復(fù)變和積分課件函數(shù)

1、第二章函數(shù)2.1函數(shù)2.2 初等函數(shù)2.1函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義 2.1設(shè)函數(shù) w f (z) 的定義域為區(qū)域 D ， z0 D ，z0 z D ，若f ( z0 z) f ( z0 )zlimz 0存在，則稱 f (z) 在 z0 可導(dǎo)或可微，且 f (z) 在 z0 的導(dǎo)數(shù)為f (z0 z) f (z0 )z) dwf (zlim0dzz 0z z0注意：（1） f (z) 在 z0 可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為 f ( z0 ) 等價于對任意 0 ，0 ，當(dāng)0 | z | 存在時有f ( z0 z) f (z0 ) f ( z ) 0z（2）若 f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點可導(dǎo)，則稱導(dǎo)。f (

2、z) 在 D 內(nèi)可（3）若 f (z) 在 z0 可導(dǎo)，則f (z) 在 z0 連續(xù)。求 f ( z) zn （n 為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù)例對于z ，有解( z z)n znf ( z z) f ( z) limlimzk nkzk nkz 0z 0nnC z(z) znkC z(z)knn lim lim k 0z k 1zz 0z 0nlim C z limC z1 nk nk(z)k 11 n zn1nnz 0z 0k 2f (z) zn nzn1 .f ( z) zn 在即面處處可導(dǎo)且g(z) z 的可導(dǎo)性例對于z ， z x iy ，有解g ( z z) g ( z) z z z z x

3、iyzzzx iyx iy lim x 1 ，lim因為x0,y 0 x iyx0 xx iy lim iy 1limx 0,y 0 x iyy 0iyg (z z) g (z) lim z所以 lim不存在，即 g(z) z 在zz 0 zz 0面處處不可導(dǎo)。h( z) | z |2 的可導(dǎo)性例對于z ， z x iy ，有解h( z z) h(z) ( z z)( z z) zz z z z zzzz因為 lim z 0 ， lim z 不存在，所以z 0 zz 0當(dāng) z 0 時， lim h( z z) h( z)不存在，即當(dāng) z 0時zz 0h( z) | z |2 不可導(dǎo)；當(dāng) z 0

4、 時，lim h( z z) h( z) 0 ，即h( z) | z |2 在 z 0zz 0可導(dǎo)且h(0) 0 .求導(dǎo)公式：（1） C 0 （ C 為常數(shù)）（2） zn nzn1 （n 為正整數(shù)）（3） f ( z) g ( z) f ( z) g ( z)（4） f (z) g (z) f ( z) g ( z) f ( z) g(z) f (z) g (z) f (z) f (z)g(z)（5） g ( z) ， g (z) 0 g ( z)2 f (z0 ) 可導(dǎo)f (z) 在 z0 可導(dǎo)， (w) 在 w0（6）若 w f (z) 在 z0 可導(dǎo)，且則復(fù)合函數(shù)d dz ddw dw

5、(w ) f ( z )；00dzz z0w w0z z0 f (z0 )（7）若 w f (z) 在 z0 可導(dǎo)，且f ( z0 ) 0 ，則在 w0的某鄰域內(nèi)存在單值反函數(shù) z (w) ，(w) 在 w0 可導(dǎo)且1(w ) ) .0f ( z02.函數(shù)若函數(shù) f (z) 在 z0 的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱2.2定義f (z) 在 z0區(qū)域 D 內(nèi)注意：；若 f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點。f (z) 在，則稱f (z) 在 z0 可導(dǎo) f (z) 在 z0（1）（2）（3）f (z) 在 z0 可導(dǎo) f (z) 在 z0f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)可導(dǎo) f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)。例（1）

