專題2-6函數(shù)圖像與方程

1、專題2-6函數(shù)圖像及方程函數(shù)圖像內(nèi)容應(yīng)用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，及求解不等式和方程知識(shí)點(diǎn)1、做圖：定義域一簡(jiǎn)化解析式一列表一描點(diǎn)一連線2、y = f( x)圖象變換(1)平移左右：y = f(x a)上下：y = f(x) a(2)對(duì)稱 x 軸：y = - f(x) y軸：y = f(- x)原點(diǎn)：y = - f(- x)(3)伸縮x坐標(biāo)為原來(lái)1 ： y = f(ax) ay坐標(biāo)為原來(lái)a倍：y = af(x)(4)翻折x軸下方翻折到上方，原圖像去下保上：y = |f(x)|y軸右邊翻折到左邊，原圖像去左保右：y = f(|x|)3、識(shí)圖：給定圖象明確變化趨勢(shì)，研究函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性

2、、周期性、對(duì)稱性等4、用圖：直觀呈現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)及變量關(guān)系，特別在數(shù)形結(jié)合上的應(yīng)用5、對(duì)稱證明：任意一點(diǎn)關(guān)于某一中心或軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圖象上f(x) = f(2a - x)則 f(x)關(guān)于 x = a 對(duì)稱；f(a + x) = f(b - x)則 f(x)+ a + b 關(guān)于x = -2一對(duì)稱a + b 一f(a + x) + f(b - x) = 0 則 f(x)關(guān)于(2- ,0)對(duì)稱；f(a + x) + f(a - x)=2b則f(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱2sinx例1函數(shù)y =11 +或xx e -竽,0) u (0字的圖象是() ，、TT【分析】結(jié)合函數(shù)奇偶性確定函數(shù)值的正負(fù)，確定x =

3、2處導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且 x 0時(shí)，y 0時(shí)，y 0 :排除C、D,_ 2cos x 4sin x1 + 3x3(1 + J )2?？谌?,32 tt 、八x = 2 時(shí) y = n= 0 x = 2時(shí)，y在單調(diào)增區(qū)間：排除 B【考核】區(qū)間函數(shù)值的正負(fù)性、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性確定函數(shù)圖像1例2函數(shù)f(x) = x2 + ex - 2 (x0)與g(x) = x2 + ln(x+a)的圖象上存在關(guān)于 y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則 a的取值范圍()e A (-，e【答案】【分析】B(- #)C(-亞)【詳解】C?xo 0 且，有 f(xo ) = g(-xo )2 x 12x 1xo2 + e o -

4、 2 = xo2 + ln( -xo+a) ? e 0 - 2 = ln(-xo+a)假設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)X0 = 0 ,解a = e 而 xpCx 0 , a e a (-00% e )得:函數(shù)對(duì)稱性，函數(shù)圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍例3若實(shí)數(shù)a滿足x + lgx = 2,實(shí)數(shù)b滿足x +10 x = 2,函數(shù)f(x)=a + b -2 ln(x+ 2) - -2，x 0則關(guān)于x的方程f(x) = x解的個(gè)數(shù)為2x 0時(shí)求方程的解；x。時(shí)，x2 - 2 = x 得 x = 2a + b2、x 0 時(shí)，21n(x + 2) - -2- = xa 滿足 x + lg x = 2 , b 滿足 x +10 x =

5、 2y1 = lg x, y2 = 2 - x, y3 = 10 x,即y1與y2交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 a, y2與y3交點(diǎn)橫坐 標(biāo)為b,而y1與y3關(guān)于y = x對(duì)稱(a,b)是 y1 與 y2交點(diǎn)，(b,a)是 y2 與 y3 交點(diǎn)：b = 1g a 或 a = 10b即 a + b = 2 ? -2 x 0、= 0、 0只有D符合【考核】函數(shù)奇偶性，判斷函數(shù)圖象例5函數(shù)f(x)=-8 sin 2x, x 0，貝U h(x) = f(x) - log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D【分析】確定函數(shù)f(x)與10g4 x交點(diǎn)個(gè)數(shù)-、，-一一1兀【詳解】1、x 0 時(shí)，f(x)

