模糊集的理論及應(yīng)用1

1、第 1 章 模糊集的基本概念8/23/20221第 1章 模糊集的基本概念1.1 經(jīng)典集合的基本概念1.2 格與代數(shù)系統(tǒng)1.3 模糊集合的定義及運(yùn)算1.4 模糊集的分解定理1.5 模糊集的表現(xiàn)定理1.6 模糊集的其它運(yùn)算1.7 模糊算子的性質(zhì)1.8 模糊集的模運(yùn)算1.9 隸屬函數(shù)的確定方法8/23/20221.1 經(jīng)典集合的基本概念定義集合是確定的、具有一定性質(zhì)的事物的全體集合常用大寫(xiě)字母表示集合中的事物稱(chēng)為集合的元素，常用小寫(xiě)字母表示集合的元素與集合的關(guān)系是：屬于，或者，不屬于對(duì)于給定的問(wèn)題，所關(guān)心的事物的全體組成論域集合集合的表示方法：列舉法：將集合的元素列舉出來(lái)A=1,2,3,n,描述法

2、：給出集合元素滿足的性質(zhì)A=x|x是x2+2x-3=0的根特征函數(shù)：文氏圖法：特殊集合：全集合、空集合8/23/20221.1 經(jīng)典集合的基本概念運(yùn)算及表示 子集（） 相等（=） 并（） 交（） 余（-,c,） 差（-）對(duì)稱(chēng)差（）注意特征函數(shù)表示方法：上述公式可以推廣到任意多個(gè)集合的情況8/23/20221.1 經(jīng)典集合的基本概念運(yùn)算律冪等律 交換律結(jié)合律 吸收律分配律復(fù)原律 補(bǔ)余律對(duì)偶律 算律可以推廣到任意多個(gè)集合的情況（排中律，矛盾律）8/23/20221.2 格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集定義：一個(gè)集合L連同定義其上滿足下面3個(gè)條件的偏序關(guān)系，構(gòu)成一個(gè)偏序集（L， ）： （ ， ，L ）1、反身性：

3、 2、反對(duì)稱(chēng)性： ， = 3、傳遞性： ， 全序集： ， L，成立 或者 8/23/20221.2 格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集特殊元素集合A（L）最大元： A ，且 A， 集合A（L）極大元： A ，且 A， = 或者 A ，且 A， 最小元、極小元的定義可以仿照給出8/23/20221.2 格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集特殊元素集合A（L）上界： L，且 A， 集合A（L）上確界： 最小上界 L ，記為=sup|A對(duì)于下界、下確界的定義，可仿照上述定義給出8/23/20221.2 格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集的例子整數(shù)集合Z關(guān)于“”做成的集合（Z, ）；集合A的冪集合關(guān)于“”做成的集合（P(A), ）；正整數(shù)集合Z+關(guān)于

4、“|”（整除）做成的集合（Z+, |）；整數(shù)集合Z關(guān)于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相應(yīng)的哈斯（hassen）圖，其中要用到覆蓋的概念： ， L，說(shuō)覆蓋，如果（ 且 ） 且不存在使得 。若覆蓋，則在，間畫(huà)連線，且保證在上， 在下。將所有的覆蓋連線做出形成的圖稱(chēng)為哈斯（hassen）圖。8/23/20221.2 格與代數(shù)系統(tǒng)格的定義定義：偏序集(L, )稱(chēng)為格，如果 ， L， 集合，的上、下確界均存在。定義：（L,）稱(chēng)為格，如果L上的運(yùn)算,滿足冪等律、交換律、結(jié)合律、吸收律。定理：定義和定義是等價(jià)的： (L, )為格，定義, 為： =inf, ， =sup,

