新教材人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊 期末測試卷（解析版）

1、精品文檔 精心整理精品文檔 可編輯的精品文檔期末測試卷(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知復(fù)數(shù)z=3+i(i是虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)記作z,則z|z|=()A.32-i2B.32+i2C.-32-i2D.-32+i2【答案】A 【解析】z|z|=3-i2=32-i2,故選A.2.水平放置的ABC的直觀圖如圖所示,若A1C1=2,A1B1C1的面積為22,則AB的長為()2B.217C.2D.8【答案】B 【解析】因為A1B1C1的面積為22,所以22=12A1C1B1C1sin

2、45=122B1C122,解得B1C1=4,所以BC=8,易知ACBC,AC=A1C1=2,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+82=217.故選B.3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),ABAC=12,則|BC|=()A.2B.2C.3D.3【答案】A 【解析】AB=(2,3),AC=(3,t),ABAC=6+3t=12,解得t=2,AC=(3,2),BC=AC-AB=(1,-1),|BC|=12+(-1)2=2.4.天氣預(yù)報說,在未來三天中,每天下雨的概率均為40%,用數(shù)字0,1,2,3表示下雨,數(shù)字 4,5,6,7,8,9表示不下雨,由計算機生成如下20組隨機數(shù):977,864

3、,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,394,027,556,488,730,113,537,908.由此估計未來三天中至少有一天下雨的概率為()A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8【答案】B 【解析】代表未來三天都不下雨的隨機數(shù)有977,864,458,569,556,488,共6組,記“未來三天中至少有一天下雨”為事件A,“未來三天都不下雨”為事件B,則A與B為對立事件,所以P(A)=1-P(B)=1-620=710=0.7.故選B.5.我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有如下問題:“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八,西鄉(xiāng)算七千二百三十六,南鄉(xiāng)算八千三百五

4、十六,凡三鄉(xiāng),發(fā)役三百七十八人,欲以算數(shù)多少出之,問各幾何?”意思是:北鄉(xiāng)有8 758人,西鄉(xiāng)有7 236人,南鄉(xiāng)有8 356人,現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378人,問從各鄉(xiāng)征集多少人?在上述問題中,需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是()A.102B.112C.130D.136【答案】B 【解析】因為北鄉(xiāng)有8 758人,西鄉(xiāng)有7 236人,南鄉(xiāng)有8 356人,現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378人,所以需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是3787 2368 758+7 236+8 356112.6.設(shè)兩個單位向量a,b的夾角為23,則|3a+4b|=()A.1B.13C.37D.7【答案】B 【解析】兩個單位向量a,b的夾角為

5、23,|a|=1,|b|=1,ab=|a|b|cos23=-12,|3a+4b|2=9a2+16b2+24ab=9+16+24-12=13,|3a+4b|=13.故選B.7.在四面體A-BCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,則直線AB與CD所成角的余弦值為()A.-13B.-14C.14D.13【答案】D 【解析】因為四面體的對邊分別相等,所以該四面體的頂點為長方體的不相鄰的四個頂點,如圖所示,設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則a2+b2=5,a2+c2=4,b2+c2=3,解得a=3,b=2,c=1.連接DC,交AB于點O,則DCDC,所以AOD(或其補角)是直線

6、AB與CD所成的角.易知AO=DO=32,AD=2,在AOD中,cosAOD=AO2+DO2-AD22AODO=34+34-223232=-13,所以直線AB與CD所成角的余弦值為13,故選D.8.如圖,某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)若干米后到達(dá)D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?5,已知山的高度BC為1千米,則該登山隊從A到D前進(jìn)了()A.2千米B.(6-2)千米C.1千米D.1.5千米【答案】C 【解析】如圖,過D作DEBC交BC于點E,DFAC交AC于點F,由題意得BAC=ABC=45,DAC=30,BDE=75,則BAD=15,DBE=15,則ABD=30.設(shè)

7、AD=x千米,在ABD中,由正弦定理得xsinABD=BDsinBAD,即BD=2xsin 15,在BED中,BE=BDcos 15=2xsin 15cos 15=xsin 30=12x,在ADF中,DF=CE=xsin 30=12x,因為BC=1,所以BE+CE=x=1,即該登山隊從A到D前進(jìn)了1千米,故選C.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.有5件產(chǎn)品,其中3件正品,2件次品,從中任取2件,則互斥的兩個事件是()A.至少有1件次品與至多有1件正品B.至少有1件次品與2件

