高中數(shù)學(xué)必修二 8.6 空間直線、平面的垂直（精講）(含答案)

1、8.6 空間直線、平面的垂直(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點(diǎn)一 線面垂直【例1】(2021廣東仲元中學(xué)高一期末)如圖，多面體中，是菱形，平面，且.(1)求證：平面；(2)求多面體的體積.【答案】(1)見詳解(2)【解析】(1)證明：如圖所示，作與的交點(diǎn)，平面且平面，又是菱形，又，平面，平面，平面.(2)如圖所示，作的中點(diǎn)，連接，是菱形，又平面，又，平面，四棱錐的體積，平面，三棱錐的體積，因此多面體的體積.【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，.求證：(1)平面；(2)平面.【答案】(1)證明見解析 ；(2) 證明見解析.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，平面，平

2、面，所以，平面；(2)連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，而面，面，所以面.2(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于的點(diǎn)(1)求證：平面；(2)若，求圓柱的側(cè)面積【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)底面，平面，是底面的直徑，平面，平面；(2)在中，由，得：，在中，則圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓柱的側(cè)面積為3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四棱錐中，平面.(1)求證：平面；(2)若為線段的中點(diǎn)，且過三點(diǎn)的平面與線段交于點(diǎn)，確定點(diǎn)的位置，說明理由；并求三棱

3、錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)是中點(diǎn)，理由見解析，.【解析】(1)證明：，平面，平面，又平面，平面；(2)點(diǎn)是中點(diǎn)，理由如下：，平面，平面，平面，又平面平面，平面，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)；平面，為中點(diǎn)，到平面的距離，為中點(diǎn)，.考點(diǎn)二 面面垂直【例2】(2021陜西師大附中高一月考)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是正方形，棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)(1)證明：PA平面BDE；(2)證明：平面BDE平面PBC【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】證明：(1)連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO底面ABCD是正方形，O為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，

4、OEPA，OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE；(2)PDDC，E是PC的中點(diǎn)，DEPC，PD平面ABCD，平面ABCD，PDAD，又由于ADCD，PDCDD，故AD平面PCD，又平面PCD，所以ADDE，又由題意得ADBC，故BCDE，于是，由BCPCC，DEPC，BCDE，可得DE平面PBC，又因平面BDE，所以平面BDE平面PBC【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA14，點(diǎn)E、F、M、N分別為棱CC1、BC、BB1、AA1的中點(diǎn)()求三棱錐EAFM的體積；()求證：平面B1D1E平面C1MN【答案】()；(

5、)證明見解析.【解析】()因?yàn)锳B側(cè)面BCC1B1，所以AB平面EFM，又M、E分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，所以四邊形MBCE為正方形，所以MEF的面積為SMEFMEMB222所以三棱錐AEFM的體積為V三棱錐AEFMSMEFAB22 .()證明：長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，四邊形BCC1B1是矩形，因?yàn)镋、M分別為棱CC1、BB1的中點(diǎn)，且BB14，B1C12，所以四邊形MEC1B1是正方形，所以C1MB1E，又N、M分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，所以NM平面BCC1B1，又B1E平面BCC1B1，所以NMB1E，又因?yàn)镹MC1MM，NM，C1M平面C1MN，所以B1E平面C1MN，又

6、B1E平面B1D1E，所以平面B1D1E平面C1MN2(2021全國(guó)高一單元測(cè)試)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC1和BD1相交于點(diǎn)O，E為CC1的中點(diǎn)()求證：OE平面ABCD；()若平面BDD1B1平面ABCD，求證：D1EBE【答案】()證明見解析；()證明見解析.【解析】()如圖，連接AC因?yàn)锳BC1D1，ABC1D1，所以AC1，BD1相互平分，所以O(shè)為BD1和AC1的中點(diǎn)又因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn)，所以O(shè)E為ACC1的中位線，所以O(shè)EAC又因?yàn)镺E平面ABCD，AC平面ABCD，所以O(shè)E平面ABCD()因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD因?yàn)槠矫?/p>

7、BDD1B1平面ABCD，平面BDD1B1平面ABCDBD，AC平面ABCD，所以AC平面BDD1B1因?yàn)锽D1平面BDD1B1，所以ACBD1又因OEAC，所以O(shè)EBD1因?yàn)镺BOD1，所以D1EBE3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面(1)證明：平面；(2)設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面平面【答案】(1) 證明見解析；(2) 證明見解析【解析】證明：(1)取的中點(diǎn)，連接，由于是四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面(2)因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面，所以，因?yàn)椋?，又平面，所?/p>

8、平面，又平面，所以平面平面考點(diǎn)三 線線垂直【例3】(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn).證明:PCBE.【答案】證明見解析【解析】如圖，連接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PA=AB=CD，AE=DE，所以PE=CE，即PEC是等腰三角形.又F是PC的中點(diǎn)，所以EFPC.又BP=2=BC，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，所以BFPC.又BFEF=F，所以PC平面BEF.因?yàn)锽E平面BEF，所以PCBE.【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，四邊形為正方形，平面，過點(diǎn)且垂直于的

