定積分的應(yīng)用-2課件

1、1 平面圖形的面積2 立體的體積3 經(jīng)濟應(yīng)用第四節(jié) 定積分的應(yīng)用1 平面圖形的面積復(fù)習(xí): 定積分的幾何意義由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形y=f(x)ab0 xy怎樣求面積呢？A-AA表示以y=f(X)為曲邊的曲邊梯形面積ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA2.如果f(x)在a,b上時正，時負(fù)，如下圖結(jié)論：幾何意義abxyy=f(x)0例1.用定積分表示圖中四個陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f

2、(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1bocdexyoa授新課：一、直角坐標(biāo)系情況yxoabxyoab 4、如果平面區(qū)域既不是x型區(qū)域，也不是y型區(qū)域，則用一組平行于坐標(biāo)軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的若干個x型區(qū)域與y型區(qū)域，然后計算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面積等于各區(qū)域面積之和。如右下圖：xEabABCDFGo解兩曲線的交點，選 為積分變量解方程組圖為

3、型區(qū)域練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。（1） （2） 軸（3） 練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。（4） （5） 解兩曲線的交點選 為積分變量練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。（6） 或 好12法一：以 y 作積分變量 法二：以 x 作積分變量 （7） 練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。例 4 求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。解由圖形的對稱性可得ab作 業(yè)P21112、（2）（4）（6）bocdexyoa復(fù)習(xí)：一、直角坐標(biāo)系情況yxoabxyoab第四節(jié) 定積分的應(yīng)用2 立體的體積2、平行截面面積為已知的立體的體積如果

4、知道一立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積旋轉(zhuǎn)體的概念平面圖形繞同一平面上某一定直線（旋轉(zhuǎn)軸） 旋轉(zhuǎn)一周所得的立體（演示）?？蛇x取適當(dāng)坐標(biāo)系，使旋轉(zhuǎn)軸為軸或軸。最基本的情形是曲邊梯形繞軸或軸旋轉(zhuǎn)的情形。旋轉(zhuǎn)體的體積示例：圓錐、圓柱、圓臺、球等都是旋轉(zhuǎn)體（演示）。aby=f (x)dcx=g (y)旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式1、旋轉(zhuǎn)軸為 x 軸（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所圍成的曲邊梯形繞 y

5、軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為2、旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸（演示）oxyP(h,r)旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式例 1 連接坐標(biāo)原點 O 及點 P( h , r) 的直線，直線 x=h及 x軸圍成一個直角三角形，將它繞 x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為 r，高為 h的圓錐體，計算圓錐體的體積。xx+dx解 如圖所示 直線OP的方程為 所求體積為 練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式x1y=x31xy=x31繞x軸旋轉(zhuǎn)一周 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周 1y=x31y軸軸練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式繞y軸旋轉(zhuǎn)一周 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周 1y=x3y返回例3 計算由曲線 y=x2 與 x=y2 所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周

6、而成的立體的體積。解 如圖所示V2V121練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式繞y軸旋轉(zhuǎn)一周 練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式繞x軸旋轉(zhuǎn)一周 第四節(jié) 定積分的應(yīng)用3 經(jīng)濟應(yīng)用一、由變化率求總量已知某產(chǎn)品的總產(chǎn)量Q的變化率是時間t的連續(xù)函數(shù)f(t),即設(shè)則該產(chǎn)品的總產(chǎn)量函數(shù)為為某個規(guī)定的初始時刻。通常，取即剛投產(chǎn)時的總產(chǎn)量為零。例1 某工廠生產(chǎn)某商品在時刻 的總產(chǎn)量變化率為 (單位/小時)。求由 到 這兩小時的總產(chǎn)量。 解我們已知，在經(jīng)濟學(xué)中，常用導(dǎo)數(shù)表示一些邊際經(jīng)濟量。例如邊際成本 ，邊際收益 ，邊際利潤 等。反過來，如果已知邊際量，要求總量，則可采用積分求解。二、由邊際函數(shù)求原函數(shù)解例2 已知邊際成本為固定成本為1000,求總成本函數(shù)。 例3 解： 某商品的需求量 為價格 的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000，已知邊際需求為 ，求需求量 與價格 的函數(shù)關(guān)系。 例3 解： 問題的提出返回定積分元素法分析返回定積分元素法返回平面圖形的面積（直角坐標(biāo)）返回求面積例題 1返回面積例題 2返回求面積例