六年級奧數(shù)行程問題基礎(chǔ)教師版

1、PAGE |初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-提高-精英學(xué)生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 10 / NUMPAGES 總頁數(shù) 10行程問題基礎(chǔ)教學(xué)目標六年級奧數(shù)行程問題基礎(chǔ)教師版掌握單個變量的平均速度問題及其三種基本解題方法：“特殊值法”、“設(shè)而不求法”、“設(shè)單位1法”利用對比分析法解終中點問題知識精講一、探源我們經(jīng)常在解決行程問題的過程中用到、三個字母,并用它們來分別代表路程、速度和時間。那么,為什么分別用這三個字母對應(yīng)這三個行程問題的基本量呢？今天我們就一起了解一下。表示時間的,這個字母代表英文單詞,翻譯過來就是時間的意思。表示速度的字母,對應(yīng)的單詞同學(xué)們可能不太熟悉,這個單詞是,而不是我們常用來表示速

2、度的。表示物理學(xué)上的速度。與路程相對應(yīng)的英文單詞,一般來說應(yīng)該是,但這個單詞并不是以字母開頭的。關(guān)于為什么會用來代表路程,有一個比較讓人接受的說法,就是在行程問題的公式中,代表速度的和代表時間的在字母表中比較接近,所以就選取了跟這兩個字母位置都比較接近的來表示速度。二、關(guān)于s、v、t 三者的基本關(guān)系速度時間=路程 可簡記為：路程速度=時間 可簡記為：路程時間=速度 可簡記為：三、平均速度平均速度的基本關(guān)系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間。板塊一、簡單行程公式解題韓雪的家距離學(xué)校480米,原計劃7點40從家出發(fā)8點可到校,現(xiàn)在還是按原時間離開家,不過每分鐘比

3、原來多走16米,那么韓雪幾點就可到校？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 原來韓雪到校所用的時間為20分鐘,速度為：米/分,現(xiàn)在每分鐘比原來多走16米,即現(xiàn)在的速度為米/分,那么現(xiàn)在上學(xué)所用的時間為：分鐘,7點40分從家出發(fā),12分鐘后,即7點52分可到學(xué)?！敬鸢浮?點52分小白從家騎車去學(xué)校,每小時千米,用時小時,回來以每小時千米的速度行駛,需要多少時間？ 【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 從家到學(xué)校的路程：千米,回來的時間 小時【答案】小時甲、乙兩地相距100千米。下午3點,一輛馬車從甲地出發(fā)前往乙地,每小時走10千米；晚上9點,一輛汽車從甲地出發(fā)駛向乙地,為了使汽車

4、不比馬車晚到達乙地,汽車每小時最少要行駛多少千米？.【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 馬車從甲地到乙地需要10010=10小時,在汽車出發(fā)時,馬車已經(jīng)走了9-3=6小時。依題意,汽車必須在10-6=4小時內(nèi)到達乙地,其每小時最少要行駛1004=25千米【答案】25千米兩輛汽車都從北京出發(fā)到某地,貨車每小時行60千米,15小時可到達?？蛙嚸啃r行50千米,如果客車想與貨車同時到達某地,它要比貨車提前開出幾小時？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 北京到某地的距離為：千米,客車到達某地需要的時間為：小時,小時,所以客車要比貨車提前開出3小時。【答案】3小時一天,梨和桃約好在天

5、安門見面,梨每小時走千米,桃每小時走千米,他們同時出發(fā)小時后還相距千米,則梨和桃之間的距離是多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 我們可以先求出小時梨和桃走的路程：千米,又因為還差千米,所以梨和桃之間的距離：千米【答案】千米兩列火車從相距千米的兩城相向而行,甲列車每小時行千米,乙列車每小時行千米,小時后,甲、乙兩車還相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 兩車的相距路程減去小時兩車共行的路程,就得到了兩車還相距的路程：千米【答案】千米甲、乙兩輛汽車分別從 A、B 兩地出發(fā)相向而行,甲車先行三小時后乙車從 B 地出發(fā),乙車出發(fā)5 小時后兩車還相距15千米甲車