9、平面分別交于點(diǎn)求證：【答案】證明見解析【解析】平面，平面，；四邊形是正方形，；，平面，平面，又平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，2(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別在線段和上，現(xiàn)將矩形沿折起，記折起后的矩形為，且平面平面(1)求證：平面；(2)若，求證：【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅味际蔷匦危?，所以四邊形是平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，平面所以平?2)如圖，連接因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面且，所以平面，所以又，所以四邊形為正方形，所以又，所以平面，所?(2021全國(guó)高一單元測(cè)試)如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，且.(

10、1)證明：平面；(2)若G為上的動(dòng)點(diǎn)，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)如圖，連接交于點(diǎn)O，取的中點(diǎn)F，連接.四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，且.，且，且，四邊形為平行四邊形，.又平面平面，平面.(2)如圖，連接，.平面平面，平面平面.，平面平面平面，平面.又平面平面，平面.為上的動(dòng)點(diǎn)，平面.考點(diǎn)四 線線角【例4】(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，則異面直線B1C1與AC所成角的大小為( )ABCD【答案】A【解析】因?yàn)锽CB1C1，所以ACB(或它的補(bǔ)角)為異面直線B1C1與AC所成角，因?yàn)椋珹B=BC=1，所

11、以，所以異面直線B1C1與AC所成角為故選：A.【一隅三反】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在三棱錐中，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于A30B45C60D90【答案】B【解析】如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，且，為EF與AC所成的角又，又，為等腰直角三角形，即EF與AC所成的角為45故選：B2(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，BD的中點(diǎn)，若AD與BC所成的角為60，則FEG為( )A30B60C120D60或120【答案】D【解析】如圖：因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，AC，BD的中點(diǎn)，所以,由于

12、AD與BC是異面直線，根據(jù)異面直線所成角的定義可知，F(xiàn)EG為異面直線AD與BC所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)锳D與BC所成的角為60，所以FEG為60或120.故選：D.3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)AA1與C1D1所成的角的度數(shù)為_(2)AA1與B1C所成的角的度數(shù)為_【答案】90 45 【解析】(1)因?yàn)锳A1DD1，所以DD1C1即為所求的角因?yàn)镈D1C190，所以AA1與C1D1所成的角為90.(2)因?yàn)锳A1BB1，所以BB1C即為所求的角因?yàn)锽B1C45，所以AA1與B1C所成的角為45.故答案為：90；45.考點(diǎn)五 線面角【例5】(2021天

13、津高一期末)如圖，三棱柱，側(cè)面底面，側(cè)棱，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且滿足，.(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】(1)證明：設(shè)，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，則四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，故平面?2)證明：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面底面，所以平面，又平面，故?3)解：因?yàn)椋?，平面，故平面，連接，則為在平面內(nèi)的射影，所以為與平面所成的角，因?yàn)?，且，所以，在中，所以，則，所以，故，所以直線與平面所成角的余弦值為.【一隅三反】1(2021全

14、國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-ABC中，底面ABC是正三角形，AA底面ABC，且AB=1，AA=2，則直線BC與平面ABBA所成角的正弦值為_.【答案】【解析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，BD.底面是正三角形，CDAB.AA底面ABC，AACD.又AAAB=A，CD側(cè)面ABBA，故CBD是直線BC與平面ABBA所成角.又等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，CD=，在中，BC=，故直線BC與平面ABBA所成角的正弦值為.故答案為：.2(2021廣東肇慶市高要區(qū)第二中學(xué)高一月考)如圖，三棱錐PABC中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90，ACPB2(1)求證：ACPB；(2)求P

15、B與平面PAC所成的角【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖所示：取AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO在PAC中，PAPC，O為AC的中點(diǎn)，POAC，在BAC中，BABC，O為AC的中點(diǎn)，BOAC，OPOBO，OP，OB平面OPB，AC平面OPB，PB平面POB，ACBP (2)在直角三角形ABC中，由AC2，O為AC的中點(diǎn)，得BO1.在等腰三角形APC中，由APC120，得PO，又PB，PO2+BO2PB2，即POBO，又BOAC，ACOPO，BO平面ABC， 即為PB與平面PAC所成的角在中，因?yàn)?，所以，所以PB與平面PAC所成的角大小為.3(2021山西柳林高一月考)如圖，在邊

16、長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將，分別沿，折起，使，三點(diǎn)重合于點(diǎn)(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)證明：由題意，根據(jù)折疊前后，可得，又，所以平面，又平面，所以；(2)取中點(diǎn)，連接，由折疊前后知，又，平面，在面的射影在上， 則即為直線與平面所成的角，由(1)可得，所以為直角三角形，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，可得，又，即直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)六 二面角【例6】(2021江蘇金陵中學(xué)高一月考)如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為正三角形，且，、分別是，的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求銳二面角的大小【答案】(1)證明見解析；(2)【解析

17、】證明：(1)三棱柱中，側(cè)棱平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，又，平面平?2)因?yàn)?，面，所以面，面所?過點(diǎn)作，連結(jié)，平面，平面，平面，就是二面角的平面角，由題意得，所以銳二面角為【一隅三反】1(2021廣東白云高一期末)如圖，在三棱錐中，則二面角的余弦值為_.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以即為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，而，在中，由余弦定理可得，故答案為?2(2021浙江臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校高一月考)如圖，四面體中，已知，(1)求證：；(2)求二面角的大小【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?所以平面，所以；(2)由