線性代數(shù)2一、矩陣的行秩與列

1、2.4矩陣的秩教學綱目一、矩陣的行秩與列秩二、初等變換對矩陣行秩、列秩的影響 三、矩陣的秩與其最高階非零子式的關系教學要求1、理解和掌握矩陣的行秩與列秩的定義。2、理解和掌握矩陣的初等變換對其行秩、列秩的影響。3、理解和掌握矩陣的秩與其最高階非零子式的關系。Zhanglizhuo-2015一、矩陣的行秩與列秩引言 為了求向量組的秩，來考慮矩陣，矩陣的行向量組的秩，列向量的秩。如果能求出矩陣的行(列)秩，也就會求出向量組的秩。Zhanglizhuo-2015定義1矩陣A的行向量組的秩，就稱為矩陣的行秩(row r)。矩陣A的列向量組的秩，就稱為矩陣的列秩(column r)。Zhanglizhu

2、o-2015設J是一個45階梯形矩陣：e1 1 a1b1bc1cd1 0 deJ 2 220022c3032 0 0e3 3d3040 415a1b2c30，于是a1, b2, c3是J的主元，1, 2, 3, 4, 5是J的列向量組，1, 2, 3, 4是J的行向量組。Zhanglizhuo-2015先求J的列秩。由于a100b1 b20c1 c2c3 a1b2c3 0, a1 b1 c1因此向量組 0 , b , c線性無關，從而延伸組 22 0 0 c 3 a1 b1 c1 0 b c , 線性無關，22 0 0 c3 0 0 0 Zhanglizhuo-2015a1000b1 b2 0

3、0c1 c2 c30d1 d2 d30a1000b1 b2 00c1 c2 c30e1 e2 e30又因為 0, 0,依2定理2，向量組 a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 e1 0 b c d 0 b c e , , , 與, , 都線性相關，222222 0 0 c3 d3 0 0 c3 e3 0 0 0 0 0 0 0 0 12341235因此1, 2, 3是1, 2, 3, 4, 5的一個極大線性無關組，從而矩陣的列秩r1, 2, 3, 4, 5=3。Zhanglizhuo-2015再求J的行秩。a100b1 b20c1 c2c3 a1b2c3 0,因此向量組a11 a1 b1

4、c1c1 , (0 b2c2 ), (0 0 c3 ) 線性無關，從而延伸組b1d1 e1 , 2 (0 b2 c2 d2 e2 ), 3 (0 0 c3 d3 e3 )線性無關，又4=O，因此1, 2, 3是1, 2, 3 4的一個極大線性無關組，從而J的行秩為3。Zhanglizhuo-2015定義2矩陣A中，任取k行k列，位于這些行和列交叉處的元素保持原來的相對位置不變而組成的k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。mn矩陣A的k階子式共有CmkCnk個。J有一個3階子式不等于零, 由于J只有3個非零行, 所以J的任意4階子式都等于零，從而J的不等于零的子式最高階數(shù)為3。Zhanglizh

5、uo-2015上述45階梯形矩陣的結論可歸納總結如下：10 階梯形矩陣的行秩=階梯形矩陣的列秩；=非零子式的最高階數(shù)；=階梯形矩陣的非零行數(shù)。 20 階梯形矩陣的非零子式所在的行(列)線性無關。30 階梯形矩陣的最高階非零子式所在的行(列)是其行(列)組的一個極大線性無關組。40 階梯形矩陣的主元所在的行(列)個極大線性無關組。行(列)組的一Zhanglizhuo-2015同理可證，命題1階梯形矩陣J的行秩與列秩相等，它們都等于J的非零行數(shù)目；并且J的主元所在的列的一個極大線性無關組。列向量組Zhanglizhuo-2015二、初等行變換對矩陣行秩、列秩的影響定理2矩陣的初等行變換不改變矩陣的

6、行秩?！咀C】設矩陣A的行向量組為1, , i, , j , m，設A經初等變換：第i行乘以k加到第j行后變成矩陣B，則B的行向量組為1, , i, , ki+j , m，顯然B的行組可由A的行組線性表出，又由于j=(ki+j)-ki，A的行組可由B的行組線性表出，即二向量組等價，Zhanglizhuo-2015而等價的向量組有相同的秩，所以A的行秩等于B的行秩。容易證明經過其他兩種初等行變換所得矩陣的行組與原矩陣的行組等價，從而不改變矩陣的行秩。Zhanglizhuo-2015定理3矩陣的初等行變換不改變矩陣列向量組的線性相關性，從而不改變矩陣的列秩。即設矩陣C經初等行變換變成矩陣D，則C的列

