七講：簡(jiǎn)單三角恒等變換

1、第七講 簡(jiǎn)單三角恒等變換（一）本節(jié)的地位：三角函數(shù)恒等變換是高中教學(xué)的重要知識(shí)之一，也是歷年高考必考查的內(nèi)容，體現(xiàn)考綱對(duì)運(yùn)算能力、邏輯推理能力的要求.一、引言：1（二）考綱要求：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)要掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等證明.重點(diǎn)是應(yīng)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等證明.2（三）考情分析：一般考查對(duì)公式理解與熟練運(yùn)用，以及考查運(yùn)算能力、邏輯推理能力，在歷年的高考中，常常要考查，考試類型有應(yīng)用公式化簡(jiǎn)求值、恒等變形、與其它知識(shí)交匯等.對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化

2、歸等重要思想重點(diǎn)考查.3二、考點(diǎn)梳理：1兩角和與兩角差的正弦公式： ；余弦公式： ；正切公式： .2二倍角的正弦公式： ；4二倍角的余弦公式： ；二倍角的正切公式： .3.降冪公式： ； . 4.解題時(shí)既要會(huì)正用這些公式，也要會(huì)逆用及變形用，特別是二倍角公式，正用-化單角，逆用-降次.5三、典型問(wèn)題選講（一）化簡(jiǎn)（求值）問(wèn)題例1 求下列各式的值：分析：本題考查三角公式應(yīng)用，會(huì)逆用及變形用，特別是二倍角公式，正用-化單角，逆用-降次.；.6解析：法一法二.原式= 原式=7原式=8原式=9歸納小結(jié)：在已知角求值的式子變形中，常通過(guò)“造出特殊角”、“對(duì)偶式”來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程一般情況下，當(dāng) 是特殊角時(shí)，

3、使用化簡(jiǎn)式子10例2化簡(jiǎn)下列各式：（1） （2） ；.11 分析：（1）若注意到化簡(jiǎn)式是開(kāi)平方根和2 以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個(gè)平方差，若注意到這個(gè)特征，不難得到解題的切入點(diǎn).12解析 （1）因?yàn)橛忠颍?，原? .13（2）原式=14 歸納小結(jié)：（1）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2 是 的二倍， 是 的二倍，等等.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，以方便解題.比如15（2）化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn)，其中的降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧.（3）公式變形用16例3已知正實(shí)數(shù)a,b滿足.分析：從方程 的觀點(diǎn)考慮，如果

4、給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于 的方程，從而可求出 .17若注意到等式左邊的分子、分母都具有 的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解.18解法一：由題設(shè)得19解法二：20解法三： 2122歸納小結(jié)：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過(guò)模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式， ，或23在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn)，所以解法三最佳.24分析：由韋達(dá)定理可得到 進(jìn)而可以求出 的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan 表示便可知其值.例4已知求25解法一：由韋達(dá)定理得，所以 原式=

5、 26解法二：由韋達(dá)定理得 所以 27歸納小結(jié)：（1）本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法來(lái)源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”.（2）運(yùn)用三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名.28等，抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn).（3）對(duì)公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如2930（二）恒等變形例5 求證： .分析：恒等變形問(wèn)題可由一邊推證得另一邊，也可以從兩邊

6、進(jìn)行推證得出相等關(guān)系. 證法一：由題意知 ，所以 .31所以左邊=右邊.則原式成立.證法二：由題意知 ，所以又 所以 32證法三：由題意知 ，所以則 33歸納小結(jié)：證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，證明時(shí)常用的方法有：（1）從一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊；（2）證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；（3）證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立.34（四）與其它知識(shí)綜合例6 ABC中， , .求 .分析：“切化弦”是解決三角問(wèn)題常用的方法，再利用三角形中角的關(guān)系進(jìn)行恒等變形.35即 ，所以 或 (不成立).解:因?yàn)?即所以得 . 36即 ,得 ，所以 . 又因?yàn)?

7、，則 ，得 .歸納小結(jié)：注意三角形中角的范圍，注意分類討論.或 （舍去）.37若 ， 例7 已知三點(diǎn)A、B、C 的坐標(biāo)分別為 ，B(3，0)，C(0，3)， 求 的值分析：本題將向量知識(shí)與三角知識(shí)結(jié)合起來(lái)，綜合考查應(yīng)用知識(shí)的能力.38解： , ，整理得： .39 .由平方得 ，即 .歸納小結(jié)：正確應(yīng)用 ，得到關(guān)于角的三角函數(shù)關(guān)系，利用二倍角、同角三角函數(shù)公式解決問(wèn)題.40例8（2009，湖南） 已知向量（1）若 ，求 的值； （2）若 求 的值.分析：（1）利用向量共線及三角函數(shù)同角關(guān)系求值，（2）利用向量模相等得出三角函數(shù)關(guān)系，求得 的值.41（1） 因?yàn)?，于是 ，故所以（2）由 知所以，從而 ，即解：42于是 .又由 知，所以 ，或 .因此 ，或 ，歸納小結(jié)：本題考查向量的模、向量共線及三角函數(shù)化簡(jiǎn)求角.43四、本專題總結(jié) 本節(jié)課研究三角恒等變換，主要方法有：引入輔助角、換元、降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，應(yīng)注意在應(yīng)用公式時(shí)，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名