5、（L,）為格，在L上定義： = = 8/23/20221.2 格與代數(shù)系統(tǒng)特殊格：分配格 (格+分配律)有界格 (格有最大、小元1，0)對(duì)偶格 (格+余運(yùn)算+對(duì)偶律、復(fù)原律)完全格： (格+ | A L，| A L存在)稠密格： (格+ ，L，L，使得 ，0，1A1稱(chēng)為核，記為KerA， 稱(chēng)為支集，記為SuppA, -A1稱(chēng)為模糊集合的邊界模糊集合的高度:Hgt(A)=模糊集合的深度:Dpt(A)=數(shù)乘模糊集合8/23/20221.4 模糊集的分解定理截集的性質(zhì)截集合關(guān)于截水平單調(diào)減小同水平的截集比強(qiáng)截集大，低水平的強(qiáng)截集比高水平的截集大 特別，當(dāng)指標(biāo)集合為有限集合時(shí)，4個(gè)式子都成為等式 數(shù)乘

6、模糊集性質(zhì)：8/23/2022分解定理分解定理1：模糊集可以用其截集合表示 分解定理2：模糊集可以用其強(qiáng)截集合表示分解定理3： 其中1.4 模糊集的分解定理8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理集合套稱(chēng)滿足以下條件的映射是X上的一個(gè)集合套全體集合套的集合記為U(X),在其中定義如下運(yùn)算： 則 作成軟代數(shù) 8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理暈集（集輪）若則稱(chēng)F是X上的一個(gè)暈集.全體暈集的集合記為(X). 若讓F()等于一個(gè)模糊集合的截集，則F()是一個(gè)暈集。強(qiáng)暈集（強(qiáng)集輪）若則稱(chēng)F是X上的一個(gè)強(qiáng)暈集.全體強(qiáng)暈集的集合記為(X).讓若F()等于一個(gè)模糊集合的強(qiáng)截集，則F()是一個(gè)強(qiáng)暈集

7、。8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理31 ：映射是(U(X),c)到(F(X),c)的同態(tài)滿射，且滿足:8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理32 ：(F(X),c)同構(gòu)于(F(X),c)即每個(gè)模糊集A和一個(gè)集合套類(lèi)H一一對(duì)應(yīng)；同構(gòu)映射為： 其中， (F(X),c)是集合套類(lèi)的集合8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理容易驗(yàn)證：（1）任給一個(gè)模糊集合A，與其對(duì)應(yīng)的所有截集合的集合是一個(gè)集合套，令 ，則F是暈集；（2）任給一個(gè)模糊集合A，與其對(duì)應(yīng)的所有強(qiáng)截集合的集合是一個(gè)集合套，令 ，則G是強(qiáng)暈集；還可以證明下面的事實(shí)：（1）在每個(gè)集合套等價(jià)類(lèi)H中

8、，存在唯一的暈集F：（2）在每個(gè)集合套等價(jià)類(lèi)H中，存在唯一的強(qiáng)暈集G：8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理 在 中定義并、交、余運(yùn)算如下： 的同構(gòu)性質(zhì) (F(X),c)同構(gòu)于( f )（ ，,c) 8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理 在 中定義并、交、余運(yùn)算如下： 的同構(gòu)性質(zhì) (F(X),c)同構(gòu)于( g )（ ，,c）8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理1和表現(xiàn)定理2 表現(xiàn)定理1： （ ，,c）同構(gòu)于(F(X),c) 表現(xiàn)定理2： （ ，,c）同構(gòu)于(F(X),c) （這只需將同構(gòu)映射f ，g 分別與同構(gòu)映射T合成即可） 8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理

9、構(gòu)建（F(X),c）的另一種途徑在（U(X),c）中定義關(guān)系“”：則容易證明它是等價(jià)關(guān)系，從而可以對(duì)U(X)的元素分類(lèi)，記所得等價(jià)類(lèi)的集合為F(X)，并在其中定義,c運(yùn)算如下：則（F(X),c）作成軟代數(shù)，并有以下結(jié)論： 由此可以證明以下映射是同構(gòu)映射：8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理集合套類(lèi)與集輪的關(guān)系設(shè)H是一個(gè)集合套類(lèi)，定義如下兩個(gè)映射：則有：（1）（2）（3）（4） 8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理模糊集的隸屬函數(shù)在0，1X中定義如下運(yùn)算、c：定義映射 f 是(F(X),c)到0，1X, ，c)的同構(gòu)映射；8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理(F(X),c)同構(gòu)