6、每小時行 48千米,乙車每小時行 50千米求 A、 B 兩地間相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 在整個過程中,甲車行駛了 35= 8小時,行駛的路程為：48 8 =384千米；乙車行駛了 5 小時,行駛的路程為： 50 5 =250千米,此時兩車還相距15 千米,所以 A 、 B 兩地間相距：38425015 =649千米【答案】649千米小燕上學(xué)時騎車,回家時步行,路上共用50分。如果往返都步行,則全程需要70分。求往返都騎車所需的時間?！究键c】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 往返都步行分鐘,則單程步行要用則單程騎車要分鐘所以往返都騎車要分鐘【答案】分鐘騎自行

7、車從甲地到乙地,以10千米時的速度行進,下午1時到；以 15千米時的速度行進,上午11時到。如果希望中午12時到,那么應(yīng)以怎樣的速度行進？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 13.12千米/時【答案】13.12千米/時從家里騎摩托車到火車站趕乘火車。若每時行30千米,則早到15分；若每時行20千米,則遲到5分。如果打算提前5分到,那么摩托車的速度應(yīng)是多少？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 24千米時。解：設(shè)離火車開車時刻還有x分。根據(jù)從家到火車站的距離,可列方程 解得x=55分。所求速度應(yīng)是30551555524千米時?！敬鸢浮?4千米時小紅從家到火車站趕乘火車,如果每時

8、行4千米,那么火車開時她還離車站1千米；如果每時行5千米,那么她就早到車站12分。小紅家離火車站多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 9千米。提示：與第142題類似?！敬鸢浮?千米一艘輪船在離港口 20海里處船底破損,每分進水1.4噸,這艘輪船進水70噸后就會沉沒。問：這艘輪船要在沉沒前返回港口,它的時速至少達到多少海里？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 24海里。提示：先求進70噸水需要的時間?！敬鸢浮?4海里解放軍某部開往邊境,原計劃需要行軍18天,實際平均每天比原計劃多行12千米,結(jié)果提前3天到達,這次共行軍多少千米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】

9、解答 “提前3天到達”可知實際需要天的時間,而“實際平均每天比原計劃多行12千米”,則15天內(nèi)總共比原來15天多行的路程為：千米,這180千米正好填補了原來3天的行程,因此原來每天行程為千米,問題就能很容易求解原來的速度為：千米/天,因此總行程為：千米另外本題通過畫矩形圖將會更容易解決：其中矩形的長表示時間,寬表示速度,由路程速度時間可知,矩形的面積表示的是路程,通過題意可以知道甲的面積等于乙的面積,乙的面積為,所以“？”處應(yīng)為,而“？”表示的是原計劃的速度,則這次行軍的路程為：千米【答案】千米某人要到 60千米外的農(nóng)場去,開始他以 6千米/時的速度步行,后來有輛速度為18千米/時的拖拉機把他

10、送到了農(nóng)場,總共用了6小時問：他步行了多遠？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 求步行路程,而且步行速度已知,需要求步行時間如果6小時全部乘拖拉機,可以行進：千米,千米,其中,這48千米的距離是在某段時間內(nèi)這個人在行走而沒有乘拖拉機因此少走的距離,這樣我們就可以求出行走的時間為：小時,即這個人走了4個小時,距離為：千米,即這個人步行了24千米另外本題通過畫矩形圖將會更容易解決：其中矩形的長表示時間,寬表示速度,由路程=速度時間可知,矩形的面積表示的是路程,通過題意可以知道陰影部分的面積等于60,大矩形的面積為,所以小矩形的面積為：,又因為小矩形的寬為,所以小矩形的長為：,所以“？”處

11、矩形的面積為千米,“？”表示的是步行的路程,即步行的路程為24千米【答案】24千米第六屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽題第1題小明每天早晨6：50從家出發(fā),7：20到校,老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā),那么,每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準時到校。問：小明家到學(xué)校多遠？ 【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 原來花時間是30分鐘,后來提前6分鐘,就是路上要花時間為24分鐘。這時每分鐘必須多走25米,所以總共多走了2425=600米,而這和30分鐘時間里,后6分鐘走的路程是一樣的,所以原來每分鐘走6006=100米。總路程就是=10030=3000米。

