5.1.3有理函數(shù)和可化為的不定積分

1、5.1.3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分基本積分法 : 直接積分法 ;分部積分法求導(dǎo)換元積分法 ;初等函數(shù)初等函數(shù)積分本節(jié)內(nèi)容:一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分1一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù):nx1 nnP( x a)x0aa1x)R (m1mQ (bx)x0 xmb 1bm時n , R( x )為假分式;mn時, R(x )為真分式有理函數(shù)多項式 +相除分解其中部分分式的形式為M x NA2k Nq ;(x,p40)k( 2 pk(x) qa) x2若分分式之和真分式P( x)R( x) 將有理真分式分解為部分分式的步驟:Q( x)第一步: 將Q( x)在實數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解:)s

2、( x p x q )tQ( x) ( x a )( x a( x2 p x q )2111s11tt第二步: 根據(jù)上述分解式的各個因子,寫出對應(yīng)的部分分式.對應(yīng)( x a)k的部分分式為:A1A2Ak x a( x a)2( x a)k( x2 px q)k對應(yīng)的部分分式為:B1 x C1B2 x C2Bk x Ck px q( x2 px q)2( x2 px q)kx2第三步:通分后，通過比較分子同次項的系數(shù),或代入特殊值的方式,確定以上待定系數(shù).3四種典型部分分式的積分:Ax adx Aln x a C1.A1 nA(x a)1n C(n 1)dx 2.(x a)nM x N3.dx變

3、分子為x2px qM (2x p) N M p22再分項積分M x N (x2 px q)n dx4.( p2 4q 0 , n 1)5MxN dx積分2)n qx(pxp 2p2p2令 xtx px q x2q24pxqt222,aMx N Mt x 記, bp2Mpaq 則2N ,b,42Mx NbMt dt dx dt2px )n2a 2 )nx (q2a 2 )n(t(t6Mx Nn 1,(1)dxx2px qpx Mbaarctan2 C;ln( x2 px q) 2aMx Nn 1,dx(2)( x2 px q)nM2(n 1)(t 2 b a2 )n1這四類積分均可積出,且原函數(shù)

4、都是初等函數(shù).結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).7用page127的遞推公式1dt. (t 2 a2 )n例1. 將下列真分式分解為部分分式 :11x 3(1); ( 6(31).(2)2 )1x2x1x 2 52 xx()(x解: (1) 用拼湊法(x111x) )(1( x 212 ) x(x1x 1x1)1(x)(2 )x1x 11x(1) 12 )x 1x 1x8(2) 用賦值法x 3x2 5x 6x 3AB(x 2)(x 3)x 2x 3 x 3A (x 2) 原式 5x 2x 2x 3 x 3 6B (x 3) 原式x 3x 3x 2 5x 26x 3原式故9(3) 混合法Bx

5、C1A(1 2x)(1 x2)1 2x1 x2 4A (1 2x) 原式x 152分別令 x 0,1代入等式兩端B 21 4 C55C 11 4 B C56152 2x 1 1 4原式=5 1 2x1 x210dx例2. 求.(1 2x)(1 x2 )解:已知1 1 42x1 x211 x25 1 2x(1 2x)(1 x2 )1d(1 x2 )2d(1 2x)1dx 原式5251 x51 2x1 x2 2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C55511x 2例3. 求dx .x2 2x 31 (2x 2) 3原式 2dx解:x2 2x 32 1 d(x 2x 3

6、)d(x 1) 3 x2(x 1)2 (2)22 2x 3arctan x 1 C3 1 ln x2 2x 3 222x 2如何求dx ?思考:(x2 2x 3)2提示:變形方法同例3.12 9 x 104 x2 R( x)dx.Rx 8 ,P132，1.(6)設(shè)求x4 2 x2 4 x 8 x 1)x2x3解:4 x2 9 x 10Bx CAAA0 1 2 設(shè)x 2 x 1x3x24 x2 9 x 10則 AA x 1)2A)( 1) (Bx C )( x 2)( x 2)222A0 1A2 132 32 A0 ,x 2令令得x 2 得 12 12 A2 ,x4A A B 1.比較兩邊令 x

