質點系動量定理

1、我國艦艇上發(fā)射遠程導彈實驗酒泉基地神舟飛船發(fā)射3.2 質點系動量定理質點系：由一群有一定相互關系的質點組成的系統(tǒng) 如果一個復雜物體的運動不能用簡化的質點模型處理，例如自轉的球、流體的運動、太陽系的運動等等。這時可以把它們視為由很多質點組成的系統(tǒng)。 因而在研究方法上可以先弄清楚系統(tǒng)中任意質點的運動規(guī)律，再按它們的相互關系推演出系統(tǒng)的整體規(guī)律。（theorem of mometum of a system of particles）一、質點系及其動量定理 系統(tǒng)成員間的相互作用稱為內力；系統(tǒng)與環(huán)境間的相互作用稱為外力（當然要由系統(tǒng)內某個或某些質點直接承擔）。 現(xiàn)在，我們要考察的對象是一個系統(tǒng)，系統(tǒng)之

2、外可稱為環(huán)境。 為簡單計，考慮只有兩個質點 m1 、m2 組成的系統(tǒng)，有外力 分別對它們作用，同時兩質點間還有相互作用。 m1m2對質點1 對質點2 兩式相加m1m2（由牛頓第三定律，內力等大小、反方向）由于系統(tǒng)的內力成對出現(xiàn)，系統(tǒng)的內力矢量和為零。推廣到多質點系統(tǒng)，動量定理表達式為：質點系總動量的增量等于作用于該系統(tǒng)合外力的沖量其意為： 從這里我們看到，一般情況下，只有外力的作用才能改變質點系的總動量。 如果內力的存在使外力發(fā)生變化，或外力的產生和變化受內力的影響、制約，這種情況下，內力對質點系的動量、角動量的變化會產生影響。 質點系統(tǒng)動量定理與單質點的動量定理有完全相同的形式。 礦砂從傳送

3、帶A落入B ，其速度4m/s ， 方向與豎直方向成 30角，而B 與水平方向成15角，其速度2m/s。傳送帶的運送量為 20kg/s 。 求：落到 B上的礦砂所受到的力。解：普通物理學教案例題1* (自學用)1530ABv1v21530作矢量圖在t 內落在傳送帶B上的礦砂質量為：這些礦砂的動量增量為：由動量定理：1530逆風行舟帆帆)航向分力動量定理“逆風行舟”從談動量定理“逆風行舟”從談pp11X2p22p2I逆風逆風p1p1m空氣團分子質點系總動量m空氣團分子質點系總動量 一粒子彈水平地穿過并排靜止放置在光滑平面上的木塊，穿行時間各為 t1、 t2，設子彈在木塊中受到恒阻力F 。求：子彈穿

4、過后， 兩木塊各以多大速度運動？解：普通物理學教案例題2 ：子彈穿過第一木塊時，兩木塊速度相同均為v1 子彈穿過第二木塊后，第二木塊速度變?yōu)関2 考慮到動量定理的意義，沖量僅決定于始末兩個狀態(tài)。再結合 式，可得結果。 如圖示，懸繩突然斷開，猴子以多大的加速度相對桿上爬，才能看上去不下落?解：普通物理學教案例題3：0y用牛頓定律建坐標得受力分析猴桿系統(tǒng) 解法二用質點系動量定理得0y分析 一根均質鏈條，長 l ，質量m ，豎直提起 ，一端剛剛觸地。由靜止狀態(tài)釋放，求其對地面的作用力。解：普通物理學教案例題4 ：0y建坐標取鏈條整體為系統(tǒng)無論何時鏈條整體受到外力作用地面部分的動量為任意時刻，將鏈條分

5、為兩部分空中部分的動量為 由動量定理 對坐標投影 0y0所以 得 即：下落過程中鏈條對地面的作用力是已經落下部分所受重力的 3 倍。 如果把此題改成一股高壓水柱對墻壁的沖擊可以理解入射水流在單位時間里對墻壁傳遞的動量為 （由于速度值的變化，必定引起流體的密度變化）因為墻壁表面沒有水的質量積聚，必有 反射水流單位時間內帶走的動量為 因而墻壁表面對水柱的作用力一般為 若水流碰到墻壁不再彈回 若水流完全反射 為墻壁給予水柱的作用力則因而 實際的情況介于這兩個極端情況之間。工業(yè)上的水力采煤技術就是基于這個原理。由質點系的動量定理的微分形式特別地若則即此即動量守恒定律 一個孤立的力學系統(tǒng)（系統(tǒng)不受外力作