8、都是正品C.至少有1件次品與至少有1件正品D.恰有1件次品與2件都是正品【答案】BD 【解析】在A中,至少有1件次品與至多有1件正品能同時發(fā)生,不是互斥事件,故A錯誤;在B中,至少有1件次品與2件都是正品是對立事件,屬于互斥事件,故B正確;在C中,至少有1件次品與至少有1件正品能同時發(fā)生,不是互斥事件,故C錯誤;在D中,恰有1件次品與2件都是正品不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,是互斥但不對立的兩個事件,故D正確.故選BD.【解題模板】對于互斥但不對立的兩個事件的判斷,解題時要認(rèn)真審題,對試驗的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)劃分,注意對立事件、互斥事件定義的合理運用.10.已知甲運動員的投籃命中率是0.7,乙運動員

9、的投籃命中率是0.8,若甲、乙各投籃一次,則()A.都命中的概率是0.56B.恰有一人命中的概率是0.42C.恰有一人沒命中的概率是0.38D.至少有一人命中的概率是0.94【答案】ACD 【解析】對于A,都命中的概率為0.70.8=0.56,故A正確;對于B,恰有一人命中的概率是0.70.2+0.30.8=0.38,故B錯誤;對于C,恰有一人沒命中的概率是0.70.2+0.30.8=0.38,故C正確;對于D,至少有一人命中的概率是1-0.30.2=0.94,故D正確.故選ACD.11.下列條件中能夠判定ABC是鈍角三角形的是()A.a=4,b=5,c=6B.ABBC=2bC.c-ba+b=

10、sinAsinC+sinBD.b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C【答案】BC 【解析】對于A,a2+b2=41c2,所以ABC是銳角三角形,錯誤;對于B,ABBC=-accos B=2b,所以cos B6,所以球面與棱BC沒有交點.所以球面與棱AB,CD,CC1,BB1相交,交點分別記為E,F,G,H.在RtAOE中,OA=5,OE=6,所以AE=OE2-OA2=1,所以E為AB的中點,同理,F,G,H分別為CD,CC1,BB1的中點,則EFHG,所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為A1D1AD,EFAD,所以A1D1EF.因為A1D1平面EFGH,EF平面EFGH,所

11、以A1D1平面EFGH,故A正確.連接A1B,假設(shè)A1C平面EFGH,則A1CGH,又GHBC,所以A1CBC.因為BC平面AA1B1B,A1B平面AA1B1B,所以BCA1B,在A1BC中,有兩個角為90,矛盾.故假設(shè)不成立,故B錯誤.連接AB1,因為BC平面AA1B1B,EFBC,所以EF平面AA1B1B,所以EFA1B.在正方形AA1B1B中,A1BAB1,因為E,H分別為AB,BB1的中點,所以EHAB1,所以EHA1B.因為EFEH=E,所以A1B平面EFGH.因為A1B1AB,所以A1B1與平面EFGH所成的角即為AB與平面EFGH所成的角,即為BEH=45,故C正確.易知SBEH

12、=14SABB1,所以SBEH=17S多邊形AEHB1A1,所以VBEH-CFGVAEHB1A1-DFGC1D1=17,故D正確.故選ACD.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試,成績的頻率分布直方圖如下,數(shù)據(jù)的分組依次是20,40),40,60),60,80),80,100,則可估計這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)是.【答案】65 【解析】由題圖得,成績在20,60)內(nèi)的頻率是(0.005+0.010)20=0.3,成績在20,80)內(nèi)的頻率為0.3+0.02020=0.7,故第40百分位數(shù)一定位于60,80)內(nèi),則這次數(shù)學(xué)

13、測試成績的第40百分位數(shù)為60+0.4-0.30.420=65.14.已知向量a,b滿足|b|=3,|a+b|=4,|a-b|=5,則向量a在向量b上的投影為.【答案】-34 【解析】|a+b|=4,a2+b2+2ab=16, |a-b|=5,a2+b2-2ab=25,ab=-94,向量a在向量b上的投影為ab|b|=-34.【解題模板】研究向量a在向量b上的投影有兩種方法:一是用定義|a|cos (為向量a與向量b的夾角),二是將定義式用夾角公式化為ab|b|求解.15.若復(fù)數(shù)2+i為一元二次方程x2+ax+b=0(a,bR)的一個根,則復(fù)數(shù)|a+bi|=.【答案】41 【解析】因為2+i為

