開放式基金決策問題的優(yōu)化

1、開放式基金投資最優(yōu)決策一、問 題某開放式基金現(xiàn)有總額為 15億元的資金可用于投資，目前共有 8 個(gè)項(xiàng)目可 供管理人選擇， 每個(gè)項(xiàng)目可重復(fù)投資。 根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)， 對(duì)每個(gè)項(xiàng)目投資總額不能 太高，應(yīng)有上限。 這些項(xiàng)目所需要的投資額已知， 一般情況下投資一年后各項(xiàng)目 所得利潤(rùn)也可估算出來，如表 1 所示。表 1單位：萬元項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資額67006600485055005800420046004500年利潤(rùn)11391056727.51265116071418401575上限3400027000300002200030000230002500023000請(qǐng)幫該公司解決以下問題

2、：（1）就表 1 提供的數(shù)據(jù)，應(yīng)該投資哪些項(xiàng)目，使得第一年所得利潤(rùn)最高？（2）在具體投資這些項(xiàng)目時(shí)，實(shí)際還會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)目之間互相影響的情況。公 司咨詢有關(guān)專家后，得到以下可靠信息：同時(shí)投資項(xiàng)目A1，A3，它們的年利潤(rùn)分別是 1005 萬元，1018.5萬元；同時(shí)投資項(xiàng)目 A4，A5，它們的年利潤(rùn)分別是 1045 萬元， 1276萬元；同時(shí)投資項(xiàng)目 A2，A6，A7，A8，它們的年利潤(rùn)分別是 1353 萬 元， 840萬元， 1610 萬元， 1350萬元，該基金應(yīng)如何投資？（3）如果考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，則應(yīng)如何投資，使收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)盡可能 小。投資項(xiàng)目總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量。

3、專家預(yù)測(cè)出各項(xiàng) 目的風(fēng)險(xiǎn)率，如表 2 所示。表2項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8風(fēng)險(xiǎn)率 （%）3215.52331356.54235（4）開放式基金一般要保留適當(dāng)?shù)默F(xiàn)金，降低客戶無法兌現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)。在這 種情況下，將專家的信息都考慮進(jìn)來，基金該如何決策，使得盡可能降低風(fēng)險(xiǎn)， 而一年后所得利潤(rùn)盡可能多？（5）這個(gè)項(xiàng)目投資，是必須資金全部到位才有利潤(rùn)，還是只要第一期資金到位啟動(dòng)后就可以隨便投資，然后利潤(rùn)率按第一期利潤(rùn)和投資之比來計(jì)算？二、模型的建立及求解1模型 1（線性整數(shù)規(guī)劃）（1）假設(shè)1）不考慮其他因素，單純追求利潤(rùn)最大；2）預(yù)計(jì)利潤(rùn)能正確反映各項(xiàng)投資的利潤(rùn)；3）若對(duì)某項(xiàng)目投資，則該項(xiàng)目的

4、總投資額必須是該項(xiàng)目投資額的整數(shù)倍；4）投資過程中交易費(fèi)為 0；5）該基金中無“莊家”或“金融大鱷”之類惡意操縱。（2）建模設(shè)xi為對(duì)項(xiàng)目 Ai的投資股數(shù)， H表示基金總額， mi表示項(xiàng)目 Ai的投資上限， bi表示項(xiàng)目 Ai每股的預(yù)計(jì)年利潤(rùn)， ci表示項(xiàng)目 Ai每股的投資額，則一年后總投資 88利潤(rùn)Rbi xi ，基金總額約束： cixi H ，各項(xiàng)目投資額上限約束： cixi mii1 i 1（i=1，2， 8），從而建立如下模型。8max Rbi xii18ci xi Hi1s.t. ci xi mi ,i 1,2, ,8xi N,i 1,2, ,8（3）求解使用 Lindo 軟件包，以

