)Am，m2n1；根據(jù)題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CEx軸交于點(diǎn)E，拋物線上一點(diǎn)C的橫左邊為1，且AC310，C1，n2m2，其中n2m20，OE1，CEn

6、2m2，拋物線的頂點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，Am，0，nm21，其中m0，OAm，則AEOEOA1m，在RtACE中，根據(jù)勾股定理得：AE2CE2AC2，即1m2n2m223102，2把代入得：m22m1m22m1900，m22m11m22m80，m22m110或m22m80，方程m22m110，b24ac444400，方程無(wú)解；方程m22m80，分解因式得：m4m20，解得：m4，m2，12m0，m2，把m2代入得：n413，拋物線解析式為yx24x4；直線DB經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，設(shè)直線DB交x軸正半軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作OMDB于點(diǎn)M，5/42點(diǎn)O到直線DB的距離為852，在RtOBM中，根據(jù)勾股

7、定理得：BMOB2OM2422kyx422x01點(diǎn)D的坐標(biāo)為，OM85，5拋物線yx24x4與y軸交于點(diǎn)B，B0，4，OB4，OBOF，OMBF，OBMBOM90，OBMBFO90，BOMBFO，又OMBOMF90，OBMFOM，OBFOOBFO，即4585，MBMO55OF2BO8，F(xiàn)8，0，設(shè)直線FB的方程為ykxb，b4把F和B的坐標(biāo)代入得：，8kb01解得2，b41直線BF解析式為yx4，2點(diǎn)D既在拋物線上，又在直線BF上，yx24x4，19x解得：或2，y25y2414BD為直線，點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，925246/42852455，yCDBMAOEFx4.【中】(點(diǎn)到直線距離)（樂(lè)山）

8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若OA、OB（OAOB）的長(zhǎng)分別是方程x24x30的兩根，且DAB45求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；過(guò)點(diǎn)A作ACAD交拋物線于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；在的條件下，過(guò)點(diǎn)A任作直線l交線段CD于點(diǎn)P，若點(diǎn)C、D到直線l的距離分別記為d、d，試求的dd的最大值1212yClPAOBx過(guò)點(diǎn)D作DDx軸于D，則D為AB的中點(diǎn)D【答案】解方程x24x30得x1或x3，而OAOB，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，01111分7/42yCd1lOAd2PMBxDD的坐標(biāo)為1，01又因?yàn)镈AB45，ADDD211D的

9、坐標(biāo)為1，2令拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為yax122拋物線過(guò)點(diǎn)A1，0，則04a2，得a121x122或?qū)懗蓎故拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y13（x2x）222CAAD，DAC90又DAB45，CAD451令點(diǎn)C的坐標(biāo)為m，n，則有m1n點(diǎn)C在拋物線上，n1m1222化簡(jiǎn)得m24m50解得m5，m1（舍去）故點(diǎn)C的坐標(biāo)為5，6由知AC62，而AD22，DCAD2AC245過(guò)A作AMCD，8/4211ACADDCAM，2245AM24655SADCSAPDSAPC，dd2445APAM65111ACADAPdAPd，22222424512即此時(shí)dd的最大值為4512】5.【中（江西省2013

10、年中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題卷）已知拋物線yxann2a（nn為正整數(shù)，且0aa12a）與x軸的交點(diǎn)為Ann1bn1，0和Ab，0，當(dāng)n1nn時(shí)，第1條拋物線yxa112a11與x軸的交點(diǎn)為A00，0和Ab1，0，其他依此類推求a，b的值及拋物線y的解析式；112拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（_，_）；3依此類推第n條拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（_，_）；n所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_；探究下列結(jié)論：若用AA表示第n條拋物線被x軸截得的線段長(zhǎng)，直接寫出AA的值，并求出AA；n1n01n1n是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2，0的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長(zhǎng)度都相等？若存在，直接寫出直線的

