萬有引力模型

1、萬有引力模型第1頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六本課程為考試課作業(yè)（10%）+筆記（10%）+考卷（論文80%）第2頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六序言一 教學(xué)目的1.通過講解什么是數(shù)學(xué)模型,為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型等內(nèi)容,使學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)的數(shù)學(xué)形式,它是實(shí)際問題和數(shù)學(xué)間的橋梁.2.使學(xué)生了解到在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)展的今天,數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的功能不斷提高,甚至是不可缺少的.第3頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六3.在重大問題的決策中,對(duì)方案及可行性分析中,數(shù)學(xué)模型是非常重要的.4.讓學(xué)生進(jìn)一步掌握

2、數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn).5.了解數(shù)學(xué)的理論體系.6.了解數(shù)學(xué)之發(fā)展概況.7.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力.8.培養(yǎng)學(xué)生的科研論文寫作能力.第4頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六二 本課性質(zhì)作為數(shù)學(xué)系畢業(yè)生,大部分從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究,而在大學(xué)學(xué)習(xí)階段主要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)(這與初等數(shù)學(xué)相距甚遠(yuǎn)),這是為什么?第5頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六實(shí)質(zhì):對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)本質(zhì)的理解(有利于數(shù)學(xué)的研究)-居高臨下.數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方面:數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)與其它學(xué)科一樣,都是為人類生產(chǎn)斗爭(zhēng)和社會(huì)實(shí)踐服務(wù)的.數(shù)學(xué)在與實(shí)踐的關(guān)系中,不僅有理論上的價(jià)值與作用,而

3、且對(duì)深入了解其它學(xué)科是有基礎(chǔ)性的作用.第6頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六數(shù)學(xué)的作用就是解決實(shí)際問題.有的就是直接解決實(shí)際問題.科學(xué)研究是由實(shí)驗(yàn)階段進(jìn)入理性階段(以推理為主的),此時(shí),數(shù)學(xué)的作用就更大了.第7頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六例:衛(wèi)星軌道的確定.(歷史上海王星的發(fā)現(xiàn)以及哈雷慧星的軌道計(jì)算都是由數(shù)學(xué)系算出來的)現(xiàn)在自然科學(xué)方面的論文(物理,化學(xué),自動(dòng)控制,)沒有數(shù)學(xué)論證,價(jià)值就不大.定義:數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model)是對(duì)客觀世界中的某一特定對(duì)象,為了某個(gè)特定目的,作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè),運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)工具,得

4、到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).(可以是公式,圖表,圖象等)第8頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)公式:三角形中的正弦公式:余弦公式: 公式,方程,曲線,圖表等為了解決實(shí)際問題,找出事物本身的機(jī)理,建立數(shù)學(xué)模型(簡(jiǎn)稱建模).解出數(shù)學(xué)模型,找到規(guī)律.第9頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六模型一. 萬有引力模型 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)是人類走向科學(xué)的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn).其作用之大是無法比擬的.它為當(dāng)今的天文學(xué)和航天科學(xué)奠定了基礎(chǔ). 在這個(gè)模型中,包括兩個(gè)部分: .Newton是怎樣通過數(shù)學(xué)方法得到這一定律的; .在比Newton更一般的情況下,用向量分析法

5、推導(dǎo)定律.第10頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六Newton推導(dǎo)萬有引力的基礎(chǔ). Kepler三定律. Newton第二定律.Newton對(duì)“月球繞地球按圓形軌道運(yùn)行”進(jìn)行研究,第一次提出：“月球按圓形軌道運(yùn)行是地球?qū)υ虑虻囊λ隆?Newton通過計(jì)算圓運(yùn)動(dòng)的向心加速度, 又根據(jù)Newton第二定律得到引力公式.為驗(yàn)證引力公式的正確性,他比較了通過引力所得的加速度與圓運(yùn)動(dòng)的向心加速度,計(jì)算結(jié)果二者是相同的.把這個(gè)無法通過實(shí)驗(yàn)證明的規(guī)律從理論上給出了證明. 第11頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六Newton得到的萬有引力定律是在特殊情況下得