6、用）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內各質點間動量可以交換。二、動量守恒定律應用動量守恒定律要注意以下幾點： 將上式寫成分量式，其中x 方向的分量式為：若：則有：討論 如果外力在 x 方向投影的代數(shù)和為零，則動量在 x 方向的分量守恒。內力的存在只改變系統(tǒng)內動量的分配，不能改變系統(tǒng)的總動量。 因而，系統(tǒng)動量守恒時，但每個質點的動量仍可能變化。在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程中，由于系統(tǒng)內部相互作用力遠大于合外力，往往可忽略外力，系統(tǒng)動量守恒近似成立。定律中的速度應是對同一慣性系的速度，動量和應是同一時刻的動量之和。動量守恒是自然界普遍適用的物理定律，它比牛頓定律更為基本。在微觀世界中牛頓定律

7、不再適用，但動量守恒定律仍然正確。動量守恒定律只適用于慣性系。人與船質量分別為m 及M ，船長為L ，若人從船尾走到船首。試求船相對于岸的位移。(初始時刻人與船靜止)解：普通物理學教案例題5 ：mML設人相對于船的速度為 u船相對于岸的速度為 v 由動量守恒:類似的二體問題有同解 此結果與人的相對速度 u 無關，只要他完成了船上的這段行走，船對地的移動距離都是 這正符合我們從牛頓定律出發(fā)建立理論體系的目的：避開運動和相互作用的細節(jié)，得到一般性的結論。 這個結果還暗示：動量守恒定律不受機械能是否守恒的影響（人、船之間有內耗），即 動量傳遞的守恒性，不受運動形式及能量轉換的影響，判斷動量是否守恒的

8、標準，是系統(tǒng)是否受外力作用?；鸺w行原理中國航天建立火箭模型：視火箭為一系統(tǒng)經dt 時間后主體噴出物火箭系統(tǒng)三、系統(tǒng)內質量流動問題 t 時刻：t + dt 時刻：由質點系動量定理：噴出物動量也是主體動量對于火箭問題 dm 0主體動量系統(tǒng)動量經整理可得：密歇爾方程 是相對火箭的改用 標記 t 時刻火箭主體質量m t 時刻火箭主體加速度F t 時刻作用在火箭主體上的、來自火箭系統(tǒng)外部的力火箭主體獲得的反推力 如果把方程的右邊看作是作用在火箭主體上的合力，那么它與牛頓定律就形式相同了。但意義絕不相同。 牛頓定律中質點的質量是不變的！而密歇爾方程描述的是變質量運動。 當作用在火箭系統(tǒng)上的外力F 一定時

9、，推力越大，火箭獲得的加速度越大。為火箭發(fā)動機的推動力。這就要求噴氣速率vr 大，排出率 大。例如：一種火箭的燃燒速率為理論上產生的推力為噴出氣體的相對速率為這相當于一艘4000噸海輪所受的浮力！重力場中，由靜止垂直上升的火箭的運行解：普通物理學教案例題6 ：假設火箭噴氣速率vr恒為 u據(jù)密歇爾方程取向上為坐標正向中國航天分離變量積分得如何利用此題的思路實現(xiàn)在行星、或星際太空站上 “軟著陸” ？思考題： 如果考慮空氣阻力的因素，設空氣阻力正比于速率的平方則：一般采用數(shù)值計算解。質量為m 的火箭在遙遠星際空間以速度v 飛行。試求：其速度與火箭本體質量之間的關系。解：普通物理學教案例題7 ：據(jù)密歇

10、爾方程分離變量積分則 飛船在太空中按此原理用離子火箭發(fā)動機控制飛行、調整姿態(tài)。取飛行方向為坐標正向另解：直接由質點系動量定理在遙遠星際空間，火箭受和外力為零。即，火箭系統(tǒng)動量守恒經整理可得：討論令火箭的質量比 要想增大單級火箭的末速度，可以采用兩個方法：一是增大排出氣體的相對速率；二是增大火箭的質量比。 近代高能推進劑如液氧加液氫的噴氣速率可達4.1km/s。 考慮到火箭主體本身的結構和必要的載荷，火箭的質量比增大有限。目前，單級火箭的質量比可做到15。因此目前在最好的情況下，單級火箭從靜止開始，可獲得的末速度約為 11km/s 。若采用多級火箭 由于實際從地面發(fā)射時，火箭受到地面引力和空氣阻

11、力，所以末速度只可能達到 7km/s 左右。 這一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用單級火箭不可能把人造地球衛(wèi)星或其它航天器送入地球軌道。由于技術上的原因，多級火箭一般是三級。有效載荷第三級火箭第二級火箭第一級火箭制導與控制系統(tǒng)動力系統(tǒng)N1 = 16；vr = 2.9km/s；N2 = 14；vr = 4km/sN3 = 12；vr = 4km/s 末速度的理論值為28km/s。同樣由于引力和空氣阻力，實際末速度值要小的多。 例如：發(fā)射阿波羅登月飛船的土星五號，起飛質量2800噸，高85m。 我國長征二號E火箭總長49.68米，直徑3.35米?？偲痫w重量461噸，起飛推力 ，近地