12、【答案】3000米模塊二、平均速度問題甲、乙兩地相距60千米,自行車隊8點整從甲地出發(fā)到乙地去,前一半時間平均每分鐘行1千米,后一半時間平均每分鐘行0.8千米。自行車隊到達乙地的時間是幾點幾分幾秒？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 ,共用分鐘秒自行車到達乙地的時間是點分秒【答案】點分秒如圖,從A到B是12千米下坡路,從B到C是8千米平路,從C到D是4千米上坡路.小張步行,下坡的速度都是6千米/小時,平路速度都是4千米/小時,上坡速度都是2千米/小時.問小張從A到D的平均速度是多少? 【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 從A到B的時間為：126=2小時,從B到C的時間為：8

13、4=2小時,從C到D的時間為：42=2小時,從A到D的總時間為：2+2+2=6小時,總路程為：12+8+4=24千米,那么從A到D 的平均速度為：246=4千米/時【答案】4千米/時如圖,從A到B是6千米下坡路,從B到C是4千米平路,從C到D是4千米上坡路.小張步行,下坡的速度都是6千米/小時,平路速度都是4千米/小時,上坡速度都是2千米/小時.問從A到D的平均速度是多少？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 從A到B的時間為：66=1小時,從B到C的時間為：44=1小時,從C到D的時間為：42=2小時,從A到D的總時間為：1+1+2=4小時,總路程為：6+4+4=14千米,那么從A到

14、D 的平均速度為：144=3.5千米/時【答案】3.5千米/時一個運動員進行爬山訓(xùn)練從地出發(fā),上山路長30千米,每小時行3千米爬到山頂后,沿原路下山,下山每小時行6千米求這位運動員上山、下山的平均速度 【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 這道題目是行程問題中關(guān)于求上、下山平均速度的問題解題時應(yīng)區(qū)分平均速度和速度的平均數(shù)這兩個不同的概念速度的平均數(shù)上山速度+下山速度,而平均速度上、下山的總路程上、下山所用的時間和所以上山時間：小時,下山時間：小時,上、下山平均速度：千米/小時【答案】千米/時摩托車駕駛員以每小時30千米的速度行駛了90千米到達某地,返回時每小時行駛45千米,求摩托車駕駛

15、員往返全程的平均速度.【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 要求往返全程的平均速度是多少,必須知道摩托車“往”與“返”的總路程和“往”與“返”的總時間.摩托車“往”行了90千米,“返”也行了90千米,所以摩托車的總路程是：902=180千米,摩托車“往”的速度是每小時30千米,所用時間是：9030=3小時,摩托車“返”的速度是每小時45千米,所用時間是：9045=2小時,往返共用時間是：3+2=5小時,由此可求出往返的平均速度,列式為：9029030+9045=1805=36千米/小時【答案】36千米/小時甲乙兩地相距200千米,小強去時的速度是10千米/小時,回來的速度是40千米/小

16、時,求小強往返的平均速度【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 去時的時間小時,回來的時間小時,平均速度總路程總時間千米/小時【答案】千米/小時飛機以720千米時的速度從甲地到乙地,到達后立即以480千米時的速度返回甲地.求該車的平均速度.【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 設(shè)兩地距離為：千米,從甲地到乙地的時間為：小時,從乙地到甲地的時間為：小時,所以該飛機的平均速度為：千米/時。【答案】千米/時一個人從甲地去乙地,騎自行車走完全程的一半時,自行車壞了,又無法修理,只好推車步行到乙地. 騎車時每小時行12千米,步行時每小時4千米,這個人走完全程的平均速度是多少？【考點】行程問