14、一元二次方程x2+ax+b=0的根,所以(2+i)2+a(2+i)+b=0,所以(a+4)i+2a+b+3=0,又a,bR,故a+4=0,2a+b+3=0,解得a=-4,b=5.則|a+bi|=|-4+5i|=16+25=41.16.三棱錐P-ABC中,頂點P在底面ABC的射影為ABC的內(nèi)心,三個側(cè)面的面積分別為12,16,20,且底面面積為24,則該三棱錐P-ABC的體積為,它的外接球的表面積為.【答案】163;3163 【解析】因為P在底面ABC的射影是ABC的內(nèi)心,所以三棱錐P-ABC的斜高相等,設(shè)為h,設(shè)三棱錐P-ABC的高為h,底面邊長為a,b,c(abc),則abc=121620=

15、345,則ABC為直角三角形,所以SABC=12ab=24,由得a=6,b=8,c=10,因為12ah=12,所以h=4.ABC內(nèi)切圓的半徑r=242a+b+c=2,則h=h2-r2=23,所以V三棱錐P-ABC=13SABCh=163.設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,ABC的內(nèi)心為H,斜邊中點為G,則HG=5,球心O在過G且與PH平行的直線上,過O作ONGH,經(jīng)計算知N在PH的延長線上,所以PN-HN=PN-OG=23,即R2-5-R2-25=23,所以R2=793,所以外接球的表面積S=4R2=3163.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題

16、滿分10分)如圖,在OAB中,已知P為線段AB上一點,OP=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求實數(shù)x,y的值;(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA與OB的夾角為60,求OPAB的值.【解析】(1)BP=PA,BO+OP=PO+OA,即2OP=OA+OB,(2分)OP=12OA+12OB,即x=12,y=12.(4分)(2)BP=3PA,BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,(6分)OP=34OA+14OB,(8分)OPAB=34OA+14OB(OB-OA)=14OB2-34OA2+12OAOB=1422-3442+124212=-9.(10分)18.(本小

17、題滿分12分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且a=7,c=1,A=23.(1)求b及ABC的面積S;(2)若D為BC邊上一點,且,求ADB的正弦值.從AD=1,CAD=6這兩個條件中任選一個,補充在上面問題中,并作答.【解析】(1)a=7,c=1,A=23,由余弦定理得(7)2=b2+12-2b1cos23,整理得b2+b-6=0,(3分)解得b=2或b=-3(舍去),S=12bcsin A=122132=32.(6分)(2)選,如圖所示:在ABC中,由正弦定理得ACsinB=BCsin23,sin B=ACsin23BC=217,(9分)在ABD中,AD=AB=1,AD

18、B=B,sinADB=sin B=217.(12分)選,在ABC中,由正弦定理得ABsinC=BCsin23,sin C=ABsin23BC=2114,易知C為銳角,cos C=1-sin2C=5714,(9分)sinADB=sinC+6=32sin C+12cos C=322114+125714=277.(12分)19.(本小題滿分12分)6月17日是聯(lián)合國確定的“世界防治荒漠化和干旱日”,為增強全社會對防治荒漠化的認(rèn)識與關(guān)注,聚焦聯(lián)合國2030可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)實現(xiàn)全球土地退化零增長.自2004年以來,我國荒漠化和沙化狀況呈現(xiàn)整體遏制、持續(xù)縮減、功能增強、成效明顯的良好態(tài)勢.治理沙漠離不開優(yōu)質(zhì)

19、的樹苗,現(xiàn)從苗圃中隨機地抽測了200株樹苗的高度(單位:cm),得到以下頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值及數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù);(2)估計苗圃中樹苗的平均高度;(3)在樣本中從205 cm及以上的樹苗中采用分層隨機抽樣的方法抽出5株,再從這5株中抽出2株樹苗,求其中含有215 cm及以上樹苗的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1可得(0.001 5+0.011+0.022 5+0.03+a+0.008+0.002)10=1,解得a=0.025.(2分)眾數(shù)為185+1952=190.(4分)設(shè)中位數(shù)為x,因為(0.001 5+0.011+0.022 5)10=0.350

20、.5,所以185x195,由0.35+0.03(x-185)=0.5,解得x=190.(6分)(2)x=1600.015+1700.11+1800.225+1900.3+2000.25+2100.08+2200.02=189.8(cm).因此估計苗圃中樹苗的平均高度為189.8 cm. (8分)(3)從205,215)內(nèi)抽取50.080.08+0.02=4(株),分別設(shè)為a1,a2,a3,a4,從215,225內(nèi)抽取50.020.08+0.02=1(株),設(shè)為b,(10分)從這5株樹苗中抽出2株有a1a2,a1a3,a1a4,a1b,a2a3,a2a4,a2b,a3a4,a3b,a4b,共10