5、題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表 3 所示。表3項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)（股）51145255投資額3350066004850220002900084002300022500總投資149850年利潤(rùn)56951056727.550605800142892007875利潤(rùn)率（ %）1716152320174035總利潤(rùn)36841.5從表 3 可以看出，基本上利潤(rùn)率較高的投資項(xiàng)目對(duì)應(yīng)較強(qiáng)的投資勢(shì)頭， 但有 的投資項(xiàng)目雖然利潤(rùn)率較高， 卻未得到相應(yīng)的投資勢(shì)頭， 這說明利潤(rùn)率并不是影響投資的唯一因素，還有另外的因素尚未考慮到，需要繼續(xù)深入討論2模型 2（非線性整數(shù)規(guī)劃） 考慮

6、到專家的信息，投資項(xiàng)目之間相互影響，修正模型 1（1）假設(shè)1）專家的信息有較高的可信度，單純追求利潤(rùn)最大2）滿足模型 1 的假設(shè) 2） 5）。（2）建模01 變量由于不知道是否各相互影響的項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，利潤(rùn)較大，引入1,0,A1 , A3同時(shí)投資1,，z否則 ， 0,A4 , A5同時(shí)投資否則，u1,0,A2 , A6 , A7 , A8同時(shí)投資否則設(shè)bi 表示受同時(shí)投資影響時(shí)項(xiàng)目 Ai 每股的預(yù)計(jì)年利潤(rùn)，可建立如下模型max R y(b1x1 b3x3) (1 y)(b1x1 b3x3) z(b4x4 b5x5) (1 z)(b4 x4 b5x5 )u(b2 x2 b6 x6 b7x7 b

7、8x8 ) (1 u)(b2x2 b6x6 b7x7 b8x8)8ci xi Hi1cixi mi ,i 1,2, ,8 y x1x3 30ys.t. z x4x5 20z u x2x6x7x8 500u xi N,i 1,2, ,8 y,z,u 0或1其中 中的 30 表示 A1，A3 各最多投資 5 股， 6 股； y x1x3 30y 中的 20 表示 A4，A5各最多投資 4股，5 股；z x4x5 20z u x2x6x7x8 500u 中的 500 表示 A2，A6，A7，A8各最多投資 4股，5股，5股，5 股。當(dāng) A1，A3同 時(shí)投資時(shí)， x1x30， y=1；當(dāng) A1， A3

8、 不同時(shí)投資時(shí)， x1x3=0， y=0，故得 A1，A3 是否相互影響的約束可表示為： 。同理可得其他兩個(gè)是否相互影響y x1x3 30y的約束。（3）求解使用 Lingo 軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表 4 所示。表4項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)10645455投資額67000291002200029000168002300022500總投資額149100年利潤(rùn)10050611141806380285692007875利潤(rùn)率（ %）1516211922174035總利潤(rùn)37607從表 4 可以看出，隨著利潤(rùn)率的提高，投資勢(shì)頭也相應(yīng)增強(qiáng)，利潤(rùn)率下降，投資勢(shì)

9、頭也相應(yīng)減弱，這又一次反映了利潤(rùn)率對(duì)投資勢(shì)頭的強(qiáng)大影響。3模型 3（多目標(biāo)規(guī)劃 &非線性整數(shù)規(guī)劃） 考慮到專家提供的風(fēng)險(xiǎn)損失率方面的約束，進(jìn)一步修正模型2。（1）假設(shè)1）考慮專家預(yù)測(cè)出的各項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)率，總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng) 險(xiǎn)來度量，追求利潤(rùn)盡可能大、風(fēng)險(xiǎn)盡可能?。?）滿足模型 2 的假設(shè) 2）。（2）建模設(shè) qi 表示項(xiàng)目 Ai的風(fēng)險(xiǎn)率，則總體風(fēng)險(xiǎn) Q max qi ci xi ，投資總利潤(rùn) R 同1 i 8模型 2，從而可建立如下模型。max Rmin Qs.t. 同模型 2利 用 法 構(gòu) 造 評(píng) 價(jià) 函 數(shù) P R （1 ）Q ， 其 中 權(quán) 系 數(shù)Q* Q(0)R(0) R*

