最大公因式的初等變換求法

1、 最大公因式的初等變換求法【摘要】 給出了求最大公因式的初等變換法,這比輾轉(zhuǎn)相除法要來的簡便,并在兩個多項式的根底上做了推廣,給出了求多個多項式的最大公因式的方法.【關(guān)鍵詞】 最大公因式 ;初等變換 引言學(xué)習(xí)了高等代數(shù),我們知道可以運用輾轉(zhuǎn)相除求兩個多項式的最大公因式,但是此法不夠簡潔.在閱讀了郭文獻(xiàn)教授發(fā)表的?最大公因式的初等變換?一文后,發(fā)現(xiàn)其求最大公因式的方法比擬簡潔，我們在其求兩個多項式的最大公因式的根底上,推廣并證明了此法對求K個多項式也適用.一:對方法的重述并且補充分析了一般的求法過程.設(shè)和不全為零,不妨設(shè)，應(yīng)用帶余除法，可以得到一串等式：這里就是和的最大公因式，此為輾轉(zhuǎn)相除法。用

2、表示首項系數(shù)為1的最大公因式。在這里我們看到，對于一般的兩個多項式來說，這種求法步驟較多，篇幅較大，計算較繁，而下面的初等變換克服了這些缺點。引理引理1 數(shù)域P上所有次數(shù)不大于n的多項式連同零多項式構(gòu)成的多項式空間Px與所有的n+1元有序數(shù)組構(gòu)成的向量空間同構(gòu)。事實上，在Px與之間存在同構(gòu)映射：，可見，可用表示引理212(3) (4) (5)設(shè)，證明：1、2，顯然 3設(shè),那么，又令是與的任一公因式，那么，于是，進(jìn)而有，命題得證。4證明同35設(shè)且是與的任一公因式，注意到，于是，故。推廣此式可得定理用表示多項式與的待求最大公因式，那么對A施行初等行變換。兩個多項式的最大公因式不變；當(dāng)時證明：由引理

3、2中1、2、3，即得定理的第一局部，由引理2中的4、5，即得定理的第二局部注：由引理知A與B是相等關(guān)系對于一般的，假設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)時，通過初等變換，保持第一行不變，將第一行乘上加到第二行，得，即通過初等變換，都可得A化為的形式。假設(shè)，那么保持第二行不變，將第二行乘上加到第一行，得，因此，通過初等變換，使得兩個多項式都降了一個階，而他們的最大公因式卻不變。按照此法類推下去，將階數(shù)到一定低階時，便可以得到最大公因式。假設(shè)，那么同樣可按照以上方法將多項式降階，最終可得最大公因式。例1:設(shè),求解:對矩陣,進(jìn)行初等變換故.二:推廣到K個多項式引理3(1)(其中,是1,2,k的任意排列)(2)(,是任意常數(shù))(3)(4)(5)設(shè) 證明: (1), (2)顯然.(3)設(shè),那么,設(shè)是,故.從而命題得證.(4)證明同(3)(5)設(shè),是的任一公因式.由于,故于是,故.而,.故.推廣此式可得, ,(是正整數(shù))例2:設(shè),求解:對故參考文獻(xiàn):1 郭文獻(xiàn) 最大公因式的初等變換求法 中圖分類號O11.1 文章