7、 0 得的系數(shù),得0110 4 A0 4 A1 A2 8C3 9 A0 3A1 A2 9(B C )x 1 得令A(yù)0 1, A1 2, 1,B 1,C 1.A2解得:131 R( x)dx故 ln |注意到 1 21d 11 1 ln( x2 x 1) 1 1 dx( x 1 )2 32224 1 ln( 1 ) C2332所以4 x 2 C x 1 | 1 1 arctan R( x) 4)2x2x 233144x說明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便 ,簡便的方法.因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求 5 .I 2 例4.d x求x 43 x2dx 455x4x22 x25

8、I x 4解:dx 4( x2x254x25x 4 5x2 (5 )x1x2 4 d1()dxx 4x24 (x 2 1x225)(4)11x2424 arctanarctanxlnx5 xC2215x2例5. 求 (x2 2x 2)2 dx .2 2x 2) (2x 2) (xdx解:原式(x2 2x 2)22 d(x 2x 2)dx (x 1)2 1(x2 2x 2)21x2 2x 2 arctan(x 1) C16dx例6. 求 x4 1(x2 1) (x2 1)1解: 原式2dxx4 11 1 111212x2x2dx dxx2x211x2x2d(x 1 )d(x 1 ) 1 1 xx

9、(x 1)2 2(x 1)2 222xx(x 0)171x2 1 1x2 2x 1 arctanlnC222x42x2 2x 1注意本題技巧按常規(guī)方法較繁二 、可化為有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分(設(shè)sinRx ,(sRincoxs表示三) 角函數(shù)有理式 , 則d令 t tan x220t 的有理函數(shù)的積分萬能代換令dt tan x(sRin則2x2cxos2tanx2sin2t2 22sin x sin1 t22tan2 xx2cos1x222x22sin1xtan2 x1 t 2cos2222cos x 22x2cos1xtan x1 tsin222dx dt1 t 21 t2d

10、 2t2(sRinR(,1 t2 1 tdt2 ) 1t221例7. 求 1.sin)解: 令 t tan x , 則2x2cxos2tanx2sin2t2 2 2sin x sin22tan2 xx2co1sx1 t222x22si1nxtan2 x1 t 2cos2 2cos x 2221 t 2x2dtco1sxtan xsin222dx 1 t 2221sin)1 2t dt 1 t21 dt1t 2 2)1t 21 1t 22(t2t1t 21t 2 1 1 t 2 2t ln t C2 2 1 tan2 x tan x 1xClntan4222223dx例8. 求b0(a).2 a

11、sin22cosx2x b1 dx1 dtaxn2cosx原式 解:2a22 )x b (a 2tan2 x b2xtanaa 1 an(abtanCrct)ab說明: 通sin常求含 ,n的x有c理os式t tan x 往往更方便 .的積分時,用代換24總結(jié)一下，有以下規(guī)律： R sin xcos xdx R cos x sin xdx R tan x sec2 xdxu sin x令u cos xu tan x令令R(sin x, cos x) R(sin x,u sin xcos x)令R(sin x, cos x) R(sin x, cos x)u cos xu tan x令R(sin

12、 x, cos x) R(sin x, cos x)令251例9. 求 解法 1dx (ab 0) .(a sin x b cos x)2dx原式 (a tan x b)2 cos2 x令 t tan xdt1 Ca(a t b)(a t b)2cos x Ca(a sin x b cos x)261(ab 0)dx例9. 求(a sin x b cos x)2ab sin , cos解法 2令a2b21a2b2dx原式 a2b21cos2 (x )tan(x ) Ca2 b227 arctan ab1tan(x arctan a) Ca2 b2b3x 2coscxos例10. 求d x.2x

13、4sin1sinxt sinx,解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令21x )d(cosdsinx原式 2424sinx) t dsind( t 1sixn1xsixn1 1t 21t2)1( tdt2t2t 41) 21 1t 3t1(t 2tt 1t1Carctan33cos21xCarctan33sinx282. 簡單無理函數(shù)的積分被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如: R(x , n R(x , n R(x , n令ax b ) dx ,t nax ba xb c xd令a xb ) dx ,t n令c xdax b , m ax b)