10、 Q* Q(0)R*，Q* 分別為 R，Q 的最優(yōu)值，R（0），Q（0）分別為 Q，R取最優(yōu)值時(shí) R，Q 的取值，可以把上述雙目標(biāo)規(guī)劃化為如下單目標(biāo)規(guī)劃 max P R （1 ）Qs.t. 同模型 2不過確定權(quán)系數(shù)的常用方法是根據(jù)專家意見和經(jīng)驗(yàn)給出（3）求解引入變量 s=Q，目標(biāo)函數(shù)化為 P R （1 ）s ，在滿足上述約束條件的基 礎(chǔ)上，還要對(duì) s 加以約束： qi ci xi s，i=1，2， 8。使用 Lingo 軟件包，以 題中所給的數(shù)據(jù)為例， 編程求得結(jié)果， 如表 5 所示，即在考慮利潤(rùn)和風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ) 上，均衡兩者的權(quán)，得出的最佳折中方案。表5項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投

11、資股數(shù)54040055投資額3350026400022000002300022500總投資額127400利潤(rùn)率 （%）1716152320174035風(fēng)險(xiǎn)率 （%）3215.52331356.54235年利潤(rùn)59654224050600092007875總利潤(rùn)32054總體風(fēng)險(xiǎn)10720（ A1 的風(fēng)險(xiǎn) ）從表 5 可以看出，利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)率對(duì)投資的影響都很大， 對(duì)利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)率 都大的項(xiàng)目應(yīng)謹(jǐn)慎投資，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)大，利潤(rùn)過小的項(xiàng)目應(yīng)少投資，甚至不投資。但 對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較大而利潤(rùn)較小的項(xiàng)目 A1 投資最多，說明權(quán)系數(shù)的選擇不適當(dāng)。4模型 4（多目標(biāo)規(guī)劃 &非線性整數(shù)規(guī)劃）模型 3 中未考慮保留適當(dāng)?shù)默F(xiàn)金，

12、從開放式基金具有由投資者隨時(shí)贖回的特 性來理解， 相比交易所掛牌上市的證券， 開放式基金以其單位基金凈值作為贖回 標(biāo)準(zhǔn)，可以在有效規(guī)避二級(jí)市場(chǎng)的股價(jià)波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)保證其流動(dòng)性。 對(duì)于突發(fā) 性的贖回請(qǐng)示， 基金管理人往往會(huì)通過保留一定的資金來應(yīng)付。 基于此， 我們?cè)?模型 3 的基礎(chǔ)上追加考慮保留適當(dāng)?shù)默F(xiàn)金， 用以降低客戶無法兌付的風(fēng)險(xiǎn)， 進(jìn)一 步修正模型 3。（1）假設(shè)1）考慮保留部分資金，追求利潤(rùn)最大、風(fēng)險(xiǎn)最??；2）不考慮原始投資人 1%的認(rèn)購(gòu)費(fèi)率、 0.5%的贖回費(fèi)率；3）考慮保留資金的存儲(chǔ)利潤(rùn)；4）滿足模型 3 中的假設(shè)。（2）建模模型 3 中未考慮投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，而這個(gè)因素直接涉及投

13、資方向和勢(shì)頭， 對(duì)模型結(jié)果的影響很大。在實(shí)際中， 對(duì)于不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者， 其最佳投資方案有所不同。 為了反映實(shí)際情況，我們把投資者偏好合并分類， 各自對(duì)應(yīng)的權(quán)值為： 高度冒險(xiǎn)：WR=0.8， WQ=0.2；比較冒險(xiǎn)： WR=0.6，WQ=0.4；中性冒險(xiǎn)： WR=0.5，WQ=0.5；比較保守： WR=0.4，WQ=0.6；高度保守： WR=0.2， WQ=0.8。WR，WQ在滿足 WR+WQ=1 的條 件下，具體取值可適當(dāng)調(diào)整，這并不影響算法的實(shí)現(xiàn)。1)風(fēng)險(xiǎn)偏好和效用函數(shù)。投資的目的是為了將來更大的消費(fèi)，即財(cái)富的增 加。不同的財(cái)富水平投資者獲得的效用是不同的， 同樣的財(cái)富增加量對(duì)不同的投

