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文檔簡介

1、PAGE PAGE 頁碼 9 / NUMPAGES 總頁數(shù) 97-2-2較復(fù)雜的乘法原理教學(xué)目標六年級奧數(shù)較復(fù)雜的乘法原理教師版2.使學(xué)生分清楚什么時候用乘法原理,分清有幾個必要的步驟,以及各步之間的關(guān)系3.培養(yǎng)學(xué)生準確分解步驟的解題能力;乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問題,本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問題的習(xí)慣知識要點一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課,首先得從家出發(fā)到長寧上8點的課,然后得趕到黃埔去上下午1點半的課如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具公交、地鐵、出租車、自行車、步行,然后再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具公交、地鐵,同學(xué)們,你們說老師從家到黃埔

2、一共有多少條路線?我們看上面這個示意圖,老師必須先的到長寧,然后再到黃埔這幾個環(huán)節(jié)是必不可少的,老師是一定要先到長寧上完課,才能去黃埔的在沒學(xué)乘法原理之前,我們可以通過一條一條的數(shù),把線路找出來,顯而易見一共是10條路線但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具,并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具,那一共有多少條線路呢?這樣數(shù),恐怕是要耗費很多的時間了這個時候我們的乘法原理就派上上用場了二、乘法原理的定義完成一件事,這個事情可以分成n個必不可少的步驟比如說老師從家到黃埔,必須要先到長寧,那么一共可以分成兩個必不可少的步驟,一是從家到長寧,二是從長寧到黃埔,第1步有A種不同的方法,第

3、二步有B種不同的方法,第n步有N種不同的方法那么完成這件事情一共有ABN種不同的方法結(jié)合上個例子,老師要完成從家到黃埔的這么一件事,需要2個步驟,第1步是從家到長寧,一共5種選擇;第2步從長寧到黃埔,一共2種選擇;那么老師從家到黃埔一共有52個可選擇的路線了,即10條三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個必要步驟;2、每步找種數(shù)每步的情況都不能單獨完成該件事;3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題比如說老師舉的這個例子就是個路線種類問題;2、字的染色問題比如說要3個字,然后有5種顏色可以給每個字然后,問3個字有多少種染色方法;3、地圖的染色問題同學(xué)們可以回家看地圖,比如中國每個

4、省的染色情況,給你幾種顏色,問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法;4、排隊問題比如說6個同學(xué),排成一個隊伍,有多少種排法;5、數(shù)碼問題就是對一些數(shù)字的排列,比如說給你幾個數(shù)字,然后排個幾為數(shù)的偶數(shù),有多少種排法例題精講模塊一、乘法原理之組數(shù)問題 由數(shù)字1、2可以組成多少個兩位數(shù)? 由數(shù)字1、2可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】1星 【題型】解答 組成兩位數(shù)要分兩步來完成:第一步,確定十位上的數(shù)字,有2種方法;第二步確定個位上的數(shù)字,有2種方法根據(jù)乘法原理,由數(shù)字1、2可以組成22=4個兩位數(shù),即11,12,21,22組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)要分兩步來完成

5、:第一步,確定十位上的數(shù)字,有2種方法;第二步確定個位上的數(shù)字,因為要組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),因此十位上用的數(shù)字個位上不能再用,因此第二步只有1種方法,由乘法原理,能組成21=2個兩位數(shù),即12,21【答案】4 2由3、6、9這3個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)? 由3、6、9這3個數(shù)字可以組成多少個三位數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】2星 【題型】解答 分三步完成:第一步排百位上的數(shù),有3種方法;第二步排十位上的數(shù),有2種方法;第三步,排個位上的數(shù),有1種方法,由乘法原理,3、6、9這3個數(shù)字可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)分三步完成,即分別排百位、十位、個位上的數(shù)字,每步有3種

