廣義積分的收斂判別法廣義積分收斂判別法

1、上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算,在實際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復(fù)雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數(shù)值計算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件積分收斂，否則其結(jié)果毫無意義。因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1(Cauchy收斂原理)fx)在a,)上的廣義積分+，f(x)dxa收斂的充分必要條件是：0,存在A0,使得b,bA時，恒有|b/f(x)dx1b證明：對lim+,f(x)dx=0使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論.bb同樣對瑕積分bf(x)dx(b為瑕

2、點)，我們有a定理9.2(瑕積分的Cauchy收斂原理)設(shè)函數(shù)彳兀)在a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a,b-上常義可積，則瑕積分bf(x)dx收斂的a充要條件是：0,30,只要0n/n，就有|b_nf(x)dx|a，均有xT+aIA/f(x)dxIA/lf(x)IdxAA因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理.定理9.3如果廣義積分席f(x)dx絕對收斂，則廣義積分席f(x)dx必aa收斂它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質(zhì)下面我們先介紹當(dāng)被積函數(shù)非負(fù)時，廣義積分收斂的一些判別法比較判別法：定理9.4(無限區(qū)

3、間上的廣義積分)設(shè)在a,+g)上恒有0f(x)k(x),(k為正常數(shù))則當(dāng)席(x)dx收斂時，席f(x)dx也收斂；aa當(dāng)席f(x)dx發(fā)散時，(x)dx也發(fā)散.aa證明：由Cauchy收斂原理馬上得結(jié)論成立對瑕積分有類似的結(jié)論判別法定理9.5設(shè)f(x),g(x)均為a,b)上的非負(fù)函數(shù)，b為兩個函數(shù)的奇點，如存在一個正常數(shù)k,使0f(x)kg(x),Vxa,b),貝U如bg(x)dx收斂，則bf(a)dx也收斂。aa如bf(x)dx發(fā)散，則bg(x)dx也發(fā)散.aa比較判別法在實際應(yīng)用時，我們常常用下列極限形式定理9.6如果fx),g(x)是a,+)上的非負(fù)函數(shù)，且lim1,則XT燉g(X)

4、(1)如果0l+,且卜g(x)dx收斂，則積分卜f(x)dx也收斂.aa如果0l,且卜g(x)dx發(fā)散，則積分卜f(x)dx也發(fā)散.aa證明：如果limfX)l豐0,則對于*0(1*0),存在A,xTg(x)當(dāng)XA時，0lf(X)l+g(x)即(l)g(x)f(x)(l,)g(x)成立.顯然卜f(x)dx與a卜g(x)dx同時收斂或同時發(fā)散，在l=0或l=時，可類似地討論.a使用同樣的方法，我們有定理9.7對以b為唯一瑕點的兩個瑕積分Jbf(x)dx與fbg(x)dx如果aaf(x),g(x)是非負(fù)函數(shù)，且liml,貝UxTbg(x)當(dāng)0l1,那么積分卜f(x)dx收斂，如xpafxft，p1

5、,則積分卜f(x)dx發(fā)散.xpa其極限形式為定理9.9如limxpf(x)l(0l,p1),則積分卜f(x)dx收斂如limxpf(x)，l,而0l+,p0,n0)11+xn解：(1)因為01時，積分+S11+xndx收斂.當(dāng)n_m1時,積分J+二11+xndx發(fā)散.對于瑕積分，使用b1dx作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別a(xa)p法(1)如00),pc(x一a)pa(c0),p1,則!bf(x)dx發(fā)散.a瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為x-a,如0k,p1,定理9.11設(shè)lim(xa)pf(x)=k則Af(x)dx收斂a那么Af(x)dx發(fā)散.例9.9判別下列瑕積分的斂散性。dx

6、(1)n0(1-X2)(1k2X_)(k20)解：(1)1是被積函數(shù)的唯一瑕點dx1因為lim(1x)2xtI-2X2)2(1-k2)1由p_知瑕積分收斂.兀0電都是被積函數(shù)的瑕點先討論J4dx,由limxposinpxcosqxxT0+sinpxcosq知：當(dāng)p1時，瑕積分J4收斂；當(dāng)pn10sinpxcosqx+_1時,瑕積分aJ_dx發(fā)散.0sinpxcosqx再討論月dx匹sinpxcosqx4兀、1因lim(x)p1兀2sinpxcosqxxT2所以當(dāng)q1時，瑕積分tdX收斂，三SinpxCOSqx4當(dāng)q，1時，瑕積分2dx發(fā)散.匹sinpxcosqx4綜上所述，當(dāng)p1且q1時，瑕積

7、分Idx收斂；其他情況0sinpxcosqx發(fā)散例9.10求證：若瑕積分(x)dx收斂，且當(dāng)x0+時函數(shù)fx)單調(diào)趨0向于+，則limxf(x)=0.x0+證明：不妨設(shè)Vxg(0,1,f(x)，0,且心)在(0,1)上單調(diào)減少。已知(x)dx收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有0V*0,那0(1),V0 x有xf(t)dts,x2從而0y(x)xf(t)力s2或0 xf(x)0),當(dāng)九；時收斂0 x(1一cosx)九31當(dāng)九,3時發(fā)散.X3，(1cosx)X3，Ix2丿=limxtO+1(1cosx=2,證明:/lim=limxtO+x(lCOSx)pXT0+11所以當(dāng)3，1時，即，_時，瑕積分收斂.當(dāng)3