14、 資者，其帶來的效用增加也有所不同。財(cái)富 x 和效用 U 之間的數(shù)量關(guān)系通常稱 為財(cái)富的效用函數(shù)，記為 U(x)。U(x)一般是增函數(shù)，即 U (x) 0 ，但對(duì)于不同的 投資者其增長(zhǎng)的形態(tài)不同。以下是三種典型效用函數(shù)形態(tài)。風(fēng)險(xiǎn)回避型 這種人對(duì)財(cái)富的增加不很敏感， 或財(cái)富增加的邊際效用是遞減 的，通常不愿意為增加財(cái)富而冒大風(fēng)險(xiǎn)，如圖 1 所示。風(fēng)險(xiǎn)中性型 這種人對(duì)財(cái)富增加的態(tài)度始終是相同的，邊際效用是一常數(shù)， 如圖 2 所示。風(fēng)險(xiǎn)偏愛型 這種人對(duì)財(cái)富具有強(qiáng)烈的渴望， 越富越想富， 財(cái)富增加的邊際 效用是遞增的，因而愿意為增加財(cái)富而承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)，如圖 3 所示。以上三種基本形態(tài)均可用下列二次效

15、用函數(shù)表示：0：風(fēng)險(xiǎn)回避型U(x) x x20：風(fēng)險(xiǎn)中性型0：風(fēng)險(xiǎn)偏愛型 雖然實(shí)際的效用函數(shù)有可能不是二次的， 但二次效用函數(shù)具有更好的概率特 性。2)投資心理曲線。一般來說，人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念，在此， 對(duì)一個(gè)投資方案的看法(即對(duì)投資者的吸引力) 的變化就是一個(gè)典型的模糊概念。 通過查找心理學(xué)的相關(guān)資料，我們定義投資者的心理曲線為 u(x) 1 e (x/ )2 ( 0) ，其中 表示投資者平均收入的相關(guān)因子，稱為實(shí)力因子，一般為常數(shù)。實(shí)力因子是反映不同投資者的平均收入和消費(fèi)水平的標(biāo)準(zhǔn)。 確定一個(gè)投資方案應(yīng) 該盡力考慮所有不同投資者的實(shí)力因子， 而在我國(guó)不同地區(qū)的收入和消費(fèi)水平是

16、不同的，因此不同地區(qū)的實(shí)力因子也不盡相同， 要統(tǒng)一來評(píng)估這些方案的合理性， 就應(yīng)該對(duì)同一實(shí)力因子進(jìn)行研究。 為此我們以中等地區(qū)的收入水平為例， 根據(jù)相 關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入為 1.5 萬元，按我國(guó)的現(xiàn)行制度，平均工 作年限為 35年，則人均收入為 52.5萬元。取 u(52.5) 1 e (52.5/ ) =0.5(即吸引 力的中位數(shù))，則 6.30589。保留現(xiàn)金比例。設(shè)保留現(xiàn)金比例為 g，不同投資者所占人群比例為 i ， 又得知他們的風(fēng)險(xiǎn)偏好不同，主觀風(fēng)險(xiǎn)權(quán)系數(shù)為 WQi，i=1，2，3，4，5，則 55gi (WQi / WQi )i 1 i 1根據(jù)投資心理曲線， 參照風(fēng)險(xiǎn)

17、偏好和效用函數(shù)， 并根據(jù)網(wǎng)上調(diào)查， 得知投資 者基本上劃分為 5 種類型，通過代入模型計(jì)算，得到相關(guān)信息如表 6 所示。表6風(fēng)險(xiǎn)偏好高度冒險(xiǎn)比較冒險(xiǎn)中度冒險(xiǎn)比較保守高度保守所占人群比例 (%)8.524.53326.57.5風(fēng)險(xiǎn)權(quán)系數(shù)歸一化0.080.160.200.240.32保留現(xiàn)金比例 (%)19.96保留的資金存入銀行比閑置更有利， 這筆資金是用來應(yīng)對(duì)突發(fā)性的贖回請(qǐng)求的，隨時(shí)都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利潤(rùn)按0.72%計(jì)。將8此代入模型 3，并把基金總額約束修正為：ci xi (1 g)H ，得模型 4i1求解使用 Lingo 軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，