11、表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由9/42【答案】yxa112a1與x軸交于點(diǎn)A00，0，a2a0，11a0或1，1由已知可知a0，1a1，1即yx121，1方法一：令y0代入得：x1210，1x0，x2，121y1與x軸交于A00，0、A2，0，b2，1方法二：yxa112a11又與x軸交于點(diǎn)Ab1，0，b1210，b2或0，b0（舍去），111b2，1又拋物線yxa222a21與x軸交于A2，0，2a22a20，a1或4，2aa，21a1（舍去），2取a4，拋物線yx424229，9n2，n2yx詳解如下：10/42拋物線yx424令y0代入得：x4240，22x2，x6，121y2與x軸交于A

12、2，0，A26，0，又拋物線yxa332a3與x軸交于A26，0，6a32a30a4或9，3aa，32a4（舍去），3取a9，拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為9，9，331由y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4，4，拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)122為9，9,依次類推拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：n2，n2n所有拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：yx；1A00，0，A2，0，AA2，012又yxn2n2，n令y0，n2xn2n20即xn2n，xn2n，12An1n2n，0，An2n，0，即AAn2nn2n2n，nn1n存在1是平行于yx且過(guò)A2，0的直線，其表達(dá)式為yx211/4211()6.【難】

13、點(diǎn)到直線距離+角度（2012年四川瀘州）如圖，二次函數(shù)yx2mxm22的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D在第一象限過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為H當(dāng)m32時(shí)，求tanADH的值；當(dāng)60ADB90時(shí)，求m的變化范圍；設(shè)BCD和ABC的面積分別為S、S，且滿足SS，求點(diǎn)D到直線BC的距1212離yCD【答案】當(dāng)m時(shí)，yx2x2xD,在yx2x2中令y0，即x2x20，352AOHBx313132252222283252825DH813132222解得x1，x412A1，05AH4AH1tanADH22DH2558yx2mxmxm2111m122222m12Dm，2

14、，DHm12212/42在yx2mxm中令y0，即x2mxm0，解得xmm111221122頂點(diǎn)D在第一象限，m0 x2m1，x112A1，0AHm1當(dāng)ADB60時(shí)，ADH30，tanADHAH3DH3m1m1233，解得m231，m1（增根，舍去）122當(dāng)ADB90時(shí)，ADH45，AHDH，即m1m122，解得m1，m1（不符合m0，舍去）12當(dāng)60ADB90時(shí)，1m231設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，yCD設(shè)過(guò)點(diǎn)B2m1，0，C0，m的直線為ykxb，MAOHBx12則bm22m1kb01，13/422解得bm當(dāng)xm時(shí)，ymmMm，1k1211直線BC為yxm2211m1222

15、m12m1DMm122mm122，AB2m112m2BCD1ABCABOC，SS1DMOB，S22BCDSABC，2m12m2mmm1212當(dāng)m2時(shí)，A1，0，B5，0，C0，又頂點(diǎn)D在第一象限，m0，解得m252BC525，SABC6eqoac(,S)DBCBCd，52522設(shè)點(diǎn)D到BC的距離為d，121555d，222解得d655155222答：點(diǎn)D到直線BC的距離為6557.【難】(點(diǎn)到直線距離+點(diǎn)到點(diǎn)的距離)（2011年廣西玉林市中考數(shù)學(xué)試卷）已知拋物線yax22ax3a(a0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)求A、B的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)D作DHy軸

16、于點(diǎn)H，若DHHC，求a的值和直線CD的解析式；在第小題的條件下，直線CD與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)線段OB的中點(diǎn)N作NFx軸，并交直線CD于點(diǎn)F，則直線NF上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線CD的距離等于點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由14/42yHCDFEAONBx【答案】解：由y0得，ax22ax3a0，a0，x22x30，解得x1，x3，12點(diǎn)A的坐標(biāo)1，0，點(diǎn)B的坐標(biāo)3，0；由yax22ax3a，令x0，得y3a，C0，3a，又yax22ax3aax124a，得D1，4a，DH1，CH4a（3a）a，a1，a1，C0，3，D1，4，設(shè)直線CD的解析式為ykxb，把