7、向量組線性相關當且僅當D的列向量組線性相關；設矩陣A經初等行變換變成矩陣B，且設B的第j1, j2, jr列的第j1, j2, jr列B的列向量組的一個極大無關組，則AA的列向量組的一個極大無關組；從而A的列秩等于B的列秩。Zhanglizhuo-2015【證】(1)設C的列向量組為1, 2, , n，D的列向量為1, 2, , n，則線性方程組x11+x22+xnn=O，的系數(shù)矩陣為C；線性方程組x11+x22+xnn=O，的系數(shù)矩陣為D。由于C經初等行變換變成D，因此上述兩個方程組同解。Zhanglizhuo-2015從而1, 2, , n線性相關x11+x22+xnn=O有非零解，x11

8、+x22+xnn=O有非零解，1, 2, , n線性相關。特別地，若x1=k1, x2=k2, , xn=kn是上方程組的非零解，且不妨設k10，則 k2k3 kn ,123nkkk111 k2k3 kn .此時也有123nkkk111Zhanglizhuo-2015【證】(2)當矩陣A經初等行變換變成矩陣B時，A的第j1, j2, jr列組成的矩陣A1變成了矩陣B的第j1, j2, jr列組成的矩陣B1，由已知， B1的列向量組線性無關，于是由(1)的結論，A1的列向量組線性無關。在A的其余列中任取一列，比如第k列，在上述初等變換下，A的第j1, j2, jr, k列組成的矩陣A2變成了B的

9、第j1, j2, jr, k列組成的矩陣B2,由題設,B2的列向量組線性相關, 于是據(jù)(1)的結論,A2的列向量組線性相關，故A的第j1, j2, jr列A列組的一個極大線性無關組。從而A的列秩=r=B的列秩。 Zhanglizhuo-2015【注】矩陣的初等行變換不改變：1、矩陣的行秩；2、矩陣的列秩；3、矩陣的列向量組的線性相關性。4、矩陣的任部分列向量間的線性相關性。Zhanglizhuo-2015【注】矩陣的初等行變換會改變矩陣的部分行向量間的線性相關性。例如， 20 20 44 ， 1 00 0 1 00 0 0101 00 00 11原矩陣的第2行與第3行線性無關，經初等行變換后，

10、所得矩陣的第2行是零行，故第2行與第3行線性相關。原矩陣的第1行與第2行線性相關，經初等行變換后，所得矩陣的第1行與第2行線性無關。Zhanglizhuo-2015 000 100 120 100 040100240120定理4任一矩陣的行秩等于它的列秩?！咀C】任取矩陣A，對其施以初等行變換化為階梯形矩陣J，據(jù)上述定理2.12、命題1和定理2，A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。Zhanglizhuo-2015定義3矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩(r)，, n。記作 r(A)，對于mn矩陣A，0r(A )m特別地，當r(A)=m時，A的行向量組一定線性無關，此時稱A為行滿秩(full r)

11、矩陣。當r(A)=n時，A的列向量組一定線性無關，此時稱A為秩(full r)矩陣。Zhanglizhuo-2015推論1設矩陣A經過初等行變換化成階梯形矩陣J，則A的秩等于J的非零行的數(shù)目。設J的主元所在的列為第j1, j2, jr列，則A的第j1, j2, jr列的一個極大線性無關組。A的列向量組【注】推論給出了求矩陣的秩及其列向量組的一個極大線性無關組的方法。Zhanglizhuo-2015定義4把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做A的轉置矩陣，記作AT。推論2r(AT)=r(A)?！咀C】AT的行(列)向量組是A的列(行)向量組，因此r(AT)=AT的行秩=A的列秩=r(A)。Z

12、hanglizhuo-2015矩陣也有初等列變換：把矩陣某一列的倍數(shù)加到另一列上；i k j交換矩陣兩列的位置；ji(3)用一非零數(shù)乘矩陣的某一列；k(k0)i上述三種變換稱為矩陣的初等列變換。Zhanglizhuo-2015推論3矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩?！咀C】設矩陣A經過初等列變換變成矩陣B，由于矩陣A的第j列是矩陣AT的第j行，因此矩陣AT經初等行變換變成矩陣BT，于是據(jù)推論2和定理2.12，r(A)=r(AT)=r(BT)=r(B)?！咀ⅰ烤仃嚨某醯刃谢蛄凶儞Q都不改變矩陣的秩。但會改變矩陣的部分列向量間的線性相關性。Zhanglizhuo-2015三、矩陣的秩與矩陣的最高階非零子