18、如表 7 所示。表7項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)50040455投資額3350000220000168002300022500總投資額117800年利潤(rùn)56950050600285692007875保留資金29940存款利潤(rùn)215.568總利潤(rùn)30901.568總體風(fēng)險(xiǎn)10720以上是在假設(shè)這一年中未發(fā)生突發(fā)性的贖回請(qǐng)求， 保留資金未被動(dòng)用的情況下的總利潤(rùn)。 考慮到最不好的情況， 即保留資金還未存入銀行就被動(dòng)用， 無存款 利潤(rùn)可言。綜上所述，我們認(rèn)為用于保留的資金為 29940萬元比較合適， 總利潤(rùn) 應(yīng)該在( 30686，30901.568)范圍內(nèi)。5模型 5(非線性整數(shù)規(guī)

19、劃)假設(shè)1)不考慮風(fēng)險(xiǎn)因素，單純追求利潤(rùn)最大；2)投資額是連續(xù)的；第一期資金到位啟動(dòng)后就可以隨便投資，然后利潤(rùn)率按第一期利潤(rùn)和投 資之比來計(jì)算。建模設(shè) xi為對(duì)項(xiàng)目 Ai 的投資金額， i=1，2， 8。考慮到假設(shè) 2)、3)，項(xiàng)目之間有 無影響時(shí)的利潤(rùn)率分別為 aibi ，aibi。引入 01 變量 vi1, Ai ，i=1，ici ici i0,否則2， 8，則 Ai的投資金額的上下限約束為： civi xi mivi ，可建立如下模型。 max R y(a1x1 a3x3) (1 y)(a1x1 a3x3) z(a4x4 a5x5) (1 z)(a4x4 a5x5 ) u(a2x2 a6

20、x6 a7x7 a8x8) (1 u)(a2x2 a6x6 a7 x7 a8x8)8xi Hi1civi xi mivi ,i 1,2, ,8y x1x3 102 107 ys.t. z x4x5 66 107 zu x2x6x7x8 357075 1012 uxi 0,i 1,2, ,8y,z,u,vi 0或1,i 1,2, ,8其中 7 中的 102107 表示 A1，A3 各最多投資 34000y x1x3 102 107 y萬元， 30000 萬元。當(dāng) A1，A3同時(shí)投資時(shí)， x1x3 0,y 1；當(dāng) A1，A3不同時(shí)投 資時(shí)， x1x3 0,y 0 。同理可得其他兩個(gè)是否相互影響的約

21、束。求解使用 Lingo 軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結(jié)果，如表 8 所示。表8項(xiàng)目編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8投資金額27000030000220000230002500023000總投資額150000年利潤(rùn)405006300506003910100008050總利潤(rùn)37370從表 8 可以看出，這種投資方案將資金全部拋出，未留“適當(dāng)”現(xiàn)金，不符合開放式基金的特點(diǎn)， 欠妥。比較模型 5 和模型 2 的結(jié)果，可知模型 5 的方案中 總投資額、總利潤(rùn)和利潤(rùn)率分別為 150000 萬元、 37370萬元、 24.9%，而模型 2 的方案中總投資額、總利潤(rùn)和利潤(rùn)率分別為 149100

22、萬元、 37607萬元、 25.2%， 顯然模型 2 的投資方案比模型 5 的更好。這說明在投資時(shí)， 只有投資以單位投資 額的整數(shù)倍投入， 利潤(rùn)才會(huì)以相應(yīng)倍數(shù)增大。 如果投資不是以單位投資額的整數(shù) 倍投入，利潤(rùn)的增長(zhǎng)則明顯滯后，利潤(rùn)率明顯偏低，是不合算的方案。同時(shí)模型 2 的方案中留下了一部分資金備用， 符合開放式基金客戶投資、 撤資自由的特點(diǎn)， 而模型 5 的方案中未留下任何備用資金， 一旦客戶要求撤資， 開放式基金就有失 信的風(fēng)險(xiǎn)，不利于其長(zhǎng)久發(fā)展。三、靈敏度分析決策變量 xi相應(yīng)的影子價(jià)格稱為縮減成本 RCi，i=1，2，8，RCi 的值表示當(dāng) xi增加一個(gè)單位（其他變量保持不變） 時(shí)，

