高等數(shù)學(xué)第十二章第一節(jié)《常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)》課件

1、無窮級(jí)數(shù) 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)第十二章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理 第一節(jié)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正引例2.小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程知?jiǎng)t小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)

2、間, 定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加, 簡(jiǎn)記為收斂 ,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和,記作當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然例1. 討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù))( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為2). 若因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .則級(jí)數(shù)成為不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解: (1) 所以級(jí)數(shù) (1)

3、發(fā)散 ;技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和(2) 所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和 例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性 .解:故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)收斂于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,證: 令則這說明收斂 , 其和為 c S . 說明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為證: 令則這說明級(jí)數(shù)也收斂, 其和為說明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如, (1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或

4、減 .(用反證法可證)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證: 將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列 為原級(jí)數(shù)部分和序列 的一個(gè)子序列,推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證: 可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.