6、方法,由乘法原理,由3、6、9這3個數(shù)字一共可以組成個三位數(shù)【答案】 用數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個: 三位數(shù)? 沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】2星 【題型】解答 組成三位數(shù)可分三步完成第一步,確定百位上的數(shù)字,因為百位不能為0,所以只有4種選擇第二步確定十位,所有數(shù)字都可以,有種選擇;第三步確定個位,也是種選擇。共有種選擇。 也分三步完成第一步,百位上有4種選擇;第二步確定十位,除了百位上已使用的數(shù)字不能用,其他四個數(shù)字都可以,所以有4種方法;第三步確定個位,除了百位和十位上已使用過的數(shù)字,還有3種選擇根據(jù)乘法原理,可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)【答案】 由四

7、張數(shù)字卡片:0,2,4,6可以組成 _個不同的三位數(shù)?!究键c】復(fù)雜乘法原理 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4年級,1試千位選法有3種,百位3種,十位2種,個位1種,乘法原理3321=18個【答案】個用五張數(shù)字卡片:0,2,4,6,8能組成_個不同的三位數(shù)?!究键c】復(fù)雜乘法原理 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,一試,第8題443=48個【答案】個有五張卡,分別寫有數(shù)字1、2、4、5、8現(xiàn)從中取出3張卡片,并排放在一起,組成一個三位數(shù),問:可以組成多少個不同的偶數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 分三步取出卡片首先因為組成的三位數(shù)是偶數(shù),個位數(shù)

8、字只能是偶數(shù),所以先選取最右邊的也就是個位數(shù)位置上的卡片,有2、4、8三種不同的選擇;第二步在其余的4張卡片中任取一張,放在最左邊的位置上,也就是百位數(shù)的位置上,有4種不同的選法;最后從剩下的3張卡片中選取一張,放在中間十位數(shù)的位置上,有3種不同的選擇根據(jù)乘法原理,可以組成343=36個不同的三位偶數(shù)【答案】36有5張卡,分別寫有數(shù)字2,3,4,5,6如果允許6可以作9用,那么從中任意取出3張卡片,并排放在一起問: 可以組成多少個不同的三位數(shù)? 可以組成多少個不同的三位偶數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 先考慮6只能當(dāng)6的情況最后總的個數(shù)只要在這個基礎(chǔ)上乘以2就可以了,分

9、三步取出卡片: 第一步確定百位,有5種選擇;第二步確定十位,除了百位上已使用的數(shù)字不能用,其他4個數(shù)字都可以,所以有4種方法;第三步確定個位,除了百位和十位上已使用過的數(shù)字,還有3種選擇根據(jù)乘法原理,考慮6可以當(dāng)作9,可以組成個不同的三位數(shù) 先考慮6只能當(dāng)6的情況,分三步取出卡片首先因為組成的三位數(shù)是偶數(shù),個位數(shù)字只能是偶數(shù),所以先選取最右邊的也就是個位數(shù)位置上的卡片,有2、4、6三種不同的選擇;第二步在其余的4張卡片中任取一張,放在十位數(shù)的位置上,有4種不同的選法;最后從剩下的3張卡片中選取一張,放在百位數(shù)的位置上,有3種不同的選擇根據(jù)乘法原理,6只是6時,可以組成個不同的三位偶數(shù)這時候算所

10、求的三位偶數(shù)并不是簡單乘以2就可以的,因為如果個位是6的話變成9就不再是偶數(shù),多乘的還需要減去,個位是6一共有個不同的三位偶數(shù),所以,可以組成個不同的三位偶數(shù)【答案】 用1、2、3這三個數(shù)字可以組成多少個不同的三位數(shù)?如果按從小到大的順序排列,213是第幾個數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 排百位、十位、個位依次有3種、2種、1種方法,故一共有321=6種方法,即可以組成6個不同三位數(shù).它們依次為123,132,213,231,312,321故213是第3個數(shù)【答案】6個;第3個有一些四位數(shù),它們由4個互不相同且不為零的數(shù)字組成,并且這4個數(shù)字和等于12.將所有這樣的四位

11、數(shù)從小到大依次排列,第35個為 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 4個互不相同且不為0的數(shù)字之和等于12,只有兩種可能:1+2+3+6或者1+2+4+5根據(jù)乘法原理,每種情況可組成4321=24個不同的四位數(shù),一共可組成48個不同的四位數(shù)要求從小到大排列的第35個數(shù),即求從大到小排列的第14個數(shù)我們從千位最大的數(shù)開始往下數(shù):千位最大可以取6,而千位是6的數(shù)共有32=6個;接下來是5,千位為5的數(shù)也有6個所以第13個數(shù)應(yīng)為4521,第14個是4512,答案為4512【答案】4512對于由15組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),如果它的首位數(shù)字不是1,那么可以進行如下的一次置換操作:記首位數(shù)