23、目標(biāo)函數(shù)增加的量， 如表 9 所示。 表9股份x1x2x3x4x5x6x7x8模型 1RCi11391056727.51265116071418401575模型 2RCi100510561018.50127671418401575模型 3RCi1930224.4400246.540391.1334.7模型 4RCi1930000246.54151.7391.1334.7從表 9 可以發(fā)現(xiàn)， x1 的變化對(duì)各目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的影響最大， x7次之 四、模型的進(jìn)一步分析實(shí)際上，投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)都是隨機(jī)的，考慮如下問題。 某投資公司經(jīng)理欲將 50 萬元基金用于股票投資，股票的收益是隨機(jī)的。經(jīng) 過慎重考

24、慮，他從所有上市交易的股票中選擇了 3 種股票作為候選的投資對(duì)象，從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析得到：股票 A 每股的年期望收益為 5 元，標(biāo)準(zhǔn)差（均方差） 為 2 元；股票 B 每股的年期望收益為 8 元，標(biāo)準(zhǔn)差為 6 元；股票 C 每股的年期 望收益為 10元，標(biāo)準(zhǔn)差也為 10元；股票 A，B收益的相關(guān)系數(shù)為 5/24，股票 A， C 收益的相關(guān)系數(shù)為 - 0.5，股票 B，C 收益的相關(guān)系數(shù)為 - 0.25。目前股票 A，B， C的市價(jià)分別為 20元， 25 元，30元。（1）如果該投資人期望今年得到至少 20%的投資回報(bào)，應(yīng)如何投資可使風(fēng) 險(xiǎn)最?。ㄟ@里用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險(xiǎn)）？（2）投資回報(bào)率

25、和風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系如何？1建模設(shè) x1，x2，x3分別表示投資股票 A，B，C 的數(shù)量。國(guó)內(nèi)股票通常以“一手” （100 股）為最小單位出售，故此處設(shè)股票數(shù)量以 100股為單位。相應(yīng)地，期望 收益和標(biāo)準(zhǔn)差以百元為單位。記股票 A，B，C 每手的收益分別為 s1，s2，s3（百元），根據(jù)題意， si（i=1， 2，3）是隨機(jī)變量，投資的總收益 s x1s1 x2s2 x3s3也是隨機(jī)變量。用 E和 D 分別表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 （標(biāo)準(zhǔn)差的平方），r 和 cov 表示兩個(gè)隨機(jī)變 量的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差，則Es1 =5， Es2 =8， Es3 =10， Ds1 =4， Ds2 =36， Ds3 =

26、100， r12 =5/24， r13 =- 0.5， r23=-0.25， cov（s1,s2） r12 Ds1 Ds2 2.5 ， cov（s1 , s3 ） r13 Ds1 Ds3 10， cov（s2,s3） r23 Ds2 Ds3 15。故投資的總期望收益為 z1 Es x1Es1 x2Es2 x3Es3 5x1 8x2 10 x3 ，投 資 總 收 益 的 方 差 為 z2 Ds x12Ds1 x22 Ds2 x32Ds3 2x1x2 cov（s1, s2 ） 2 2 22x1x3 cov（s1 , s3 ） 2x2x3 cov（s2, s3 ） 4x1 36x2 100 x3 5

27、x1x2 20 x1 x3 30 x2 x3 。 實(shí)際上投資者可能面臨許多約束條件，如是否需要將資金全部用來購(gòu)買股 票，沒有購(gòu)買股票的資金是否可以存入銀行或做其他投資。 此處假設(shè)不一定需要 將資金全部用來購(gòu)買股票， 沒有購(gòu)買股票的資金也閑置不用， 而只考慮可用于投 資的資金總額的限制，即 20 x1 25x2 30 x3 5000 。問題（ 1）的模型為二次規(guī)劃：min z220 x1 25x2 30 x3 5000s.t. 5x1 8x2 10 x3 1000 x1,x2,x3 N問題（ 2）的模型為：min z z2 z120 x1 25x2 30 x3 5000s.t. 5x1 8x2 10 x3 1000 x1,x2,x3 N其中 為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，為統(tǒng)一量綱取 0 0.1 （在目標(biāo)函數(shù)中最好取 z2 的平方根，以便統(tǒng)一單位）。