10、于0，1X, ，c)說(shuō)明：一個(gè)模糊集合和一個(gè)函數(shù)1-1對(duì)應(yīng)，稱(chēng)該函數(shù)為模糊集的隸屬函數(shù).8/23/20221.5 模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理總結(jié)每個(gè)集合套唯一確定一個(gè)模糊集，但不同的集合套可對(duì)應(yīng)同一個(gè)模糊集合；將集合套進(jìn)行分類(lèi)（注意有兩種分類(lèi)的方法：與同態(tài)映射有關(guān)的和無(wú)關(guān)的），使得每個(gè)類(lèi)和一個(gè)模糊集合1-1對(duì)應(yīng)；在每個(gè)集合套等價(jià)類(lèi)中，存在唯一一個(gè)集輪和強(qiáng)集輪，它們分別是所在類(lèi)的最大、最小元，是等價(jià)類(lèi)的兩個(gè)特殊代表元素；每個(gè)模糊集合和一個(gè)集輪1-1對(duì)應(yīng)；每個(gè)模糊集合和一個(gè)強(qiáng)集輪1-1對(duì)應(yīng)；分解定理和表現(xiàn)定理從兩個(gè)不同的方面揭示了模糊集合和經(jīng)典集合的相互關(guān)系：前者說(shuō)明模糊集合可以由經(jīng)典集合來(lái)表示；后

11、者說(shuō)明每個(gè)集合套和對(duì)應(yīng)的等價(jià)類(lèi)以及其中的集輪、強(qiáng)集輪可以確定一個(gè)模糊集合；表現(xiàn)定理為我們提供了研究模糊集合的另外手段用對(duì)應(yīng)的集合套或等價(jià)類(lèi)（許多證明題可利用表現(xiàn)定理證明）8/23/20221.6 模糊集的其它運(yùn)算模糊集的其它運(yùn)算除了L.A.Zadeh算子，還有別的算子，以彌補(bǔ)其不足，常見(jiàn)的有： （1）概率和與積： （2）有界和與積： （Lukasiewicz 算子）（3）Einstain： （4）Hamacher：（5）Yager：8/23/20221.6 模糊集的其它運(yùn)算這些模糊算子有以下特點(diǎn)：（1）當(dāng)a、b取0或1時(shí)，它們都蛻變?yōu)椴紶査阕?；?）每對(duì)算子均符合對(duì)偶律；（3）每一組算子連同余

12、運(yùn)算都不構(gòu)成軟代數(shù)（冪等律不成立）（4）這些算子具有一定的相互關(guān)系（一般和特殊） 8/23/20221.7 模糊算子的性質(zhì)1. 模糊算子的強(qiáng)弱 設(shè) 是兩個(gè)模糊算子，稱(chēng) 比 弱，如果 據(jù)此可以對(duì)模糊算子進(jìn)行比較。比如Zadeh交算子比 Zadeh并算子弱。8/23/20221.7 模糊算子的性質(zhì)2. 模糊算子的清晰度 設(shè) 是模糊算子，稱(chēng)下面定義的集合是該模糊算子的清晰域： 8/23/20221.7 模糊算子的性質(zhì)Zadeh與算子的清晰域?yàn)閱挝徽叫蔚淖筮吅偷走?；Zadeh或算子的清晰域?yàn)閱挝徽叫蔚挠疫吅蜕线?。如果?jì)算面積，都是0。 有界和與積算子的清晰域如圖，面積都是0.5有界和清晰域有界積清

13、晰域Zadeh或清晰域Zadeh與清晰域8/23/20221.7 模糊算子的性質(zhì)3 模糊算子的模糊度 設(shè)W是算子的集合，定義 稱(chēng)為算子的模糊度。 設(shè)&，#是兩個(gè)模糊算子，8/23/20221.8 模糊集的模運(yùn)算三角范式（T-模）(Triangular Norms)0，1的三角范式是滿足以下4條的映射：1）交換律：T(a，b)=T(b，a)2）結(jié)合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c)3）單調(diào)性：若a b, c d，則T(a,c) T(b,d)4）邊界條件：T(0,a)=0, T(1,a)=a8/23/20221.8 模糊集的模運(yùn)算余三角范式(S-模)(Triangular Conno