21、種情況,其中含有215 cm及以上樹苗的有4種,故所求概率P=410=25.(12分)20.(本小題滿分12分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知點M在正方形A1B1C1D1內(nèi)部,A1M=2,CM=6.(1)經(jīng)過點M在平面A1B1C1D1內(nèi)作一條直線與CM垂直(說明作法及理由);(2)求直線CM與平面BDD1B1所成角的余弦值.【解析】(1)當(dāng)點M為A1C1,B1D1的交點時,B1D1為所求作的直線.(2分)理由如下:連接C1M,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面A1B1C1D1,又C1M,B1D1平面A1B1C1D1,所以CC1C1M,CC1B1D1,所

22、以C1M=CM2-CC12=2,易知A1C1=22,則A1C1=A1M+C1M,所以M為A1C1的中點.(4分)因為四邊形A1B1C1D1為正方形,所以M為B1D1的中點,易知B1D1MC1,因為MC1CC1=C1,MC1,CC1平面CMC1,所以B1D1平面CMC1,又CM平面CMC1,所以B1D1CM.(6分)(2)由(1)知M B1D1,故M平面BDD1B1,連接AC,設(shè)ACBD=O,連接OM,易知OM平面BDD1B1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知BB1平面ABCD,因為CO平面ABCD,所以COBB1,在正方形ABCD中,易知COBD,又BB1BD=B,BB1,BD平面B

23、DD1B1,所以CO平面BDD1B1,所以COOM,所以CMO為直線CM與平面BDD1B1所成的角.(9分)在COM中,CO=2,CM=6,所以sinCMO=COCM=33,則cosCMO=1-sin2CMO=63,即直線CM與平面BDD1B1所成角的余弦值為63.(12分)21.(本小題滿分12分)2020年是我國5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)的加速之年.截至2020年年底,中國已建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò).為了切實推動移動網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量提升,不斷改善用戶體驗,中國信通院受工信部委托,定期在全國范圍內(nèi)開展重點場所移動網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量專項測評,其中一項測評內(nèi)容是在每座受測城市中任意挑選一條典型路段進(jìn)行測評,以評估當(dāng)?shù)?G網(wǎng)絡(luò)發(fā)展

24、水平,其中5座受測城市的5G綜合下載速率(單位:Mbps)數(shù)據(jù)如表:城市路段5G綜合下載速率(單位:Mbps)福州五四路708.92廣州大學(xué)城外/中/內(nèi)環(huán)817.13哈爾濱紅軍街630.34杭州環(huán)城東路882.60成都二環(huán)高架916.02(1)從這5座城市中隨機選取2座城市進(jìn)行分析,求選取的2座城市5G綜合下載速率都大于800 Mbps的概率;(2)甲、乙兩家5G網(wǎng)絡(luò)運營商分別從以上5座城市中隨機選取1座城市考察(甲、乙的選取互不影響),求甲、乙兩家運營商中恰有一家選取的城市5G綜合下載速率大于800 Mbps的概率.【解析】(1)這5座城市中5G綜合下載速率大于800 Mbps的有3座,設(shè)為

25、A1,A2,A3,5G綜合下載速率不大于800 Mbps的有2座,設(shè)為B1,B2.(2分)隨機選取2座城市的所有可能為(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10個,其中2座城市5G綜合下載速率都大于800 Mbps的有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3個.(4分)設(shè)“選取的2座城市5G綜合下載速率都大于800 Mbps”為事件M,所以P(M)=310.(6分)(2)設(shè)“甲選取的城市5G綜合下載速率大于800 Mbps”為事件C,“乙選取的城市5G綜合下載速率大于800 Mbps”為事件D,“甲、乙兩家運營商中恰有一家選取的城市5G綜合下載速率大于800 Mbps”為事件N.易得P(C)=P(D)=35,(9分)所以P(N)=P(CDCD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=351-35+1-3535=1225.(12分)22.(本小題滿分12分)如圖甲,在矩形ABCD中,E是CD的中點,AB=2,BC=2,以AE,BE為折痕將ADE與BCE折起,使D,C重合(仍記為D),如圖乙(以AB