17、題 【難度】2星 【題型】解答 參數(shù)法：設(shè)全程的的一半為S千米,前一半時間為,后一半時間為,根據(jù)公式平均速度=總路程總時間,可得千米。題目中沒有告訴我們總的路程,給計算帶來不便,仔細想一想,前一段路程與后一段路程相等,總路程是不影響平均速度的,我們自己設(shè)一個路程好了,路程的一半既是12的倍數(shù)又是4的倍數(shù),所以可以假設(shè)路程的一半為千米,來回兩段路,每段路程12千米,那么總路程是： 千米,總時間是：小時,所以平均速度是：千米/小時注意：在這種特定的題目中,隨便選一個方便的數(shù)字做總路程并不是不科學(xué)的,因為我們可以把總路程設(shè)為“單位1”,這樣做無非是設(shè)了“單位24”,也就是把所有路程擴大了24倍變成整

18、數(shù),沒有任何問題,不論總路程設(shè)成多少,結(jié)論都是一樣的,大家可以驗證一下.【答案】千米/小時從前有座山,山上有座廟,廟里有個老和尚會講故事,王先生開車去拜訪這位老和尚,汽車上山以30千米時的速度,到達山頂后以60千米時的速度下山.求該車的平均速度.【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 設(shè)兩地距離為：千米,上山時間為：小時,下山時間為：小時,所以該飛機的平均速度為：千米?！敬鸢浮壳啄橙松仙剿俣葹槊啃r8千米,下山的速度為每小時12千米,問此人上下山的平均速度是多少？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 方法一：用設(shè)數(shù)代入法,設(shè)從山腳至山頂路程為48千米,下山用時為小時,共用時小時

19、,路程為千米,平均速度為千米/小時方法二：設(shè)路程為單位1,上山用時為,下山用時為,共用時,距離為,平均速度為千米/小時.【答案】千米/小時一輛汽車從甲地出發(fā)到300千米外的乙地去,前120千米的平均速度為40千米時,要想使這輛汽車從甲地到乙地的平均速度為50千米時,剩下的路程應(yīng)以什么速度行駛？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 求速度首先找相應(yīng)的路程和時間,平均速度說明了總路程與總時間的關(guān)系,剩下的路程為：300-120=180千米,計劃總時間為：30050=6小時,前120千米已用去12040=3小時,所以剩下路程的速度為: 300-1206-3=60千米/時.【答案】60千米/時

20、汽車往返于A,B兩地,去時速度為40千米時,要想來回的平均速度為48千米時,回來時的速度應(yīng)為多少？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 參數(shù)法：設(shè)A、B兩地相距S千米,列式為S2S48-S40=60千米. 最小公倍法：路程2倍既是48的倍數(shù)又是40的倍數(shù),所以可以假設(shè)路程為48,40=240千米.根據(jù)公式變形可得 240224048-240240=60千米.【答案】60千米王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時60千米的速度行駛,正好可以按時返回甲地.可是,當?shù)竭_乙地時,他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時50千米.如果他想按時返回甲地,他應(yīng)以多大的速度往回開?【考點】行程問

21、題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)甲地到乙地的路程為300,那么按時的往返一次需時間300602=10小時,現(xiàn)在從甲到乙花費了時間30050=6小時,所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能是10-6=4小時.即如果他想按時返回甲地,他應(yīng)以3004=75千米/時的速度往回開【答案】75千米/時王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時60千米的速度行駛,正好可以按時返回甲地.可是,當?shù)竭_乙地時,他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時55千米.如果他想按時返回甲地,他應(yīng)以多大的速度往回開?【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 設(shè)甲地到乙地的路程為單位“1”,那么按時的往返一次需時間,現(xiàn)

22、在從甲到乙花費了時間155千米,所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能是.即如果他想按時返回甲地,他應(yīng)以每小時66千米的速度往回開【答案】每小時66千米小明去爬山,上山時每時行2.5千米,下山時每時行4千米,往返共用3.9時。小明往返一趟共行了多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 方法一：路程=總時間平均速度,先求出平均速度,設(shè)上下山路程為10千米,102102.5+104=206.5=40/13千米/時所以總路程：40/133.9=12千米。方法二：設(shè)上山用小時,下山用小時,所以列方程為：,解得,所以小明往返共走：千米?！敬鸢浮壳仔∶魃衔缇劈c上山,每小時3千米,在山頂休息1

