一元二次不等式恒成立中求參數(shù)范圍的優(yōu)化策略教學(xué)文稿

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一元二次不等式恒成立中求參數(shù)范圍的優(yōu)化策略-一元二次不等式恒成立中求參數(shù)范圍的優(yōu)化策略1程序化思維過程1.1解題案例:一道高考題的四種解法例1(2008年全國(guó)理科題)已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍解法1(直接求最值)題意等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)對(duì)恒成立,即因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上,只可能是或由和,解得2解法2(分離參數(shù)法),解出而在時(shí)遞增,時(shí)遞減所以解法3(分類討論求二次函數(shù)的最大值)二次函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸是當(dāng)時(shí),在上遞增,故當(dāng)時(shí),只可能是或由和,解得2,而,故取當(dāng)時(shí),在上遞減,綜上所述解法4(轉(zhuǎn)換為

2、一元二次方程根的分布)導(dǎo)函數(shù)對(duì)恒成立,即對(duì)應(yīng)方程的兩根一根比大,一根比小,由根的分布和,解得21.2案例分析:程序化的解答策略追求解題過程的簡(jiǎn)單,追求思維過程的經(jīng)濟(jì),是解題研究的一項(xiàng)基本任務(wù),通過對(duì)解答充分地探討總結(jié),明確優(yōu)化的解題途徑,以利于解同類問題時(shí)能節(jié)省解題能量,縮短解題時(shí)間,提高解題效率.解法1和解法3都是把求出的最大值作為解題目標(biāo).但解法1抓住二次函數(shù)開口向上最大值只能在端點(diǎn)處取到的特點(diǎn),節(jié)省了解題時(shí)間;而解法3則拘泥于依對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系,按部就班來分類探求最大值,解法相對(duì)冗長(zhǎng).解法2則采用”分離參數(shù)”轉(zhuǎn)換為求的最值手段,這是解恒成立問題中最常用的方法,但不如解法1快捷.

3、解法4則利用二次函數(shù)圖象過渡,將不等式恒成立轉(zhuǎn)換為方程根的分布,充分體現(xiàn)了三個(gè)二次之間的聯(lián)系因此,處理一元二次不等式恒成立問題,其程序化的思維過程應(yīng)當(dāng)是:首先考慮能否直接求最值(譬如二次函數(shù)開口向上時(shí)只考慮最大值;而開口向下時(shí)只考慮最小值,這兩種情形的最值只可能出現(xiàn)在端點(diǎn)處);再考慮用分離參數(shù)轉(zhuǎn)換或者用分類討論直接求函數(shù)的最值顯然,言必談分離不是解法排行榜上的首選,至少不是思維過程的第一步所想2合理化的轉(zhuǎn)換:三類函數(shù)的最值探求是求解的終點(diǎn)例2(2004年全國(guó)改編)已知（）在R上是減函數(shù)，求的取值范圍.（II）在上是減函數(shù)，求的取值范圍.解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：（）當(dāng)（）時(shí)，是減函數(shù).所以，當(dāng)是

4、減函數(shù)；（II）在恒成立,分離參數(shù)得令,而,故時(shí),例3(2005年湖北省高考題)已知向量在區(qū)間（1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍.解：依定義開口向上的拋物線，故要使在區(qū)間（1，1）上恒成立.結(jié)合前面例題,可以看到解答時(shí)通常轉(zhuǎn)換為三類常見的函數(shù)的最值若不等式在上恒成立,只要或(見例2)若三個(gè)字母中只有一個(gè)是參數(shù),另兩個(gè)是常數(shù)時(shí),常轉(zhuǎn)換為三類常見的函數(shù)當(dāng)為參數(shù)時(shí),分離參數(shù)為,問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題,當(dāng)為參數(shù)時(shí),則轉(zhuǎn)換為,或者(見例1)而其中(同號(hào))時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù),即為常見的”對(duì)勾函數(shù)”,其單調(diào)區(qū)間分別是和(因其為奇函數(shù),只考慮了的情形)若(異號(hào))時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù)也是奇函數(shù),其在和上都單調(diào).當(dāng)為參

5、數(shù)時(shí),則轉(zhuǎn)換為,還是求二次函數(shù)的最值問題因此,對(duì)三類函數(shù):二次函數(shù),對(duì)勾函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性如能了如指掌,會(huì)大大提高解題速度.3解一元二次不等式恒成立要注意的兩個(gè)問題3.1分清主元和參數(shù),主元的一次函數(shù)可直接求最值例4(2006年四川高考文科題)已知函數(shù)其中是的f(x)的導(dǎo)函數(shù)。對(duì)滿足的一切的值，都有求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：由題意令是的一次函數(shù)，對(duì)，恒有，即即解得故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有可見在程序化思維中還要加在直接求最值中加上是否為主元的一次函數(shù)這種情形3.2若參數(shù)不能直接分離例5(2006年全國(guó)卷文史類)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。解,題意等價(jià)于在和上恒成立.其中當(dāng)時(shí),在R上遞增,滿足條件當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)換為方程的兩根在內(nèi),則,解得綜上所述,本題中參數(shù)在中不是齊次情形(含有和),故不便分離參數(shù),但三個(gè)二次總可以通過二次函數(shù)的圖象來轉(zhuǎn)換.1徐加