12、字為k,則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對換例如,24513可以進行兩次置換:245134251312543可以進行4次置換的五位數(shù)有 個【考點】 【難度】星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,六年級,初賽,12題要進行次置換,設(shè)首位為不為,有種選擇,那么第次與置換的第位上的數(shù)可能為和,有種選擇;設(shè)與置換的為,現(xiàn)在在首位,此時要與置換的第位上的數(shù)可能為,有種選擇;設(shè)與置換的為,則此時在首位,那么此時與置換的數(shù)組成為,只有種選擇;設(shè)為,那么最后只能是與置換.所以要進行次置換共有種方法,那么共有個數(shù)可以進行四次置換.另解:也可以反過來考慮,進行次置換后,四個數(shù)分別在第,位上,那么只能在首位上,故經(jīng)過次置換后

13、得到的數(shù)必定是.與,中的某個數(shù)置換一次有種選擇,這個數(shù)與其它的個數(shù)置換有種選擇也可以得到符合條件的數(shù)有個.【答案】個將1332,332,32,2這四個數(shù)的10個數(shù)碼一個一個的劃掉,要求先劃位數(shù)最多的數(shù)的最小數(shù)碼,共有多少種不同的劃法? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】4星 【題型】解答 從小到大一步一步的分步劃,遇到出現(xiàn)岔路的情況分類考慮從位數(shù)最多的1332開始:劃掉1332中的1,剩下332,332,32,2四個數(shù);劃掉位數(shù)最多的332中的2,有2種不同的順序,劃掉后剩下33,33,32,2四個數(shù);劃掉32中的2,剩下33,33,3,2;兩個33中,各劃掉一個3,有42=8種劃掉的順序,之后剩

14、下3,3,3,2四個數(shù);劃掉2后,剩下3,3,3,有32=6種劃掉的順序根據(jù)乘法原理,共有不同的劃法:286=96種【答案】96種一個三位數(shù),如果它的每一位數(shù)字都不小于另一個三位數(shù)對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字,就稱它“吃掉”另一個三位數(shù),例如:532吃掉311,123吃掉123,但726與267相互都不被吃掉問:能吃掉678的三位數(shù)共有多少個?【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 即求百位數(shù)不小于6,十位數(shù)不小于7,個位不小于8的自然數(shù)百位數(shù)不小于6,有4種;十位數(shù)不小于7,有3種;個位不小于8,有2種由乘法原理,能吃掉678的三位數(shù)共有種【答案】如果一個四位數(shù)與一個三位數(shù)的和是,并且四位數(shù)和

15、三位數(shù)是由個不同的數(shù)字組成的,那么,這樣的四位數(shù)最多能有多少個? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 四位數(shù)的千位數(shù)字是由于這個四位數(shù)與三位數(shù)的相同位數(shù)上的數(shù)字之和小于,所以這個四位數(shù)與三位數(shù)的相同位數(shù)上的數(shù)字之和均等于這兩個數(shù)的其他數(shù)字均不能為四位數(shù)的百位數(shù)字可在、中選擇不能是9,有7種選擇,這時三位數(shù)的百位數(shù)字是;四位數(shù)的十位數(shù)字可在剩下的個數(shù)字中選擇,三位數(shù)的十位數(shù)字是四位數(shù)的個位數(shù)字可在剩下的個數(shù)字中選擇,三位數(shù)的個位數(shù)字是因此,根據(jù)乘法原理,這樣的四位數(shù)有個【答案】用19可以組成_個不含重復(fù)數(shù)字的三位數(shù);如果再要求這三個數(shù)字中任何兩個的差不能是1,那么可以組成_個滿足要