6、= 2f(x - 2),即：區(qū)間xC (0,2上的函數(shù)值是區(qū)間(-2,0上各對(duì)應(yīng)值x - 2的一半;同樣，x 0的后續(xù)區(qū)間里,一式. x每隔2的距離，函數(shù)值相對(duì)于x減半x = 54 , f(x) = 1; x = 4 , log4X = 1;y4即在第三個(gè)周期里有2個(gè)交點(diǎn)【考核】函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn) 例6定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1) = -f(x),在-1,0上是增函數(shù)，關(guān)于函數(shù)f(x)的判斷(1)f(x)的圖象關(guān)于(2 ,0)對(duì)稱(2)f(x)的圖象關(guān)于x = 1對(duì)稱f(x)在0,1上是增函數(shù)(4) f(2) = f(0)其中正確的有【答案】(2)(4)【分析】【詳解】1、f(x

7、+1) = - f(x) = -f(-x), f(x + 1) + f(-x) = 0,即 f(x)關(guān)于(2 ,0)對(duì)稱2、f(x+1) = - f(x), f(x+2)= -f(x+1) = f(x) = f( -x),關(guān)于 x = 1 對(duì)稱3、f(x + 2) = f(x)知:T = 2,有 f(2) = f(0)4、R上的偶函數(shù)f(x)且在-1,0上是增函數(shù)，在0,1上是減函數(shù)【考核】函數(shù)性質(zhì)(根據(jù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性得到函數(shù)圖象)例7函數(shù)f(x)=a 2x, x 0，關(guān)于x的方程f(f(x) = 0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍()C(-8,0)?(0,1)D(0,1)?(

8、1,+8A (-00,0)B(0,1)【答案】C【分析】【詳解】1、x 1 時(shí)，f(x) = -log2x x 0 時(shí)，f(x) =-log2 x 0,貝U f(f(x)= log1/2(-lOg2 x) = 0 ,有x = 23、x0,a 0時(shí)，a-x 0,則f(f(x)= a MJ0,無(wú)解4、x 0,a = 0時(shí)，a-x =0 ,則f(f(x)= a -0= 0恒成立，無(wú)數(shù)個(gè)解5、x 0時(shí)，ax 0 ,則f(f( x)= log1/2(a- x)= 0, x = -log2a即 a 1 有解11 f(f( x) = 0有且僅有一個(gè)頭數(shù)解，即為 x =-綜上：其他情況 a的取值保證x無(wú)解即可

9、，aC (-8,0)?(0,1)【考核】方程有唯一實(shí)根，分類討論 例8函數(shù)y = x 1 1的圖象與函數(shù)y = 2 sin x (-2a知圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】4【分析】【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，它們都關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，即交點(diǎn)也存在中心對(duì)稱f(2 -x) + f(x) = 0 ,對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為 2共有兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)：所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4【考核】函數(shù)圖象、性質(zhì)例9函數(shù)f(x) = ax - a-x (a 0且a豐 有R上為減函數(shù)，則函數(shù) y = loga (岡-1)的圖象是()y / ，ABC-【答案】C【分析】f(x)在R上為減函數(shù)判斷a的取值范圍，評(píng)估 y = loga (

10、|x卜1)的圖象【詳解】首先根據(jù)|x| -1 0得到定義域?yàn)?-oo-1)U(1,+ 8)排除a、b0 a 0、f(X2)0：找到 X2、X3 的中點(diǎn) X4； f(X3)0：找到 X1、X3 的中點(diǎn) X44)重復(fù)2-3的步驟：找到逼近X0的點(diǎn)Xn使f(Xn) 一0易錯(cuò)點(diǎn)1、f(X)零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，即f(X)=0的根，函數(shù)f(X)與X軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)2、零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的充分不必要條件；零點(diǎn)個(gè)數(shù)根據(jù)函數(shù) 的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等判斷或結(jié)合函數(shù)圖象一 一一ex, x uA -1,0)B0,+ 8)C-1,+ oo)D1,+ 8)【答案】C【分析】數(shù)形結(jié)合：f(x)與y = -x - a的函數(shù)

