兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布

1、兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布第1頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日5.1 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布已知隨機(jī)變量( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 為已知的二元函數(shù), 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件問題方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布第2頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日例1 設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X 與Y 的分布律為求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.得因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立, 所以解第3頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日可得所以第4頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日例2 設(shè)二維隨

2、機(jī)變量( X,Y )的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 0求：的概率分布第5頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y )(-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0第6頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX - Y-1 0 1 2 3第7頁，共52頁，2022年，5月2

3、0日，2點(diǎn)32分，星期日PX Y-2 -1 0 1 PY /X-1 -1/2 0 1第8頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日1.設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨(dú)立，具有可加性的兩個離散分布：2. 設(shè) X (1), Y (2), 且獨(dú)立，則 X + Y B ( n1+n2, p)則 X + Y (教材P86例5.2)（習(xí)題課教程P383例18）第9頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日X (1), Y (2), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , Poisson分布可加性的證明第10頁，共52頁，2022年，5月

4、20日，2點(diǎn)32分，星期日結(jié)論：第11頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日5.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布 1. Z=X+Y 的概率分布第12頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日由此可得概率密度函數(shù)為由于X 與Y 對稱, 當(dāng) X, Y 獨(dú)立時(shí),這兩個公式稱之為卷積公式。注意：被積函數(shù)變元之和x+(z-x)=(z-y)+y=z第13頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日(教材P87例5.3)例3 設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度.第14頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星

5、期日得第15頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日說明： 有限個相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,即正態(tài)分布具有可加性. 例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.第16頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 例 若X和Y 獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度 .解:解法一由卷積公式也即（教材P88例5.4）第17頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 也即于是第18頁，共52頁，2022年，5月20日，

6、2點(diǎn)32分，星期日解法二 從分布函數(shù)出發(fā)x+y = z當(dāng)z 0 時(shí)，1yx1第19頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日當(dāng)0 z 1 時(shí)，yx11x+y = zzz第20頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日x+y = z當(dāng)1 z 2 時(shí)，z-11yx1zz第21頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日1yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時(shí)，(書P90例5.5、P92例5.6）第22頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日例 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合 概率密度為Z = X + Y ,求 f Z (z)解 （圖形定限法）由

7、公式（1）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域第23頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日zxz = xz = 2xx = 112當(dāng) z 2 , zzzz當(dāng) 0 z 1, 當(dāng) 1 z 2, f Z (z) = 0第24頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日這比用分布函數(shù)做簡便。第25頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日解課堂練習(xí)：第26頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第27頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日此時(shí)第28頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日2.極值分布的分布函數(shù)則有第29

8、頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日故有第30頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日推廣：第31頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第32頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日若 X與Y 相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量,X的分布密度為f(x), 則M與N的分布密度為 上述結(jié)論可以推廣到n維情形,即若設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布,令 第33頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日它們的概率密度函數(shù)分別為則它們的分布函數(shù)分別為 第34頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日 需要指出的是，當(dāng)

9、X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí), 常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的作用和實(shí)用價(jià)值.第35頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日例6 設(shè)X,Y獨(dú)立同分布,PX=i=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律.解 第36頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日類似可得N的分布率為 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 從而M的分布律為第37頁，共52頁，202

10、2年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日 設(shè)相互獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量 X, Y 具有同一分布律,且 X 的分布律為于是解課堂練習(xí)：第38頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第39頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日例7（教材93例5.7）第40頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日解第41頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第42頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第43頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第44頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日附:平方和的分布 Z = X 2+Y 2設(shè)(X ,Y )的聯(lián)合概率密度 為 f (x,y)，則第45頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相 互獨(dú)立， Z = X 2+Y 2 , 則自由度為2的 2分布稱為第46頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日解 設(shè) 的分布函數(shù)為 ，當(dāng) 時(shí)，有（教材P95例5.8）第47頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日第48頁，共52頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)32分，星期日當(dāng) 時(shí)， .綜上從而得到 Z 的密度為第49頁，共52頁，2022