16、求的三位數(shù)? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 1 987=504個2504-6+5+5+5+5+5+5+66-76=210個;減去有2個數(shù)字差是1的情況,括號里8個數(shù)分別表示這2個數(shù)是12,23,34,45,56,67,78,89的情況,6是對3個數(shù)字全排列,76是三個數(shù)連續(xù)的123、234、345、456、567、789這7種情況【答案】504;210用數(shù)字各一個組成8位數(shù),使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)共有 種組成方法【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】走美杯中被三除余1和余2的數(shù)各有3個,被三整除的數(shù)有2個,根據(jù)題目條件可以推導(dǎo),符

17、合條件的排列,一定符合“被三除所得余數(shù)以3位周期”,所以8個數(shù)字,第1、4、7位上的數(shù)被3除同余,第2、5、8位上的數(shù)被3除同余,第3、6位上的數(shù)被3除同余,顯然第3、6位上的數(shù)被3整除,第1、4、7位上的數(shù)被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的數(shù)被3除可以余2可以余1,余數(shù)的安排上共有2種方法,余數(shù)安排定后,還有同余數(shù)之間的排列,一共有種方法【答案】電子表用表示點分,用表示點分,那么點到點之間電子表中出現(xiàn)無重復(fù)數(shù)字的時刻有_次 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】4星 【題型】解答 根據(jù)題意,在2點到10點之間,表示小時數(shù)的二位數(shù)字前一位只能為0,后一位可以為29;表示分鐘數(shù)的二位數(shù)字前一位

18、可以為05,后一位可以為09,再考慮到無重復(fù)數(shù)字,當(dāng)時間為2點多、3點多、4點多或5點多時,每一種情況下,表示分鐘數(shù)的兩位數(shù)字中前一位有種選擇,后一位數(shù)字有種選擇,此時有種可能,比如時,可以為1,3,4,5,就剩下種可以選擇所以這幾種情況下共有種類似分析可知,當(dāng)時間為6點多、7點多、8點多、9點多時,每種情況下都有種,共有種所以共種【答案】一種電子表在8時31分25秒時顯示為,那么從7時到8時這段時間里,此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有_個?!究键c】復(fù)雜乘法原理 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,五年級,初賽,第14題設(shè)A:BC是滿足題意的時刻,有A為8,B、D應(yīng)從0,1,2,3,

19、4,5這6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字,所以有種選法,而C、E應(yīng)從剩下的7個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字,所以有種選法,所以共有=1260種選法從8時到9時這段時間里,此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260個【答案】個模塊二、車票問題北京到上海之間一共有6個站,車站應(yīng)該準備多少種不同的車票?往返車票算不同的兩種 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 京滬線上中間六個站連北京上海兩站一共有8個站,不同的車票上起點站可以有8種,相同的起點站又可以配7種不同的終點站,所以一共要準備87=56種不同的車票【答案】一條線段上除了兩個端點還有6個點,那么這段線段上可以有多少條線段?【考點】復(fù)雜乘

20、法原理 【難度】3星 【題型】解答 將這條線段看作是京滬線,點是車站,那么,每一條線段都對應(yīng)兩張來回車票,所以線段的總數(shù)是562=28條線段【答案】28某次大連與莊河路線的火車,一共有6個停車點,鐵路局要為這條路線準備多少種不同的車票?【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 不同的車票上起點站可以有6種,相同的起點站又可以配5種不同的終點站,所以一共要準備種不同的車票【答案】北京到廣州之間有10個站,其中只有兩個站是大站不包括北京、廣州,從大站出發(fā)的車輛可以配臥鋪,那么鐵路局要準備多少種不同的臥鋪車票?【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 京廣線上一共有12個站,其中有四

21、個大站,臥鋪車的起點可以有四種,不同的起點站都可以配11個不同的終點站,所以鐵路局要準備411=44種不同的車票【答案】44模塊三、排隊問題奧運吉祥物中的個“福娃”取“北京歡迎您”的諧音:貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮如果在盒子中從左向右放個不同的“福娃”,那么,有 種不同的放法【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯可得種【答案】五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮,排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰,共有 種不同的排法?!究键c】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽,第6題貝貝在左、妮妮在右相鄰的排法有4321=24種