6、 f ( z) zn （n 為正整數(shù)）在析；面處處可導(dǎo)，處處解（2） g(z) z 在面處處不可導(dǎo)，處處不；（3） h( z) | z |2 ，當(dāng)且僅當(dāng) z 0 時h( z) 可導(dǎo)， h( z) 在面處處不；1（4） ( z) ，當(dāng) z2 1 0 時(z) 可導(dǎo)，從而(z) 在z 2 1面除 z i 外處處。定理 2.1（1）區(qū)域 D 內(nèi)為零）仍函數(shù)的和、差、積、商（分母不；（2）注意：函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是函數(shù)。（1）多項式函數(shù)在面處處；（2）有理分式函數(shù)在不含分母零點的區(qū)域內(nèi)。3.條件f (z) u(x , y) iv(x , y) 定義于區(qū)域 D，定理 2.2設(shè)函數(shù)D 內(nèi)任一點 z x iy

7、 可導(dǎo)的充要條件是u(x , y) 、f (z) 在則v(x , y) 在(x , y) 可微并滿足方程u v ， u vxyyxf (z) u(x , y) iv(x , y) 定義于區(qū)域D，定理2.3f (z) 在 D 內(nèi)設(shè)函數(shù)的充要條件是u(x , y) 、v(x , y) 在 D方程則并滿足u v ， u vxyyx注意：f (z) u(x , y) iv(x , y) 在 z x iy 導(dǎo)數(shù)為（1）函數(shù)f (z) u i vxx方程適當(dāng)變形；并還可用（2）當(dāng)u(x , y) 、v(x , y) 一階偏導(dǎo)連續(xù)時，u(x , y) 、v(x , y)可微，但反之不真。例若 f (z) 在

8、區(qū)域 D 內(nèi)處處為零，則 f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)為常數(shù)。g(z) z 的可導(dǎo)性及例性。解g (z) z x iy ， u x ， v y 1 ， v 1 ，uxyu vxy面處處不可導(dǎo)，處處不即 g (z) 在。h( z) | z |2 的可導(dǎo)性及例性。解 y2 ， v 0h( z) | z |2 x2 y 2 ， u x2 2 x ， u 2 y ， v v 0uxyxy以上各一階偏導(dǎo)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng) x y 0 時有u v ， u vxyyx即當(dāng)且僅當(dāng) z 0 時h( z) 可導(dǎo)， h( z) 在面處處不。f ( z) ex (cos y i sin y) 的可導(dǎo)性及u ex cos y

9、 ， v ex sin y例性。解 ex cos y ， u ex sin yuxysin y ， v ex cos yv exxy面連續(xù)，且滿足以上各一階偏導(dǎo)在u v ， u vxyy面處處可導(dǎo)，處處xf (z) 在即，且f (z) u i v ex (cos y i sin y) f (z)xx2.21. 指數(shù)函數(shù)初等函數(shù)對 z x iy ，定義指數(shù)函數(shù)exi y ex (cos y i sin y) 0 ， | ez | ex性質(zhì)：（1）對任意 z x iy ， ez； ex ；（2）當(dāng) Im z 0 時， ez，且(ez ) ez（3） w ez在面單值并處處；， ez1 z2 ez1

10、 ez2（4）對任意復(fù)數(shù) z、 z；12（5） ez 2k i ez2. 對數(shù)函數(shù)滿足 ew z 的 w 稱為 z 的對數(shù)，記為 w Lnz .令 w u iv ， z | z | ei Arg z，則eu iv eueiv | z | ei Arg z即u ln | z | ， v Arg z ，因此w Lnz ln | z | i Arg zLnz 的主值 ln z ln | z | i arg z ，且Lnz ln z 2k i注意：Lnz 為多值函數(shù)，但 Lnz 的主值 ln z 卻為單值函數(shù).(k 0 , 1,)Ln1 ln1 i Arg1 2k iLn1 的主值 ln1 0Ln(1

11、) ln | 1| i Arg(1)(k 0 , 1,)例 ln1 i( 2k ) (2k 1) i(k 0 , 1,)Ln(1) 的主值 ln(1) i| i ArgiL ln1 i 2k i 2k (k 0 , 1,) 2 2ln i i2Lni的主值性質(zhì)：（1） Ln(z1 z2 ) Ln z1 Ln z2Ln z1 Ln z Ln z z （2）122 （3）當(dāng)整數(shù)n 1 時 Ln(zn ) nLnzLnn z 1 Lnzn（4）Lnz 的連續(xù)性及性（1） Lnz 的主值ln z ln | z | i arg z面除原點及負實軸外處處連續(xù)、處處在且：1(ew )1ew 1zln z （