23、小時候開始下山,每小時4千米,下午一點半到達山下,問他共走了多少千米.【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 上午九點上山下午1點半下山,用時4.5小時,除去休息的一個小時,上山和下山共用時3.5小時.上山速度3千米/小時,下山速度4千米/小時,若假設(shè)上下山距離為12千米的話,則上山用時4小時,下山用時3小時,總用時應(yīng)為7小時,而實際用時3.5小時,則實際路程應(yīng)為千米【答案】千米小明從甲地到乙地,去時每時走2千米,回來時每時走3千米,來回共用了5小時小明去時用了多長時間？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 方法一：路程=總時間平均速度,先求出平均速度,設(shè)上下山路程為6千米,62

24、62+63=125=2.4千米/時所以總路程：2.45=12千米,所以去時用時間為：小時方法二：設(shè)上山用小時,下山用小時,所以列方程為：,解得,所以去時用時間為3小時。方法三:因為路程速度時間,來回的路程是一樣的,速度不同導(dǎo)致所用的時間不同,同時,速度與時間的乘積是不變的,因為去時的速度與回來時的速度之比為2：3,所以去時的時間與回來時的時間比為3：2,把去時用的時間看作3份,那么回來時所用時間為2份,它們的和為5,由和倍關(guān)系式,去時所用的時間為小時【答案】小時小明從甲地到乙地,去時每時走2千米,回來時每時走3千米,來回共用了15小時小明去時用了多長時間？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型

25、】解答 假設(shè)總路程為6千米,那么去時用小時,回來用小時,來回共用5小時,而題目中是15小時,是假設(shè)時間5小時的3倍,那么總路程就是千米。所以,去時用了小時?！敬鸢浮啃r小王每天用每小時15千米的速度騎車去學(xué)校,這一天由于逆風(fēng),開始三分之一路程的速度是每小時10千米,那么剩下的路程應(yīng)該以怎樣的速度才能與平時到校所用的時間相同【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 由于要求大風(fēng)天和平時到校時間所用時間相同,在距離不變的情況下,平時的15千米/小時相當于平均速度.若能再把總路程“任我意”出來,在已知總距離和平均速度的情況下,總時間是可求的,例如假設(shè)總路程是30千米,從而總時間為小時.開始的三分

26、之一路程則為10千米,所用時間為小時,可見剩下的20千米應(yīng)用時1小時,從而其速度應(yīng)為20千米/小時.【答案】20千米/小時有一座橋,過橋需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人騎自行車過橋時,上坡、走平路和下坡的速度分別為4米/秒、6米/秒和8米/秒,求他過橋的平均速度?！究键c】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)上坡、走平路及下坡的路程均為24米,那么總時間為：244+246+248=13秒,過橋的平均速度為米/秒【答案】米/秒有一座橋,過橋需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動車過橋時,上坡、走平路和下坡的速度分

27、別為11米秒、22米秒和33米秒,求他過橋的平均速度.【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)上坡、平路及下坡的路程均為66米,那么總時間=6611+6622+6633=6+3+2=11秒,過橋的平均速度=66311=18米/秒【答案】18米/秒一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點開始爬行一周. 在三條邊上它每分鐘分別爬行50cm,20cm,40cm如右圖.它爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)每條邊長為200厘米,則總時間=20050+20020+20040=4+10+5=19分鐘,爬行一周的平均速度=200319=厘米/分鐘.【答案】厘

28、米/分鐘趙伯伯為了鍛煉身體,每天步行3小時,他先走平路,然后上山,最后又沿原路返回假設(shè)趙伯伯在平路上每小時行4千米,上山每小時行3千米,下山每小時行6千米,在每天鍛煉中,他共行走多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級,2試上山3千米/小時,平路4千米/小時,下山6千米/小時。假設(shè)平路與上下山距離相等,均為12千米,則首先趙伯伯每天共行走千米,平路用時小時,上山用時小時,下山用時小時,共用時小時,是實際3小時的4倍,則假設(shè)的48千米也應(yīng)為實際路程的4倍,可見實際行走距離為千米。方法二：設(shè)趙伯伯每天走平路用小時,上山用小時,下山用小時,因為上山和下山的路程相同,所