13、式的關系定理5如果矩陣A=(aij)mn中有一個r階子式不為零，則r(A)r?！咀C】不妨設A的前r行、前r列交叉處元素所階子式不等于零，即的raa1n2naa a1ra 2ra1112a,A a2122 0arnam2amraar1r 2rr am1amn Zhanglizhuo-2015 a11a12a1r aaa21222r aaar1r 2rr據(jù)2.2定理2向量組a11 , a12 , a1r a21 , a22 , a2r ar1, ar 2 , arr 線性無關，據(jù)2.2定理4，其延伸組1 a11 , a1r , a1r 1 , a1n ,2 a21 , a2r , a2r 1 ,

14、a2n ,r ar1 , arr , arr 1 , arn 因此A的行秩r，即r(A)r。Zhanglizhuo-2015線性無關，定理6任一非零矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高階數(shù)?！咀C】設mn矩陣A的秩為r，則A有r個行向量線性無關，設A的第i1, i2, , ir行線性無關，它們組成矩陣A1，因 A1的行向量組線性無關，所以A1的行秩為r，所以A1的列秩也為r，于是A1中有r個列向量線性無關，設A1的第j1, j2, , jr列線性無關，它們組成矩陣A2，則A2是r階矩陣，且A2的列向量組線性無關，因此A20，即A有一個r階子式A20。Zhanglizhuo-2015設tr，且tm,

15、 n，任取A的一個t階子式Dt，不妨設其位于A的l1, , lt列，設A的列向量組的一個極大線, j , j ,性無關組為所以A的第l , l , , l 列可以j12t12r, j , j由線性表出，由于tr，依定理2.10，A的j12r第l1, l2, , lt列線性相關，Dt所在的列向量組是A的第l1, l2, , lt列的縮短組，從而Dt所在的列向量線性相關,依2.2定理2，于是Dt=0，綜上述得，A的秩為A的最高階非零子式的階數(shù)?！咀ⅰ壳缶仃囍鹊姆椒ǎ捍_定矩陣非零子式的最高階數(shù)。Zhanglizhuo-2015定義5由n階方陣A的元素所的行列式，叫做方陣A的行列式，記作 A 或 de

16、tA。推論4一個n階矩陣A的秩等于n當且僅當A0?！咀C】 n階矩陣A的秩等于nA的非零子式的最高階數(shù)為nA0。一個n級矩陣A的秩等于它的階數(shù)，則稱它為滿秩矩陣。依推論4，方陣A為滿秩矩陣當且僅當A0。Zhanglizhuo-2015推論5 設mn矩陣A的秩為r，則A的不等于零的r階子式所在的列(行)性無關組。A的列(行)向量組的一個極大線【證】設A的秩為r，且Dr 0，從而這r階子式所在的列向量組線性無關，從而其延伸組，即A的第l1, l2, , lr列線性無關,由于A的列秩為r,因此A的第l1, l2, , lr列A的一個極大線性無關組。類似可證A的行向量組的極大線性無關組的結論。Zhang

17、lizhuo-2015【綜上結論】10 矩陣的秩=矩陣的行秩=矩陣的列秩；=非零子式的最高階數(shù)；20 矩陣的非零子式所在的行(列)線性無關。30 矩陣的最高階非零子式所在的行(列)是其行(列)組的一個極大線性無關組。Zhanglizhuo-2015例1設向量組 -7 -2 1 -1 3 1 5 3 -4 -2 , , , ,1 1 -112 5 8 3 -1 4 4 -7 0 5 1 -11求向量組的秩和一個極大線性無關組，并用極大線性無關組表示其余向量(如果有的話)?！窘狻恳?, 2, 3, 4 , 5為列向量組成矩陣A，對A施以初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，Zhanglizhuo-20

18、1572 130 B,r(A)=3，所以1, 2, 5為1, 2, 3, 4, 5的一個極大線性無關組。【注】1, 3, 5 及1, 4, 5也為A的一個極大線性無關組。Zhanglizhuo-2015 09111繼續(xù)對矩陣施以初等行變換，將其化為簡化行階梯形矩陣，A 由于初等行變換不改變矩陣的列向量間的線性相關性，因此 4 1 0 ， 8 11 0 。312541259999Zhanglizhuo-2015 1010 0 1 0 0 0000 【歸納方法】先以向量組為列組成矩陣：10 若求向量組的秩，則需對其施以初等行變換或初等列變換，化為階梯形矩陣，確認非零行的數(shù)目。20 若求向量組的極大線性無關組，則需以其為列矩陣，對矩陣僅施以初等行變換，將其化為行階梯形 矩陣，則主元所在列為向量組的一個極大線性無關組。 30 若要求用向量組的極大無關組表示其余向量，則需對上述矩陣繼續(xù)施以初等行變換，將其化