12、2） Lnz 的其它分支Lnz ln z 2k i(k 0 , 1,)面除原點及負實軸外處處連續(xù)、處處也在。3. 冪函數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) ，對 z 0 定義冪函數(shù)w z e Ln z其中Lnz ln z 2k i ln | z | i arg z 2k i(k 0 , 1,)即z e Ln z e ln z e 2k i(k 0 , 1,)補充定義：當(dāng) 0 時， 0 0注意：（1）當(dāng) 為整數(shù)時z e Ln z e ln z e 2k i e ln z即w z為單值函數(shù)，特別地，當(dāng) 為正整數(shù)n 時zn en ln z eln z ln z ln z eln z eln z eln z z zznp（2）若

13、為有理數(shù)（ p 、 q 為互質(zhì)整數(shù)且 q 0 ），則qpp ln|z| eqp (arg z 2k )i eqz p ln|z| e qppqk(arg z 2k ) cosiarg z 2k p p ln|z| e qarg z 2k cosiq當(dāng) k 0 ,1,q 1時， z取 q 個不同的值； 1n特別地，當(dāng)（ 為正整數(shù)）時narg z 2knarg z 2k 1 ln|z|en1z n cosi sinnarg z 2knarg z 2k 1 cosi sin| z |nnzn(k 0 ,1, n 1)（3）當(dāng) 為有理數(shù)以外的復(fù)數(shù)時， z 有無窮多個值：z e Ln z e ln z

14、e 2k i(k 0 , 1,)并稱 e ln z 為 z例的主值。2Ln1 ei 2k1 e22(k 0 , 1,)i i2k i 2k 2 2 ee (k 0 , 1,)z的性由于 Lnz 的各個分支Lnz ln z 2k i面除原點及負實軸外處處(k 0 , 1,)，因此 z 的各個分支在z e Ln z e ( ln z 2k i )面除原點及負實軸外處處z e Ln z e Ln z(k 0 , 1,)(k 0 , 1,)也在且 z 1z注意：（1）若們均在在（2）當(dāng)；（3）當(dāng)為有理數(shù)，則 z 實際上只有有限多個分支，它面除原點及負實軸外處處；為非負整數(shù)時， z 為單值函數(shù)且在面處處

15、為負整數(shù)時， z 為單值函數(shù)且在面除原點外處處；（4）指數(shù)函數(shù)不具乘冪意義，即e e Lne4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)對任意實數(shù) y ，由 cos y i sin y ， eiy cos y i sin yeiy 得eiy eiy eiy eiy cos y ， sin y 22i從而對任意復(fù)數(shù) z ，定義eiz eiz eiz eiz cos z ， sin z 22i性質(zhì)：（1） cos z 、sin z 在面單值并處處，且(cos z) sin z ， (sin z) cos zcos( z) cos z ， sin( z) sin zcos(z 2 ) cos z ， sin(z 2 )

16、sin zcos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2sin2 z cos2 z 1sin z cos z 2（6）cos z 、sin z 的值cos(x iy) cos x cos iy sin x sin iy cos xchy i sin x shysin(x iy) sin x cos iy cos x sin iy sin xchy i cos x shy其中ei (i y ) ei (i y )cos iy chy2ei (i y ) ei (i y )sin iy i

17、shy2icos z 、sin z 的模| cos z |2 cos2 x sh2 y ， | sin z |2 sin2 x sh2 y注意：在復(fù)數(shù)范圍不再成立| sin z |2 1， | cos z |2 1例eii eiie e1| sin i |1.1752i2eii eii e1e| cos i |1.54322其它三角函數(shù)zs zcot z cos z，sin z11sec z csc z ，cos zsin z注意：函數(shù) tan z 、cot z 、sec z 、csc z 保持了對應(yīng)實函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。雙曲函數(shù)定義：ez e zez e zshzchz ， shz ， thz chz22性質(zhì)：（1） chz 、 shz 在面單值及處處，且(chz) shz ， (shz) chzch2 z sh2 z 1ch( z) chz ， sh( z) shzc