11、圖象，通過(guò)交點(diǎn)求a【詳解】如下圖，紅色y = -x - a, a(截距)變化時(shí)兩函數(shù)交點(diǎn)會(huì)從1個(gè)變成2個(gè)，邊界情況：a值增大時(shí)，紅色左下方移動(dòng)至(0,1)時(shí)出現(xiàn)2個(gè)交點(diǎn)a = -1即a-1存在2個(gè)零點(diǎn)【考核】函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況(方程的根)例2函數(shù)f(x)=有4個(gè)零點(diǎn)，則7A (4 ,+ 002- |x|, x 2b的取值范圍(7B (-04 )g(x) = b - f(2 - x),其中 b C R,若函數(shù) y = f(x) - g(x)恰好7c (0,4 )D (7 ,2)【答案】D【分析】y = f(x) - g(x) = 0, g(x) = b - f(2 - x) ： f(x) + f

12、(2 - x) = b,談?wù)?f(x) + f(2 -x)與 y = b 的交點(diǎn)情況x2 , x 0f(2 -x) = x, 0 x2 , f(x) + f(2 -x)=x2+ x + 2, x 02, 0 x 2【詳解】2 + x , x 0f(x) = 2 - x, 0 x 2y = b在(7 ,2)時(shí)恰好4個(gè)交點(diǎn)【考核】函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況(方程的根),一， 一、，一兀.一 -例3函數(shù)f(x) = cos(3x +6 )在0, nr的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】3【分析】數(shù)形結(jié)合【詳解】【考核】函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)x.+x2 + 2ax + a, x 0,函數(shù)f(x) =2 o o 、c，關(guān)于x的方程f

13、(x) = ax恰好有2個(gè)互-x + 2ax -2a, x 0異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍【答案】(-8,0)?(4,+ 8)【分析】討論a檢查函數(shù)圖象零點(diǎn)情況【詳解】x2 + ax + a , x 0 或用二次函數(shù)性質(zhì)列不等式組討論(注意覆蓋所有情況) 【考核】函數(shù)圖象、零點(diǎn)問(wèn)題例 5 函數(shù) f(x) = ln x -x + 1x- 1(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)(2)若x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線 y = ln x在A(x, ln x)處的切線也是曲線 y = ex的切線【答案】參考詳解【分析】【詳解】x + 12, 一 、一， 一 、一1、m(x)= 彳

14、=1 + x-7 在(0，1)和(1，+倜減，g(x) = ln x在定義域內(nèi)(0,1)和(1,+ 倜增，故f(x) = ln x - x+7在(0,1)和(1,+。單調(diào)增(建議用定義法證明) x - 11) f(x)在(0,1)連續(xù)lim(ln x)而 lim(1Tm(in x 1.2) f(x)在(1,+ 8g續(xù)-)1, lim (lnx) x 1 x 1 且 lim (ln x 1 -2-) x 1x 1且 lim (ln x)x 10 而 lim (1x 1+lim+ (ln xx21)+ , lim (ln x) x 1 x且 lim (lnx 1 2)x +x 10 而 lim (

15、1 二-)x 1 x 1,即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)而 lim (1 -2-) 1x x 1,即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)2+ xo - 1故f(x)在(0,1)和(1,+若上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)2、xo是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，有 ln xo = 1曲線y = ln x在A(xo, ln xo)處的切線為1y = - (x - xo) + In xo,右與y = e 有且僅有一個(gè)父點(diǎn),則它們相切人，、1x令 g(x) = (x - xo) + ln xo - ex =-xoxo2 y-1 - e (x C R, xo o 且 xo 豐 1)g (x) = 1 - ex 則 g(x)在(-ln xo)上遞增, xo在(

