線性代數(shù)教案第5章

1、15. 1 基本概念與計(jì)算5. 3 n維向量空間的正交化5. 4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化第五章 特征值與特征向量5. 2 矩陣的相似對(duì)角化2一、特征值與特征向量的定義三、特征值與特征向量的計(jì)算 5.1 基本概念與計(jì)算 二、特征值與特征向量的性質(zhì)3一、特征值與特征向量的定義例 矩陣4定義設(shè)A是n階方陣，成立， 是方陣A的一個(gè)特征值， 是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值 的一個(gè)特征向量.若數(shù) 和n維非零列向量 ，使得例 則稱5二、 性質(zhì)6特征子空間7三、特征值與特征向量的計(jì)算8稱為矩陣A的特征方程,定義數(shù)是關(guān)于 的一個(gè)多項(xiàng)式，稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式,特征方程91011解第一步：寫出矩陣A的特征方程，求出特征值

2、.例 求矩陣的特征值和全部特征向量.特征值為第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線性方程組求非零解.12齊次線性方程組為當(dāng) 時(shí)，系數(shù)矩陣自由未知量令 得基礎(chǔ)解系常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.13齊次線性方程組為常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.得基礎(chǔ)解系14解練習(xí)15系數(shù)矩陣1617 特征值的重?cái)?shù)與其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)的關(guān)系:(不證,知道結(jié)論即可)18例 設(shè) 求A的特征值與特征向量. 解19202122例 求矩陣的特征值和全部特征向量.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為得基礎(chǔ)解系為23常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.得基礎(chǔ)解系為常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.對(duì)角矩陣以及三角形矩陣的特征值為其主對(duì)角元.24 求數(shù)量矩陣 的特征值和特征向量.解而所有n維非零向量都是此數(shù)量矩陣的特征向量，即特征向量可表示為練習(xí)25例 設(shè)矩陣 A 可逆, 且 解26例27證思考28設(shè) A2 = A , 證明：A 的特征值為 0 或 1 .證練習(xí)29例 設(shè)A是奇數(shù)階實(shí)矩陣，證30例 設(shè) 為矩陣 的特征值, 求 的特征值；若 可逆，求 的特征值.解 31解練習(xí)32定理 設(shè)n階方陣 的n個(gè)特征值為 則稱為矩陣A的跡.（主對(duì)角元素之和）注 A可逆的條件.33證明證畢.34設(shè)A為3階方陣, A的特征值分別為 -1、4、2, 求例 解 35小 結(jié)1. 特征值與特征向量的定義2.