17、C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，kb4b3，由得，E3，0，N，0F，EN，b3解得，k1直線CD的解析式為yx3；存在3239922215/42設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，m，則FMm，作MQCD于Q，3922EF929222922，MQOM94m2MO由題意得：RtFQMeqoac(,Rt)FNE，F(xiàn)M，ENEF整理得4m236m630，m29m634，m29m816381444m9214424m9122222m1321，m，2點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1，M2，如圖3，若F：yx2x，經(jīng)過(guò)變換后，AC23，點(diǎn)P是直線AC上的333333212222(8.【難】點(diǎn)到直線+點(diǎn)到點(diǎn)得距離+正方形)定義一種變換：平移拋物

18、線F得到拋物線F，12使F經(jīng)過(guò)F的頂點(diǎn)A設(shè)F的對(duì)稱軸分別交F，F(xiàn)于點(diǎn)D，B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線21212BD的對(duì)稱點(diǎn)如圖1，若F：yx2，經(jīng)過(guò)變換后，得到F：yx2bx，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)，12則b的值等于_；四邊形ABCD為（）A平行四邊形B矩形C菱形D正方形如圖2，若F：yax2c，經(jīng)過(guò)變換后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，c1)，求ABD的1面積；1271動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值16/42yF1yF1yF1DF2DF2DF2PO（A）CxACACBOBxOBx（圖1）（圖2）（圖3）4【答案】2；D；F:yax22c12而A0，c在F上，可得a12DB4acc12，

19、SABD2當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)（如圖1），yF1F2HDANBPCOx拋物線yx2x配方得yx122，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是A1，2，圖1設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，12713333AC23，點(diǎn)C的坐標(biāo)為123，2F過(guò)點(diǎn)A，21，x13F解析式為y21B13，13217/42D13，3NBND1，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱，ACDB，且ANNC四邊形ABCD是菱形，PDPB作PHAD交AD于點(diǎn)H，yF2DF1CN1BPAOxAC4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線yaxxt（a為常數(shù)，a0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：ykx（k為常數(shù)，k0）圖2則PDPHPBPH要使PDPH最小，即要使PBPH最小，此最小

20、值是點(diǎn)B到AD的距離，即ABD邊AD上的高h(yuǎn)DN1，AN3，DBAC，DAN30，故ABD是等邊三角形h3AD32點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為3當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)（如圖2），同理可得最小值為3綜上，點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為39.【難】（2013年湖北省宜昌市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為t，0，直角邊1218/42請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線y1axxt的頂點(diǎn)在函數(shù)yx2的圖象上；填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A（_，_），k_；隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a1時(shí)：414當(dāng)

21、三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)txt4，y2y1的值隨x的增大而減小，當(dāng)xt4時(shí)，y2y1的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍yyADEOC圖1BxOC供分析用x11當(dāng)a時(shí)，yxxt，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，【答案】t，4；k4ttt244216時(shí)，yaxxt的頂點(diǎn)在yx2當(dāng)a1144如圖1，過(guò)E作EKx軸于KACx軸，EKACE為AB的中點(diǎn)，K為BC的中點(diǎn)EK為ACB的中位線AC2，CKEK11CB222Et2，2，Et2，2在y1xxt圖象上41t2t2t24解得t219/42y2=xyyx=tx=t+4y1=ax(x-t)4tDA(t

22、,4)AE(t+2,2)BOC(t,0)K(t+2,0)圖1xOCE圖2B4atx+tyxyaxxt如圖24t4txaxxt，解得，x4t或x0atD點(diǎn)橫坐標(biāo)為4att當(dāng)x4att時(shí)，yy021由題意得，t44atttax2atxat1方法一：yy4xaxxt214ax2atxxt4tax4t22t222txaat2at2att22t22axa2at2at當(dāng)xt22at時(shí)y2y1最大（求頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，由二次函數(shù)性質(zhì)直接得xt22at時(shí)y2y1最大也可）20/42又x4att時(shí)yy最小為021xt時(shí)，yy隨x的增大而減小，當(dāng)xt時(shí)yy2atatat當(dāng)t2442121由題意得，ttyxmyaxxta