22、,貝貝在右、妮妮在左相鄰的排法也有4321=24種,總的排法54321=120種。所以貝貝和妮妮不相鄰的排法是120-224=72種?!敬鸢浮糠N一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目問: 如果4個舞蹈節(jié)目要排在一起,有多少種不同的安排順序? 如果要求每兩個舞蹈節(jié)目之間至少安排一個演唱節(jié)目,一共有多少種不同的安排順序? 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校將4個舞蹈節(jié)目視為1個節(jié)目,七個節(jié)目一起排列一共有個,但舞蹈節(jié)目還有種排列所以一共有種優(yōu)先安排將6個演唱節(jié)目順序,一共有種方法,然后將4個舞蹈節(jié)目按順序安插到6個演唱節(jié)目前后不同位置,包括首尾一共有個位置可供4個

23、舞蹈節(jié)目安插,共有個安插方式,所以一共有種排列方式【答案】新年聯(lián)歡會共有8個節(jié)目,其中有3個非歌唱類節(jié)目。排列節(jié)目單時規(guī)定,非歌唱類節(jié)目不相鄰,而且第一個和最后一個節(jié)目都是歌唱類節(jié)目。則節(jié)目單可有 種不同的排法?!究键c】復(fù)雜乘法原理 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,二試,第10題方法一:乘法原理:第一步:先從5個歌唱節(jié)目里選出2個排在最左面和最右面,共有種;第二步:將非歌唱類打包當(dāng)成一個節(jié)目,此時中間共需排列3+1,對他們進行排列有:種;第三步:對打包后的非歌唱類節(jié)目進行全排列,有種分步,共有:種。方法二:第一步:將5個歌唱類節(jié)目進行全排列,有種;第二步:使用插板法,中間有

24、4個空格,將相鄰的3個非歌唱類節(jié)目插入,這3個非歌唱類節(jié)目也要進行全排列,則有:則有種。所以共有:種【答案】種爸爸、媽媽、客人和我四人圍著圓桌喝茶。若只考慮每人左鄰的情況,問共有多少種不同的入座方法?【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽,第4題方法一:第一人落座后,考察左鄰的人,有3種選擇,第二人落座后,考察左鄰的人有3種選擇,所以共有32=6種選擇。方法二:第一人落座有4個位置可選,第一人落座后,坐在他的左面的有三種情況,而每種情況另一人的左鄰又有兩種,所以共有43224種方法,但由于是圓桌,只考慮相鄰情況,不考慮具體坐在哪一面,所以只有2446種入座方法。

25、【答案】種四對夫婦圍一圓桌吃飯,要求每對夫婦兩人都要相鄰,那么一共有多少安排座位的方法?如果某種排法可以通過旋轉(zhuǎn)得到另一種排法,那么這兩種排法算作同一種 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 方法一:事實上如果沒有括號中的條件,那么所得的答案是原題答案的八分之一,因為符合原題的所有不同排法都通過旋轉(zhuǎn)可以得到8種各不相同的安排方法所以可以先求出改掉括號中條件的題目答案對于改編后的題,顯然所有的安排方法分為兩大類,如右圖所示,每個橢圓中是一對,對于其中的一類,例如右圖,第一步,確定1號位的人選:8種,那么2號位只能是他她的妻子丈夫;第二步確定3號位的人選:6種,那么4號位只能是坐3號位的妻子或丈夫,如此,對于右圖可以有種排法,同理左圖也有384種排法,一共是768種排法那么對于有括號中條件的題目一共有種排法所以用的小長方形形覆蓋的方格網(wǎng),共有13種不同的蓋法方法二:由于括號中的條件讓人很為難,對于一種新的排法,還要將它旋轉(zhuǎn),看它是否和之前的排法是否相同,當(dāng)然也可以將所有排法都轉(zhuǎn)到一個特殊的角度,以判斷這些排法是否有相同的,所以可以定義一個特殊角度:先將四對夫婦編號,然后規(guī)定對于每一種排法1號夫婦面南坐是它的特殊角度,那么如果兩種排法都轉(zhuǎn)到特殊角度后,還不完全一樣,那么這兩種排法就無論如何也不能通過旋轉(zhuǎn)得到相同的排法,所以只

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