14、dx ,t p ax b ,p 為m , n的最小公倍數(shù). (Mx N )ax2 bx cdx A2 dtt229dx.例11. 求1 3 x 2則 x u3 2, dx 3u 2 du令 u 3 x 2 ,解:22 3u(u1) 11 u 31dudu原式1 u 3 ( u 1 ) du1 u C 31 u 2 u ln 1 u2(x 2)2 3 3 x 2 3 32 3ln 1 3 x 2C30dx例12. 求 .x 3 x解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的 6t ,dt最小公倍數(shù) 6 , 令x則有56 tt 3原式2t 11) (t26tdt1 t C 6 1

15、 t 3 1 t 2ln1tt23ln 6x(12C)311 x例13. 求1解: 令 t d x.xx21ttd1 x ,則x dx (,t 2t22)11x22 t( tt)(原式1dtt22)12t 1t 1t2 2 t lnCdtt 211 x 2 1 ln1 Cx32 R( x,ax2 bx c )dx對作變換：t ax, 若a 0ax2 bx c tx c ,若c 0Euler變換t( x ),若ax2 bx c a( x )( x ) R( x,ax2 bx c )dx可將化為有理函數(shù)的不定積分.33 R( x,ax2 bx c )dx,ax2 bx c u 當(dāng) a 0時,作變換

16、對a x(A)cu2au2 bu cax ,則ax2 bx c b 2uab 2auau2 bu cadx 2 du(b 2au)2 R( x,ax2 bx c )dx可將化為有理函數(shù)的不定積分.若 c 0時,作變換ax2 bx c xu (B)c也可將 R( x,bx c )dx 化為有理函數(shù)的不定積分.ax2變換(A)與(B)稱作變換.34 R( x,ax2 bx c )dx的常規(guī)步驟求解dx.例14. 求不定積分 3 d ( x 1) dx解:(u x 1) 3x( x 1)2 4 du(u 2 sec )(u 1) 4u2(t tan )2 sec dtand(2 sec 1) 2 t

17、an2 cos22t2 Carctandt 3t 233將變量還原即可.35 R( x,ax2 bx c )dx求解的dx變換I 例14. 求不定積分. 3解:令x t,則 3 2t 3t 2t 2x ,2(t 1)dx dt,2(t 1)2 3(t 2 2t 3)t 2 2 x 3 t x22(t 1)2(t 1)2(t 1)2(t 1) 2t 3t 22 t 2I 3 (t 2 2t 3)2(t 1)2dt故dt 3t 22t23x C C arctanarctan333336dx求例15.x 1 x 1 u x,則解: 令x2 u 1u2 1u2dx 2 (2u 1)2x ,2u 1,

18、x (u x) ux 1 2(u u 1)2 dxdu于是u(2u 1)23x 1 2 ln | u | 3 ln | 2u 1| C2(2u 1)2ln |x|C x 1)x237并不是任何不定積分都是可以積出來的:(并不是任何不定積分都可以表示為初等函數(shù)的形式) sin x dx, ex2 dx, ex2 dx,1 k 2 sin2 xdx (0 k 2 1)x但要注意:任何連續(xù)函數(shù)都是可積的.(原函數(shù)有時要用其它形式表示)38積分表與的使用積分計算比導(dǎo)數(shù)計算靈活復(fù)雜,為提高求積分的效率, 已把常用積分公式匯集成表, 以備查用.積分表的結(jié)構(gòu):積分表的使用:按被積函數(shù)類型排列注意公式的條件注意簡單變形的技巧注:很多不定積分也可通過 Mathematica , Maple，Mathcad等數(shù)學(xué)的符號演算功能求得 .391. 可積函數(shù)的特殊類型萬能代換有理函數(shù)三角函數(shù)有理式三角代換根式代換分解簡單無理函數(shù)多項式及部分分式之和