23、x2atxm0的0，xxt2at直線y與y的唯一公共點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2at當(dāng)x時(shí)y2y1最大，隨x的增大而增大t22atat1，t4方法二：設(shè)平行于直線OD且與y1axxt有唯一公共點(diǎn)的直線的解析式為y4xm34t4xmax2atx有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根t4t2，12t231t22at又當(dāng)x4att時(shí)yy最小為0，21xt時(shí)，yy隨x的增大而減小，當(dāng)xt時(shí)yy2atatat當(dāng)t242121由題意得，t，隨x的增大而增大t22at以下同方法一二、線段和差最值及周長(zhǎng)最值問(wèn)題10.【易】(線段最值+面積)（2010年永州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為1，0、0，3，點(diǎn)B在x軸上已知某二次

24、函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F21/42求該二次函數(shù)的解析式；若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)求PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)yAOCx=1FBxPc3a3（第25題）【答案】設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc（a0，a、b、c為常數(shù)），由拋物線的對(duì)稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為3，0，abc0依題意得：9a3bc03解得：b233c3所求二次函數(shù)的解析式為yP點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，323x2x333P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為323m2m333設(shè)直線BC的解析式為ykxb（k

25、0，k、b是常數(shù)），3kb0依題意，得b33k3b3故直線BC的解析式為y3x3，322/42eqoac(,S)CPFeqoac(,S)BPFm23m323m3點(diǎn)F的坐標(biāo)為m，3m3PF3m23m0m33PBC的面積S133329322812PFBO當(dāng)m3時(shí)，PBC的最大面積為9328yAOCx=1FBxP】）11.【中（線段和最短（2013年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷）已知二次函數(shù)yx22mxm21當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O0，0時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；如圖，當(dāng)m2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；在的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PCPD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的

26、坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yCOxD【答案】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O0，0，代入二次函數(shù)yx22mxm21，得出：m210，23/42解得：m1，二次函數(shù)的解析式為：yx22x或yx22x；m2，二次函數(shù)yx22mxm21得：yx24x3x221，拋物線的頂點(diǎn)為：D2，1，當(dāng)x0時(shí)，y3，C點(diǎn)坐標(biāo)為：0，3；當(dāng)P、C、D共線時(shí)PCPD最短，過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E，PODE，POCO，DECEPO3，24PCPD最短時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P，0.解得：PO3，232yCPOxED12.【中】(線段最值+面積)（2012年河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1x1與2拋物線yax2bx3

27、交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB與點(diǎn)C，作PDAB于點(diǎn)D求a，b及sinACP的值設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值；24/42連接PB，線段PC把PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為9:10？若存在，直接寫出m值；若不存在，說(shuō)明理由yCBDAOxa，bP1【答案】由x10，得到x2，2A(2，0)1由x13，得到x4，2B(4，3)yax2bx3經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，(2)2a2b30,42a4b331122設(shè)直線A，B與y軸交于點(diǎn)

28、E，則E(0，1)PCy軸，ACPAEOsinACPsinAEOOAAE22555由可知拋物線的解析式為y11x2x322Pm，m2m3，Cm，m1PCm1m2m3m2m4m2m411122212111222在RtPCD中，PDPCsinACP1252525/42595(m1)2.55550當(dāng)m1時(shí)，PD有最大值955存在滿足條件的m值，m或53229分別過(guò)點(diǎn)D，B作DFPC，垂足分別為F，G在RtPDF中，DF又BG4m,11PD(m22m8).55(m22m8)5eqoac(,S)PCDeqoac(,S)PBC1DFm2BG4m5Sm29eqoac(,S)PCD當(dāng)時(shí)PBC510解得m52S

29、當(dāng)eqoac(,S)PCDPBCm210時(shí)，59解得m32913.【中】(線段最值+面積)（2010年常德）如圖9，已知拋物線y12x2bxc與x軸交于點(diǎn)A4，0和B1，0兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)求此拋物線的解析式；設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EFAC交BC于F，連接CE，當(dāng)CEF的面積是BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)26/42yAOBC圖9x24112bc0【答案】由二次函數(shù)y12124bc02x2bxc與x軸交于A4，0、B1，0兩點(diǎn)可得：b解得：32c2故所求二