8、，1,即，_時，33瑕積分發(fā)散前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果定理9.12（積分第二中值定理）設(shè)g（x）在a,b上可積，fx）在a,b上單調(diào)，則存在Ega,b使Jbf(x)g(x)dx=g(a)f(x)dx+g(b)f(x)dxaaa為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況引理9.1設(shè)fx）在a,b上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g（x）在a,b上可積,則存在cga,b，使bf(x)g(x)dx=f(a)fcg(x)dxaa證明：作輔助函數(shù)中(x)=f(a)卜g(t)dt,對a,b的任一分法aP:a=xxx=b012n我們

9、有bf(x)g(x)dx=牙Jx,f(x)g(x)dxaxi=1i-1由此得到i,1i,0)xig(x)dx|xi-1i,1i,0=|為叫f(x)f(x)g(x)dx|xi-1i，1i1XxiIf(x)一f(x)IIg(x)Idxxi-1i，1i1L為(f)x.iix上的振幅，從ii,1這里L(fēng)是Ig(x)|在a,b的上界，w(f)是f(x)在x,ii1這個估計式可知，當(dāng)Pp0時,應(yīng)當(dāng)有為f(xi,1)xig(x)dxxi1bf(x)g(x)dxai,1i,0i,1i,0我們來證明minx日a,b中(x)Xf(xi1i,1)xig(x)dxmax中(x)xi1x日a,b為此，引入記號G(x)=x

10、g(t)dta并作如下變換Xf(xii,1)xig(x)dxxi1=Xf(xi1)G(xi)一G(xi1)i,1=Xf(xi1)G(xi)-Xf(xi1)G(xi1)i,1i,1=Xf(x)G(x)-Xf(x)G(x)i1iii(G(x)，G(a)，0)0=Xf(x)G(x)-Xf(x)G(x)TOC o 1-5 h zi1iiii，1i，1=Xf(x)f(x)G(x)+f(x)G(x)i1iinni,1因為f(x1)f(x)0,f(x)0,i1in所以工f(x小g(x)dxi-1xxi，1i-1=Xf(x)f(x)G(x)+f(x)G(x)i-1iinni,1Xf(x.)f(x)+f(x)m

11、inG(x)i1ini_1x日a,b=f(a)minG(x)x日a,b同樣可證Xf(x.)Jxig(x)dxf(a)maxG(x)i=1i1xi-1x日a,b我們證明了不等式f(a)minG(x)Xf(x_小g(x)dxf(a)maxG(x)x日a,bi，ii1xi-ix日a,bmin中(x)Xf(x)卜g(x)dxmax中(x)x日a,bi，ii-1xi-ix日a,b現(xiàn)令I(lǐng)plT0,取極限，就得到min中(x)bf(x)g(x)dx證明：(1)V*0,設(shè)Ig(x)IM，Vx,a,),因卜5f(x)dx收斂，由aCauchy收斂原理，3Aa,使VA,AA時，有010IJA1f(x)dxI二a2

12、M由積分第二中值定理，我們得到IA1f(x)g(x)dxIIg(A)l丨ff(x)dxI+1AA.+_=22再由Cauchy收斂原理知,席f(x)g(x)dx收斂a(2)設(shè)M為F(A)在a,+)上的一個上界，則VA,合a,顯然有,Aif(x)dxlA0時，有兀卄00g(x)l4M于是，對VA,AA有i0I,Af(x)dxIg(A)I-1Kf(x)dxI+1g(A)l-1,Aif(x)dxIAA1g2M-1g(A)I+2M-1g(A)I._+_=2由Cauchy收斂原理知,席f(x)g(x)dx收斂a例9.12討論廣義積分卜0蘭dx的斂散性，1x1g(x)=cosx解：令fx)=x則當(dāng)xT+時，

13、x)單調(diào)下降且趨于零，F(xiàn)(A)=,Acosxdx=sinAsinl在a,)上有界.1由Dirichlet判別法知卜dx收斂，1x另一方面IcosxIcos2x1+cos2xxxa因+dx發(fā)散，我C0S2xdx收斂12x12x從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分我C0S2xdx發(fā)散12x由比較判別法知我|cosx1dx發(fā)散，1x所以我cosxdx條件收斂1x例9.13討論廣義積分比xarctanxdx的斂散性.1x解：由上一題知，廣義積分血dx收斂，而arctanx在a,+g)1x上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知,g竺arctanxdx收斂。1x另一方面，當(dāng)xg3,g)時，有cosxcosxarctanxI

14、II前面已證,g|cosx1dx發(fā)散1x,丄、r.、丄-丄IcosxarctanxI7八的十由比較判別法知J,gdx發(fā)散，所以1xf,cosxarctanx7八匚人匚戶dx條件收斂.1x對瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個條件之一滿足，貝ijbf(x)g(x)dx收斂：(b為唯a一瑕點)(1)(Abel判別法)bf(x)dx收斂，g(x)在a,b)上單調(diào)有界(Dirichlet判別法)F()=Jb，f(x)dx在a,b)上有界，g(x)a在(0,b-a上單調(diào)且limg(x)=0.xb證明:(1)只須用第二中值定理估計b，aa讀者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的證明(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的證明1(0p2)的斂散性sin例9.14討論積分J1Idx0 xp解：對于0p1,因為1xp1sinxxp由上dx收斂知0 xp1sinJ1xdx0 xp絕對收斂斂對于0p2,因為函數(shù)f(x)=x2-p,當(dāng)x0+時單調(diào)趨于0,而函數(shù)1sin_x2g(x)=-滿足所以積分,1.1sin_xdxxp|cosl-cosl211.sinsin11xdxJ1x2-pxdx收斂.0 xp0 x2但在這種情況下,1sin,1xdx是發(fā)散的,0 xp事實