6、到的,對(duì)于一般情況,即橢圓軌道上的定律是否成立,還不能肯定, Newton曾試圖研究一般情況,但未成功.今天數(shù)學(xué)發(fā)展了,數(shù)學(xué)工具也增加了.用向量分析的方法,證明在橢圓軌道上運(yùn)行的形體,受焦點(diǎn)上星體的引力,也是定律所表述的.第12頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六要求學(xué)生了解Newton在知道萬有引力過程中的想法,從Newton第一定律(慣性定律:任何物體保持靜止,勻速直線運(yùn)動(dòng))出發(fā),首先他考慮到:月球按圓形軌道運(yùn)行,必有其動(dòng)力學(xué)原因,也就是必有看不見的外力在作用它.從這一堅(jiān)定信念出發(fā)推得了定律.其次,當(dāng)時(shí)通過實(shí)驗(yàn)方法是不能證明定律成立的.Newton通過他的第二定律(加

7、速度定律),由引力產(chǎn)生的向心加速度與圓運(yùn)動(dòng)向心加速度相等的方法,證明定律的正確性.第13頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六太陽系中各行星按橢圓軌道繞太陽運(yùn)行,太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,用向量分析法都能證出太陽對(duì)行星的引力符合萬有引力定律.太水金地火木土天海冥九大行星示意圖第14頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六萬有引力模型.Newton:1684年在自然哲學(xué)發(fā)表的.定律: 宇宙中任何物體之間,都存在相互作用的吸引力.這種引力的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比,與二者距離的平方成反比,作用力方向沿兩個(gè)物體聯(lián)線方向.定律適用范圍:大至宇宙,小至地球上任意兩物

8、體.第15頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六(一)定律的來源探討:不是通過實(shí)驗(yàn)得到的,而是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到的.此公式是Newton于1666年得到的,以后很多科學(xué)家都想通過實(shí)驗(yàn)證明它,都未成功.1740年.布格,Buger.1712年.馬斯科林.Maskilin.1854年.艾里.Anlli.1880年.蒙登哈爾.Mengdenhar.第16頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六他們的作法:把一個(gè)小山作為 ,在山的附近用線垂下一個(gè)小球,考察小球的偏擺,然后確定引力系數(shù) ,都未成功.直到1798年(離Newton發(fā)現(xiàn)定律130多年后),卡文迪斯(Cav

9、endish)用很復(fù)雜的試驗(yàn)確定了引力關(guān)系和定律的正確性,并確定了引力系數(shù)第17頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六此后此數(shù)字相繼得到修正.1892年.龐廷.Pantin.1895年.博斯.Boss.1930年.海爾.Hale.上面一些科學(xué)家的工作,都說明Newton發(fā)明萬有引力定律時(shí),不是通過實(shí)驗(yàn)得到的.第18頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六(二) Newton發(fā)明萬有引力定律,是從地心引力開始的,是從地球?qū)υ虑虻囊﹂_始的.此前已有的力學(xué),天體力學(xué)知識(shí):第19頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第20頁，共46頁，202

10、2年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六蘋果熟了往地上落.月球按圓形軌道繞地球運(yùn)行. 這些現(xiàn)象都有其動(dòng)力學(xué)原因.按牛頓的慣性定律:蘋果應(yīng)在原位置上始終不落,月球應(yīng)按直線勻速運(yùn)動(dòng). 以上兩種現(xiàn)象,違反了慣性定律,其中必有其動(dòng)力學(xué)原因. 其中必有一種力作用著.這種力不是以明顯的形式表現(xiàn)出.第21頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六 是以看不見的形式作用在蘋果和月球上的(以場(chǎng)的形式作用著).這是地球產(chǎn)生的引力.當(dāng)時(shí)Newton還想到,蘋果被引力拉到地面上了,而月球沒被拉下來,只影響了它的運(yùn)行狀態(tài),由直線變成曲線.其原因是距離越大,引力就越小;距離越小,引力就越大.第22頁，共46