12、軌道運載能力達到9.5噸。 1. 整流罩 2. 衛(wèi)星 3. 衛(wèi)星支架（衛(wèi)星分配器） 4. 火箭支架 5. ETS固體發(fā)動機 6. 儀器艙 7. 二級氧化劑箱 8. 箱間段 9. 二級燃燒劑箱 10.級間段 11.二級游動發(fā)動機 12.二級主發(fā)動機 13.燃氣排氣孔14.一級氧化劑箱 15.箱間段 16.一級燃燒劑箱 17.尾段 18.一級發(fā)動機 19.助推器發(fā)動機 20.助推器燃燒劑箱 21.箱間段 22.助推器氧化劑箱 23.助推器端頭帽 衛(wèi)星支架（衛(wèi)星分配器）長征二號E 長征二號F 運載火箭是在長二捆火箭的基礎上，按照發(fā)射神舟載人飛船的要求，以提高可靠性確保安全性為目標研制的運載火箭。火箭

13、上加裝了逃逸塔，是目前我國所有運載火箭中起飛質量最大、長度最長的火箭。 震天雷 神火飛鴉 火龍出水原始火箭虎頭木牌一 窩 蜂落鏈問題，將空中部分視為主體，再解。解：普通物理學教案例題8 ：0y由密歇爾方程則再加上地面對已靜止部分的作用力落鏈問題，將地面部分視為主體，再解。解：普通物理學教案例題9 ：0y由密歇爾方程 裝煤卡車（24噸）在水平路面以 2m/s的初速滑行，送料車在其上方隨卡車以 1.9m/s 的速率前進，并以 200 kg/s 的泄漏率裝車。 求：在裝煤的 30s 后，卡車的行進速率。解：普通物理學教案例題10 ：由密歇爾方程以卡車為主體與 v 方向相反則不計阻力分離變量積分得所以

14、1.質心將質點系的動量和動量定理繼續(xù)作一分析：質點系統(tǒng)的動量在牛頓力學中，質點的質量是不變的，因而令質點系的質量中心*四、質心運動定理（theorem of motion of center - of - mass）N個質點的系統(tǒng)（質點系）的質心位置質量連續(xù)分布的系統(tǒng)的質心位置xyzmiOm2m1質心的位矢表達式可寫為分量形式在直角坐標系中有： 質心可能并不在體系中的任何一個質點上，它是由上式定義的一個物理量。 這里我們第一次看到，一個有用的物理量，可能并不對應著一個實際的東西。這種具有抽象性質的物理量，在以后的物理學習中，將會越來越多的碰到。質心的速度 質心的加速度 這是十分有趣的，質點系的

15、動量可以等效為位置在質量中心的一個質點的動量。繼續(xù)前面的推理分析： 順著這條線索自然會想到：也許我們真的能夠用對質心運動的描述來代替對質點系整體運動的研究。如果這樣的話，那將是十分方便的。由質點系動量定理比照牛頓定律。可以賦其名為質心運動定律至此，我們可以作出這樣的結論： 假設有多個外力作用在多粒子系統(tǒng)上，不管這些粒子組成何種復雜的結構（它們可以是剛體，也可以是星云或其它任何東西），我們總可以求出這些力的合力。如果將這些粒子看成一個質量為M的整體，那么整個體系的質量就可以看作集中在質心這個點上，合外力使該點產生一個加速度。 質心運動定律非常有用，若不考慮每個質點運動細節(jié)，只考慮體系的質心運動，

16、則其動力學方程與單個質點的動力學方程完全相同。 例如：地球繞太陽的運動，可以把它作為質點來處理，雖然地球內部有各種各樣的相互作用，都可完全不顧及，只需考慮外力太陽引力的作用就行了。 例如，炮彈在飛行軌道上爆炸時，它的碎片向四面八方飛散。炮彈爆炸的爆炸力是內力，內力可以改變組成炮彈的各個碎片的動量，但不能改變炮彈的總動量，因而不能改變質心的運動。不管炮彈的彈片飛向何方，作為全部彈片的質心所受外力仍然是重力，所以爆炸后質心仍然按原來的拋物線軌道運行。 質心仍作拋物線運動運動員跳水球棒拋擲 關于質心運動定律確實令人興奮，它在物理學發(fā)展的過程中具有很重要的作用。 它揭示出，牛頓定律有這樣一種獨特的性質：是一個在比