30、次函數(shù)的解析式為y13x2x222SCEF2SBEF，BF1BF1，CF2BC3BE點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為，0.EFAC，BEFBAC，BFEBCA，BEFBAC，BF1，BABC3得BE5323解法一：由拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為0，2若設(shè)直線AC的解析式為ykxb，20b則有，04kbk解得12b227/42若設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為a，a2a2，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為a，a2則有：PQa2a2a21故直線AC的解析式為yx221322又Q點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)P所作y軸的平行線與直線AC的交點(diǎn)，123211221a22a21a2222即當(dāng)a2時(shí)，線段PQ取大值，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為2，3解法二：延長(zhǎng)PQ交x軸于D點(diǎn)，則

31、PDAB要使線段PQ最長(zhǎng)，則只須APC的面積最大值時(shí)即可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x0，y0，則有：eqoac(,S)APCeqoac(,S)ADPS梯形DPCOSACOxy2yy2x42200222x2x2x42020即x2時(shí)，APC的面積最大值，此時(shí)線段PQ最長(zhǎng)，ADPDPDOCOD111OAOC2221110002yx400130 x24x00 x22400則P點(diǎn)坐標(biāo)為2，314.【中】(線段最值+面積)（2010年海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C；拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)A求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；28/42設(shè)Px，y是所得拋物線

32、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線lx軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)試問(wèn)：線段PN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由求以BC為底邊的等腰BPC的面積ylCPANBOMxc3【答案】由于直線yx3經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，令y0得x3；令x0，得y3B3，0，C0，3點(diǎn)B、C在拋物線yx2bxc上，于是得93bc0解得b2，c3.拋物線的解析式為yx22x3點(diǎn)Px，y在拋物線yx22x3上，且PNx軸，ylCPANBOMx設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，x22x329/42x同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為x，x3又點(diǎn)P在第一象限，PNPMNMx22x3x3x23x32924當(dāng)x3

33、時(shí)，2線段PN的長(zhǎng)度的最大值為94解法一：由題意知，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又由知，OBOC，BC的中垂線同時(shí)也是BOC的平分線，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為a，a又點(diǎn)P在拋物線yx22x3上，于是有aa22a3a2a30，a22解得a111311322，2，2或22，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：113113113113113113若點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，此時(shí)點(diǎn)P在第一象限，在RtOMP和RtBOC中，MPOM113，OBOC3，2eqoac(,S)BPCS四邊形BOCPSBOC2SBOPSBOC30/42ylCAPNMBOx2，P112BOPMBOCO22111392322231362113113若點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，此時(shí)

34、點(diǎn)P在第三象限，則SBPCSBOCSCOPSBOP11131323322211319322223133923136215.【中】(線段最值)（2011年長(zhǎng)春市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y12x22x3交y軸于點(diǎn)AP為拋物線上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A不重合連結(jié)AP，【參考公式：二次函數(shù)yax2bxc(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，】2a4a以AO、AP為鄰邊作平行四邊形OAPQ，PQ所在直線與x軸交于點(diǎn)B設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)m的值若點(diǎn)Q在x軸下方，則m為何值時(shí)，線段BQ的長(zhǎng)取最大值，并求出這個(gè)最大值b4acb231/42【答案】拋物線y12x22x3與y軸交于點(diǎn)A，3m22m3

35、點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)OA3四邊形OAPQ為平行四邊形，QPOA31當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，m22m332解得m0，m412當(dāng)m0，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意，舍去m4解法一：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，1BPm22m32QBQPBP121m22m21(m2)222點(diǎn)Q在x軸下方，0m4m2時(shí)，線段QB的長(zhǎng)取最大值，最大值為2解法二：QP3，QB=3BP，線段BP的長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段QB的長(zhǎng)取最大值當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，線段BP的長(zhǎng)取最小值4acb2b22時(shí)，y1當(dāng)x14342a4a142線段BP的長(zhǎng)最小值為1.m2時(shí)，線段QB的長(zhǎng)取最大值，最大值為31232/4216.【中】(線段最值)（2011年育才

36、三中一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxca0與x軸交與點(diǎn)A1，0、B3，0兩點(diǎn)，拋物線交y軸于點(diǎn)C0，3，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)直線yx1交拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，過(guò)線段MN上一點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí)，線段PQ最長(zhǎng)，最長(zhǎng)為多少？設(shè)E為線段OC上的三等分點(diǎn)，連接EP，EQ，若EPEQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)yCDQANOPBx9a3bc0c3解得：b2c3xM【答案】由題意，得：abc0a1yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，4由題意，得Px，x1，Qx，x22x3，線段PQx22x3(x1)x2x412172433/42時(shí)，線段PQ最長(zhǎng)