16、-ln xo,+ 00上遞減In xo g(-ln xo ) = - xo+ xo - 1 - xo = -xo(xo - 1)2+ xo - 12=o xog(x)在(-8,+ 54只有一個(gè)零點(diǎn)，即命題成立 【考核】函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例6函數(shù)y = 2x + log 2 x的零點(diǎn)所在區(qū)間為()1 1A (4，3、c ,1 2、)B (3 ,5 )2 1、C (5 ,2 )1 2D (2 ,3 )【答案】C【分析】確定函數(shù)定義域(o,+0零點(diǎn)存在定理在a,b上 f(a)f(b)o【詳解】1、在區(qū)間端點(diǎn)值一正一負(fù)即可2、2x + log2x在定義域上是增函數(shù)3、x = 5 , y = 2x + log

17、2 x oy = f(x) + 3x =【考核】零點(diǎn)存在性定理x2 - 2x, x o，則函數(shù)y = f(x) + 3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()x，A o B 1 C 2 D 3【答案】C【分析】畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象，確定交點(diǎn)情況【詳解】x2 + x, x o x【考核】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例8定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)？ xC R有f(x + 2) = f(x) - f，且當(dāng)xC 0,1時(shí)，f(x)= -2x + bo若y = f(x) - log a (x + 1)在(0,+ 8恰文有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍()A (1, .5 )B (,3,5 ) C ( 2 ,2) D ( .3

18、,+ 8)【答案】B【分析】？ xC R有f(x + 2) = f(x) - f(1)得到b的值，判斷f(x)與loga(x + 1)圖象在(0,+ 8：有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值情況【詳解】1、當(dāng) xC0,1時(shí)，f(x)= -2x + b 由偶函數(shù)：xC-1,0時(shí)，f(x) = 2x + b2、f(x + 2) = f(x) - f(1),得 f(1) = f(-1) - f(1) = 0 , b = 23、f(x + 2) = f(x) - f(1) = f(x)作出 f(x)及 loga (x + 1)在(0,+ 8：圖象A 4【答案】【分析】【詳解】.恰好有3個(gè)零點(diǎn)的邊界：當(dāng)f(x)及l(fā)o

19、ga (x + 1)存在交點(diǎn)(2,2)為2個(gè)，存在交點(diǎn)(4,2) 為4個(gè)，它們之間為3個(gè)交點(diǎn)【考核】函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象及零點(diǎn)(交點(diǎn))1例9函數(shù)y = 2 ln x + x - 2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A (1,1) B (1,2) C (e,3) D (2,e) e【答案】B【分析】函數(shù)y在定義域內(nèi)單調(diào)增，判斷各區(qū)間端點(diǎn)值正負(fù)【詳解】x = 1, y = 21n x + x - 2 = - 1 0【考核】零點(diǎn)存在性、函數(shù)性質(zhì)例10定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x - 1) = f(x + 1),且當(dāng)xC 0,1時(shí)，f(x) = x2,則y = f(x) -|log5x|零點(diǎn)個(gè)數(shù)()B 8 C 5 D 10C函數(shù)周期性、奇偶性確定 f(x)圖象，再確定它與|log5x|在(0,+ 8J點(diǎn)情況函數(shù)零點(diǎn)(交點(diǎn))訓(xùn)練 定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x + 2) = f(x),且當(dāng)xC0,1時(shí),f(x) = x,則g(x) = f(x)-lOg4|x|零點(diǎn)個(gè)數(shù)()A 0 B 2 C 4 D 6例11函數(shù)f(x) = e -2，x 0有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則 m的取值范圍 x3 - 3mx- 2, x 0時(shí)，e -2= 0有x = ln2,存在