光纖光學(xué)結(jié)課論文

1、光纖中非線性薛定諤方程的求解摘要：本文介紹一種求解光纖中非線性薛定諤方程的方法：分步傅里葉變換法。 由于光脈沖信號在光纖中傳輸時(shí)，同時(shí)受到色散效應(yīng)和非線性效應(yīng)的影響。所以 利用分步傅里葉變換法，先考慮光信號在光纖中傳輸一段微小距離的情況下，先 計(jì)算色散效應(yīng)對光脈沖的影響，然后再計(jì)算非線性效應(yīng)對光脈沖信號的影響，進(jìn) 而近似求出非線性薛定諤方程的數(shù)值解。最后，應(yīng)用 MATLAB軟件來數(shù)值仿 真這個(gè)數(shù)值解，仿真結(jié)果可以清晰看到色散效應(yīng)對光脈沖的脈沖展寬，以及非線 性效應(yīng)對光脈沖的影響。關(guān)鍵詞：非線性薛定諤方程、分布傅里葉變換、Matlab引言：非線性薛定諤方程是光纖中傳輸?shù)幕痉匠?，一般情況，在達(dá)到

2、相同精度， 由于分步傅里葉變換法采用運(yùn)算速度快的快速傅里葉變換，所以相比較有限差分 法運(yùn)算速度快一到兩個(gè)數(shù)量級。本文通過借助Matlab編程通過分步傅里葉法數(shù) 值求解非線性薛定諤方程，最終用Matlab進(jìn)行仿真。1、非線性薛定謬方程非線性薛定諤方程，簡稱NLS方程，是一個(gè)非線性偏微分方程，通常情況 下無法求出解析解，只能求出它的數(shù)值解。在含有非線性色散介質(zhì)地脈沖傳輸問 題中應(yīng)用非常廣泛。非線性薛定諤方程的基本形式為：iu = u + 2 u |2 u其中u是未知的復(fù)值函數(shù)?！耙话闱闆r下，光脈沖信號在光纖中傳輸時(shí)，同時(shí)受到光纖的色散和非線性效 應(yīng)的影響。通過Matlab方程，考慮到光纖的色散和非

3、線性效應(yīng)，可以推導(dǎo)出光 信號在光纖中的傳輸方程，即非線性薛定諤方程。一般很難直接求出解析解，于 是通過數(shù)值方法進(jìn)行求解。具體分為兩大類：（1）分布有限差分法；（2）分步傅里 葉變換法。一般情況，在達(dá)到相同精度，由于分步傅里葉變換法采用運(yùn)算速度快 的快速傅里葉變換，所以相比較有限差分法運(yùn)算速度快一到兩個(gè)數(shù)量級。2、 Matlab的編程思路沿光纖的長度方向，色散和非線性是同時(shí)作用的。分步傅立葉法假設(shè)在傳輸 過程中，光場每通過一小段距離h，色散和非線性效應(yīng)可以分別作用，得到近似 結(jié)果。第一步，只有非線性作用，則方程6U=（D + N ）Udz.一人，,-一 一人其中D =0；第二步，再考慮線性作用，

4、方程中的中的N =0。接下來就可以分別求解非線性作用方程和線性作用方程，討論分步傅立葉法的數(shù)值算法。由于方程邑=Dudz邑頊. U dz是一個(gè)偏微分方程，需要通過傅立葉變換把偏微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，進(jìn) 行運(yùn)算。傅立葉變換的定義如下：rF U (z, T) = U (z,)=J*00 U (z, T )exp( iwT )dT-sF-i U (z,)=U (z, T) = J+0 U (z,)exp( iT )dTI2 兀s在計(jì)算FU(z,T)時(shí)一般采用快速傅立葉變換(FFT)算。為了保證精度要 求，一般還需要反復(fù)調(diào)整縱向傳輸步長z和橫向脈沖取樣點(diǎn)數(shù)T來保證計(jì)算精度。總的來講其步驟首先要將帶求

5、解的非線性薛定諤方程進(jìn)行振幅歸一化，接下 來進(jìn)行線性算符方程的求解和非線性算符方程的求解，運(yùn)行程序就可得出線性算 符和非線性算符的精確數(shù)值解及其仿真曲線。3、Matlab算法編程及代碼在Matlab中，設(shè)有限時(shí)長序列x(n)的長度為N(1 n abs(max(u)/2);fwhm1=length(fwhm1);dw=1/l/dt*2*pi;w=(-1*l/2:1:l/2-1)*dw;u=fftshift(u); %零延遲對中的譜w=fftshift(w); %零延遲對中的譜spectrum=fft(fftshift(u); %快速離散傅立葉變換for jj=h:h:zspectrum=spec

6、trum.*exp(g1); %g1為線性算符e的指數(shù)表達(dá)式 f=ifft(spectrum); %快速離散反傅立葉變換 f=f.*exp(g2);%g2為非線性算符e的指數(shù)表達(dá)式 spectrum=fft(f); %快速離散傅立葉變換spectrum=spectrum.*exp(g1);endf=ifft(spectrum); %快速離散反傅立葉變換 op_pulse(ln,:)=abs(f);%保存在所有間隔點(diǎn)上的輸出脈沖 fwhm=find(abs(f)abs(max(f)/2);fwhm=length(fwhm);ratio=fwhm/fwhm1;pbratio(ln)=ratio;d

7、d=atand(abs(imag(f)/(abs(real(f);phadisp(ln)=dd;%保存脈沖相位ln=ln+1;endtoc;cputime=toc;figure(2);mesh(op_pulse(1:1:ln-1,:);title(Pulse Evolution);xlabel(Time); ylabel(distance); zlabel(amplitude);figure(3)plot(pbratio(1:1:ln-1),k);xlabel(Number of steps);ylabel(Pulse broadening ratio);grid on;hold on;figure(4)plot(phadi