2018年高考數(shù)學立體幾何：空間向量在求空間角及距離中的應用題源探究

1、PAGE PAGE 11空間向量在求空間角及距離中的應用【考點梳理】 1.異面直線所成的角 設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角l1與l2所成的角范圍(0，)求法cos eq f(ab,|a|b|)cos |cos |eq f(|ab|,|a|b|) 2.求直線與平面所成的角 設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，則sin|cosa，n|eq f(|an|,|a|n|). 3.求二面角的大小 (1)如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6(). (2)如圖，n1

2、，n2 分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).4.利用空間向量求距離（1）兩點間的距離設點，點，則（2）點到平面的距離如圖所示，設為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則點到平面的距離【教材改編】1(選修21 P111A組T1改編)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M為棱CC1上的中點，則A1M與D1C所成的角為()A30 B45C60 D90答案 B解析 以，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則D1(0,0,2)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，M(0,2,

3、1)，(2,2，1)，(0,2，2)，設A1M與D1C所成角為，cos |cos，|eq f(6,32r(2)eq f(r(2),2)，45.2. (選修21 P118A組T10改編)如圖，棱長為a的正方體OEACBFGD中，P是AB上的一點，Q是CD上的一點當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，則PQ的最小值為()Aa B.eq f(r(2),2)aC.eq f(r(3),2)a D.eq f(r(5),2)a答案 B解析 建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，f(a,2)

4、.因為點Q在線段CD上，設Q(0，a，z)PQ eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)a)2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)z)2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(zf(a,2)2f(1,2)a2).當zeq f(a,2)時，PQ的最小值為eq f(r(2),2)a.即點Q在棱CD的中點時，PQ有最小值eq f(r(2),2)a.故選B.3(選修21 P112A組T4改編)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.eq

5、f(1,2) B.eq f(2,3)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),2)答案 B解析 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1，則A1(0，0,1)，E(1,0，eq f(1,2)，D(0,1,0)，(0,1，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，所以有，即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,1f(1,2)z0，)解得eq blcrc (avs4alco1(y2，,z2.)(1,2,2)平面ABCD的一個法向量為(0,0,1)，cos，eq f(2,31)eq f(2,3).即所成的銳二面角的余弦值為eq f

6、(2,3).4(選修21 P97練習T3改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點M是AB的中點，則D1B與CM所成角的余弦值為()A.eq f(r(10),5) B.eq f(r(15),10)C.eq f(r(15),15) D.eq f(r(15),5)答案 C解析 建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設正方體棱長為2，則M(2,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，(2，1，0)，(2,2，2)，cos，eq f(2,r(5)2r(3)eq f(r(15),15).D1B與CM所成角的余弦值為eq f(r(15),15)，故選C.5(選修21 P11

7、1練習T3改編)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC1的中點，則DE與平面BCC1B1所成角的正切值為()A.eq f(r(6),2) B.eq f(r(6),3)C.eq r(2) D.eq f(r(2),2)答案 C解析 設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2， 以D為原點，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， E為BC1的中點，D(0,0,0)，E(1,2,1)，(1,2,1)， 設DE與平面BCC1B1所成角的平面角為， 平面BCC1B1的法向量(0,1,0)， sin |cos，|eq blc|rc|(avs4alco1(f(2,r

8、(6)eq f(r(6),3)， cos eq r(1f(2,3)eq f(r(3),3)， tan eq f(f(r(6),3),f(r(3),3)eq r(2)，故選C.6(選修21 P98A組T4改編)正四面體ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為_答案 解析 |22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|eq r(2)，EF的長為eq r(2).7.(選修21 P118A組T12改編)如圖將正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，點E、F分別為AD、BC的中點，O是原正方形ABCD的中心，則折疊后EOF的大小為_答案 解析

9、 如圖所示，以，方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設正方形邊長為2eq r(2)，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,0,2)E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，cos，eq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)， EOF120. 8(選修21 P117A組T5改編)已知三點A(0,2,3)，B(2，1,6)，C(1，1,5)，則ABC的面積為_答案 解析 (2，1,3)，(1，3,2)，|eq r(14)，|eq r(14).cos，eq f(7,14)eq f(1,2).則sin，eq f(r(3),2).SABC

10、eq f(1,2)|sin，eq f(1,2)eq r(14)eq r(14)eq f(r(3),2)eq f(7r(3),2). 9. (選修21 P112A組T6改編)如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2eq r(3)，則點A到平面MBC的距離為_，平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為_ 答案 解析 取CD的中點O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD.以O為原點，直線OC，BO，OM為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，OBOMeq r(3)，則各點的坐標分別為O(0,0,0)

11、，C(1,0,0)，M(0,0，eq r(3)，B(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，2eq r(3)設(x，y，z)是平面MBC的法向量，則(1，eq r(3)，0)，(0，eq r(3)，eq r(3)由，得xeq r(3)y0；由，得eq r(3)yeq r(3)z0.取(eq r(3)，1,1)，(0,0,2eq r(3)，則距離deq f(2r(15),5).(1,0，eq r(3)，(1，eq r(3)，2eq r(3)設平面ACM的法向量為(x，y，z)，由得eq blcrc (avs4alco1(xr(3)z0，,xr(3)y2r(3)z0，)解得xeq r(3

12、)z，yz，取(eq r(3)，1,1)平面BCD的法向量為(0,0,1)，則cos，eq f(1,r(5).設所求二面角為，則sin eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(5)2)eq f(2r(5),5). 10(選修21 P118A組T11改編)某幾何體ABCA1B1C1的三視圖和直觀圖如圖所示 (1)求證：A1C平面AB1C1； (2)求二面角C1AB1C的余弦值 解析 (1)證明：由三視圖可知，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且|AA1|AC|4，|BC|3.以點C為原點，分別以CA、CB、CC1所在的直線為x軸、y軸、z

13、軸建立空間直角坐標系，如圖所示由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)(4,0，4)，(4,0，4)，(0,3,0)0，0.A1CC1A，A1CC1B1.又C1AC1B1C1，A1C平面AB1C1.(2)由(1)得，(4,0,0)，(0,3,4)設平面AB1C的法向量為(x，y，z)，則，.，即eq blcrc (avs4alco1(3y4z0,4x0).令y4，得平面AB1C的一個法向量為(0,4，3)由(1)知，是平面AB1C1的一個法向量cos，eq f(12,20r(2)eq f(3r(2),10).故二

14、面角C1AB1C的余弦值為eq f(3r(2),10).11(選修21 P119B組T3改編)在四棱錐SABCD中，底面ABCD是直角梯形，DABCDA90，SA平面ABCD，CD2AB，E為SC中點(1)求證：BE平面SAD；(2)若SAAD2，且平面SBC與平面SAD所成的二面角的余弦值為eq f(r(6),3)，求四棱錐SABCD的體積解析 (1)證明：設點F為SD的中點，連接AF，EF，E點為SC的中點，EF為SDC的中位線，EFeq f(1,2)DC，又DABCDA90且CD2AB，ABeq f(1,2)CD，ABEF，四邊形ABEF為平行四邊形，BEAF，又AF平面SAD，BE平面SAD，BE平面SAD.(2)SA平面ABCD，則可建以A為原點的空間直角坐標系(如圖所示)，SAAD2，A(0,0,0)，D(2,0,0)，S(0,0,2)，設B(0，m,0)，C(2,2m,0)，(0，