講義第12講數(shù)論組合訓(xùn)練

1、數(shù)論組合訓(xùn)練 2第十二講例1.能否將任意連續(xù) 8 個正整數(shù)分為兩組，使得每組四個數(shù)的平方和相等？如果能，請給出一種分組方法，并加以驗證；如果不能，請說明理由解答：能， a 22 a 32 a 52 a 82 a 12 a 42 a 62 a 72 例2.（1）證明：由 2009 個 1 和任意個 0 組成的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；試說明，存在最左邊 2009 位都是 1 的形如111 1（其中 代表完全平方數(shù)；試說明，存在一個平方數(shù)，其各位數(shù)字之和為 2011數(shù)字）的自然數(shù)是解答：（1）所組成的數(shù)除以 3 余數(shù)固定是 2，不是完全平方數(shù)；（2） 333352 111 122225 ；（3）112

2、009個312222009個1 2010個225 數(shù)字和為3n 7 ，說明數(shù)字和為3n 1型的完全平方數(shù)總是存在的n個1n 1個2求證：對任意的正整數(shù)n ， nn 2n 4n 6 不被 7 整除 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)例3.解答：由于nn 2n 4n 6 (n2 6n)(n2 6n 8) (n2 6n 4)2 16 (n2 6n 4)2 ，(n2 6n 4)2 16 n2 6n 32 2n2 12n 9 0 ，故nn 2n 4n 6 n2 6n 3由于n2 6n 3 (n 3)2 6 ，完全平方數(shù)除以 7 只能余 0、1、2、4，故原命題成立例4.能否找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任

3、意兩個的乘積與 2002 的和都是完全平方數(shù)？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由解答：不存在，取集合 A 偶數(shù)， B 除以4余1的數(shù) ， C 除以4余3的數(shù) ，則四個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)來自同一集合，不妨設(shè)為a 、b ，則ab 2002 2或3(mod 4) ，不是完全平方數(shù)已知正整數(shù)a 、b 滿足2a2 a 3b2 b ，求證： a b 是完全平方數(shù)例5.解答：整理得， (a b)(3a 3b 1) a2 ；令(a b,3a 3b 1) d ，則d 2 | a2 ，所以d a ，a b ， d 3a 3b 1 ，可推出d 1；再由d | a ， d 故 a b 是完全平方數(shù)例6.求證：

4、可以將任給的12 個不同正整數(shù)用四則運算符號及括號連結(jié)起來，使所得結(jié)果是20790 的倍數(shù)解答：20790 11 9 7 5 3 2 ；由于模n 的余數(shù)只有n 種，連續(xù)n 1 個自然數(shù)必有兩個數(shù)的模n 同余，其差必是n 的倍數(shù)12 個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)除以 11 余數(shù)相同，不妨設(shè)為a 、b ，則11 a b ；余下 10 個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)除以 9 余數(shù)相同，不妨設(shè)為c 、 d ，則9 c d ；余下 8 個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)除以 7 余數(shù)相同，不妨設(shè)為e 、 f ，則7 e f ；余下 6 個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)除以 5 余數(shù)相同，不妨設(shè)為 g 、 h ，則5 g h ；余下 4 個

5、正整數(shù)中，必有兩個數(shù)除以 3 余數(shù)相同，不妨設(shè)為i 、 j ，則3 i j ；設(shè)剩下兩個數(shù)為k,l ，則a bc d e f g hi j kl 與a bc d e f g hi j k l 兩個代數(shù)式中必有一個的計算結(jié)果是 20790 的倍數(shù)求證：1 2 3 n 整除15 25 35 n5 例7.nn 1解答：1 2 3 n ，只需說明1 2 3 555n 的 2 倍既是n 的倍數(shù)，又是n 1 的倍52數(shù)即可注意復(fù)習(xí)公式： a2n1 b2n1 (a b)(a2n a2n1b b2n ) 令 A 15 25 35 n5 ，則2A (15 n5 ) (25 (n 1)5 ) (n5 15 ) ，

6、說明 2A 是n 1 的倍數(shù)；2A (15 (n 1)5 ) (25 (n 2)5 ) (n 1)5 15 ) 2n5 ，說明 2A 是n 的倍數(shù)例8.請找到一組正整數(shù)a 、b ，滿足下面兩個條件：（1） aba b 不是 7 的倍數(shù)；（2） (a b)7 a7 b7 是77 的倍數(shù)解答： (a b)7 a7 b7 7aba ba2 ab b2 2 是77 的倍數(shù)，只需343 a2 ab b2 取 a 18 ， b 1 就是一組符合要求的正整數(shù)p設(shè) n 2 ，且 p 為質(zhì)數(shù)，求證： np pp 是合數(shù)例9.解答：當 p 為奇數(shù)時， npp1 p pp 能被npp1 p 整除；當 p 為偶數(shù)時，

7、 npp1 p pp n4 4 (n2 2n 2)(n2 2n 2) ；設(shè)正整數(shù)a 、b 、c 、 d 滿足ab cd ，求證： a b c d 是合數(shù)例10.解答：設(shè) a d m ，m、n 互質(zhì)， (a,b) x ， (c, d) y ，則a b c d (m n)(x y) cbn例11.求證：數(shù)列 1、31、331、3331、中有無窮多個合數(shù)解答：由費馬小定理， 311030 1，故31 3333 ， 31 3333330個30k個3、 、xn n 4每個數(shù)均從 1 或者1 中取值，并且3 0 ，例12.設(shè)n求證： 4 n x，每個a 值均為 1 或1 ，和為 0 說明n 是偶數(shù)，其中 1 和1 各有 n 個；解答：記a i2 i3ii2積為 1 說明1 的個數(shù)也為偶數(shù)，故n 是 4 的倍數(shù)例13.從三位數(shù) 100、101、102、499、500 中，任意取出 n 個不同的數(shù)，使得總能找到其中三個數(shù)，它們的