14、rms)0，1的余三角范式是滿足以下4條的映射：1）交換律：S(a，b)=S(b，a)2）結(jié)合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c)3）單調(diào)性：若a b, c d，則S(a,c) S(b,d)4）邊界條件：S(0,a)=a, S(1,a)=18/23/20221.8 模糊集的模運(yùn)算三角模的性質(zhì)S與T是模糊集合算子的一般情形，且關(guān)于余運(yùn)算對(duì)偶: 三角模滿足： T(ac,bc)=(S(a,b)c , S(ac,bc)=(T(a,b)c8/23/20221.8 模糊集的模運(yùn)算余三角模滿足：8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法1、模糊統(tǒng)計(jì)法(1) 步驟：在論域中取一點(diǎn)xX，A 是要建

15、立的模糊集，確定x 對(duì)A的隸屬度采用統(tǒng)計(jì)的方法：設(shè)Ai是一次試驗(yàn)的結(jié)果，它是A的顯影，即是一個(gè)精確集合，這樣元素x是否屬于一次顯影結(jié)果是可以確定的，統(tǒng)計(jì)出n次隨機(jī)試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果包含x的試驗(yàn)次數(shù)m, 將m/n作為x 對(duì)模糊集合的隸屬。(2) 結(jié)論：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，m/n具有穩(wěn)定性。(3) 特點(diǎn)：這種統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)要求模糊集合的每次顯影是給定論域的一個(gè)經(jīng)典子集，因此這種試驗(yàn)稱(chēng)為簡(jiǎn)單模糊統(tǒng)計(jì)法。8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法(4) 模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的4個(gè)要素： a) 論域X; b) X中的一個(gè)元素x； c) X 中的一個(gè)隨機(jī)移動(dòng)集合Ai； d) X上的一個(gè)模糊子集A； 特點(diǎn)： 點(diǎn)子固定，圈圈

16、移動(dòng)。(5) 隨機(jī)試驗(yàn)的個(gè)要素： a) 樣本空間; b) 事件A中的一個(gè)確定集合； c) 中的變?cè)?；d) 條件S對(duì)變?cè)?活動(dòng)的限制范圍； 特點(diǎn)：點(diǎn)子移動(dòng)，圈圈固定。(6)一般模糊統(tǒng)計(jì)法 ：模糊集的每次顯影是給定論域的一個(gè)模糊子集。8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法2、三分法是一種用隨機(jī)區(qū)間處理模糊性的方法，將隸屬函數(shù)的確定問(wèn)題轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量分布的確定問(wèn)題。該方法主要用于個(gè)模糊集的建立問(wèn)題。(1) 步驟：設(shè)論域?yàn)閄，A,B,C 是要建立的模糊集。每次實(shí)驗(yàn)給出一對(duì)數(shù)（，），用于給出個(gè)待建模糊集合的顯影。由于，是隨機(jī)給出的，所以可看作是兩個(gè)隨機(jī)變量。如果它們的概率分布密度 能夠求得，那么三

17、個(gè)模糊集合的隸屬函數(shù)可由這兩個(gè)密度函數(shù)確定。 (2) 結(jié)論：三個(gè)模糊集合的隸屬函數(shù)為：(3) 特點(diǎn)：這種統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)要求每次給出論域的一個(gè)劃分，簡(jiǎn)便易行。8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法、模糊分布法這種方法先假設(shè)隸屬函數(shù)是某個(gè)帶參數(shù)的函數(shù)，然后通過(guò)確定參數(shù)來(lái)確定隸屬函數(shù)。常見(jiàn)的模糊分布主要有以下種，每種又分為偏小型、偏大型和中間型。(1)矩形分布 (2)梯形分布 (3)拋物分布(4) 分布 (5) 正態(tài)分布 (6) Cauchy分布abbcadbcadaaab8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法嶺型分布： 分布函數(shù)：abcd8/23/20221.9 隸屬函數(shù)的確定方法4. 經(jīng)驗(yàn)法5. 推理法6. 其他方法：后面會(huì)介紹8/23/