37、為4當(dāng)x1124E為線段OC上的三等分點(diǎn)，OC3，1E0，或E0，2EPEQ，PQ與y軸平行，2OEx22x3(x1)當(dāng)OE1時(shí)，x0，x3，12點(diǎn)P坐標(biāo)為0，1或3，2當(dāng)OE2時(shí)，x1，x2，121點(diǎn)P坐標(biāo)為1，0或2，()17.【中】線段最值+全等（2012年青海西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，已知A0，4、C5，0作AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接CD，過(guò)點(diǎn)D作DECD交OA于點(diǎn)E求點(diǎn)D的坐標(biāo)；求證：ADEBCD；拋物線y424x2x4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，連接AC探索：若點(diǎn)P是x軸下方拋物線55上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC

38、于點(diǎn)M是否存在點(diǎn)P，使線段MP的長(zhǎng)度有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yADBEOCx【答案】證明：OD平分AOC，AODDOC，四邊形AOCB是矩形，ABOCADODOC，AODADO34/42ADBCADEBCDOAAD（等角對(duì)等邊）D點(diǎn)坐標(biāo)為4，4解：四邊形AOCB是矩形OABB90，BCOAOAAD，ADBCEDDC，EDC90ADEBDC90BDCBCD90，ADEBCD在ADE和BCD中，DAEBADEBCD（ASA）解：存在二次函數(shù)解析式為：y424x2x4，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，55設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為t，t2t454245設(shè)AC所在直線函數(shù)關(guān)系式為ykxb，A0，

39、4、C5，0，b45k40k45b44AC所在直線函數(shù)解析式為：yx45yAEDBMOCxP35/42Mt，t4PMt2t4t4t25t5t5PMy軸，4524544554t24t54255445252當(dāng)t52時(shí)，PM最大值5所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為，352（18.【難】（二次函數(shù)+線段）2013年珠海市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長(zhǎng)分別為m、4m（m0），D為邊AB的中點(diǎn)，一拋物線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D及點(diǎn)M1，1m求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；把OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，連接OA并延長(zhǎng)與線段BC的延長(zhǎng)

40、線交于點(diǎn)E，若拋物線l與線段CE相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；在滿足的條件下，求出拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)yADByADBOACxONAMCxEE得4m2a2mbcm，解得b2m，abc1mcm【答案】解：設(shè)拋物線l的解析式為yax2bxc，將A0，m，D2m，m，M1，1m三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，cma136/42eqoac(,S)OAMOMANOAAM，所以拋物線l的解析式為yx22mxm；設(shè)AD與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ANx軸于點(diǎn)N.把OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，OADeqoac(,OA)D，OAOAm，ADAD2m，OADOAD90，ADOADO，矩形OABC中，ADOC，AD

41、ODOM，ADODOM，DMOM.設(shè)DMOMx，則AM2mx，在Rteqoac(,OA)M中，OA2AM2OM2，m22mx2x2，5解得xm.41122mm455AN43m3m，A點(diǎn)坐標(biāo)為m，m，解得m；4ONOA2AN2m，543553易求直線OA的解析式為yx，43當(dāng)x4m時(shí)，y4m3m，4E點(diǎn)坐標(biāo)為4m，3m.當(dāng)x4m時(shí)，x22mxm4m22m4mm8m2m，即拋物線l與直線CE的交點(diǎn)為4m，8m2m，拋物線l與線段CE相交，3m8m2m0，m0，38m10，118237/42yx22mxmxm2m2m，m，又mmm，當(dāng)m時(shí)，m2m隨m的增大而增大，當(dāng)m時(shí)，頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置，m2m，故此時(shí)拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為，.19.【中】(線段最值)如圖，拋物線yax2ax1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且與拋物線281182當(dāng)xm時(shí)，y有最大值m2m，12122411821121322241324191yax2ax1相交于A，B兩點(diǎn)2求a值；設(shè)yax2ax1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），1yax2ax1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），觀察M，N，E，2F四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；設(shè)