11、頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六從地球?qū)υ虑虻囊χ盅芯?月球沿圓形軌道圍繞地球以勻速 運(yùn)行,地球在圓的中心.設(shè)地球引力為 ,則有 . 為月球質(zhì)量, 為向心加速度. 圓運(yùn)動(dòng)向心加速度 . 地球心與月球心距離為 . 圓運(yùn)動(dòng)的速度為 .第23頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六設(shè)月球運(yùn)行周期為 ,即經(jīng)過 的時(shí)間,月球運(yùn)轉(zhuǎn)一個(gè)周期,其走過的距離為 .由 Kepler第三定律知 為橢圓的長(zhǎng)半軸.第24頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第25頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六(三) 引力公式的驗(yàn)證得到的引力公式是否符

12、合實(shí)際,對(duì)它的正確性要進(jìn)行驗(yàn)證.方式: 由圓運(yùn)動(dòng)推出的向心加速度 由引力公式推出的向心加速度 看二者是否相等?第26頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第27頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第28頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第29頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六Newton在地球?qū)υ虑虻囊χ?驗(yàn)證了他的公式.但是他認(rèn)為必須在更大的范圍內(nèi)驗(yàn)證,以保證他的正確性.他著手研究太陽對(duì)于行星的引力來驗(yàn)證公式.由于行星軌道都是橢圓(長(zhǎng)短軸相差較大),他用圓代替橢圓,把太陽放在焦點(diǎn)上.由于無法應(yīng)用Kep

13、ler三定律,結(jié)果失敗.今天,我們應(yīng)用向量分析法很容易證出.第30頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第31頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第32頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第33頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第34頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第35頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第36頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第37頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第38頁，共46頁，2022

14、年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第39頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六第40頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六今天我們?cè)谔栂抵?推出太陽和各行星的引力(把地球?qū)υ虑虻囊ν茝V到太陽系中成為萬有引力).(五) 萬有引力定律的意義對(duì)于人類了解自然和指導(dǎo)人們實(shí)踐,意義如何?有的人會(huì)認(rèn)為:對(duì)于計(jì)算地球上兩物體間的引力似乎意義不大,確實(shí)如此.但對(duì)于天體的研究,意義就十分大了.第41頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六1.在太陽系中應(yīng)用萬有引力定律.經(jīng)過計(jì)算,發(fā)現(xiàn)了新的行星-海王星.海王星的發(fā)現(xiàn):1781年Herschel通過天

15、文觀測(cè)發(fā)現(xiàn)了天王星(體積是地球的100倍),天文學(xué)家觀察這顆行星的運(yùn)行軌道時(shí),發(fā)現(xiàn)它不是橢圓.某些地方發(fā)現(xiàn)異常.第42頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六對(duì)此現(xiàn)象的解釋:一些人認(rèn)為在太陽系的邊界上,萬有引力定律可能不成立,才出現(xiàn)此狀態(tài).但也有些天文學(xué)家從萬有引力定律出發(fā)來分析這種現(xiàn)象,認(rèn)為產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是天王星軌道附近存在一顆現(xiàn)在還看不見的星體,是它對(duì)天王星攝動(dòng)的結(jié)果法國天文學(xué)家Leverrier就持有這種觀點(diǎn),根據(jù)萬有引力定律研究天王星的異常.通過計(jì)算確定了那顆看不見的行星的位置,質(zhì)量及其運(yùn)行軌道.(采用微分方程的數(shù)值解法)第43頁，共46頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)51分，星期六Leverrier把自己的計(jì)算結(jié)果和算法告訴了柏林天文臺(tái).不長(zhǎng)時(shí)間后,在1846.9.23,通過天文學(xué)家的搜索,就在Leverrier指定的空域上找到了這顆行星,其質(zhì)量和運(yùn)行軌道和Leverrier所得的結(jié)論完全相同.此行星稱為海王星,居太陽第八顆行星.(水金地火木土天海冥)人們稱海王星是算出來的.”筆尖上的行星”第4