微積分作業(yè)講解第一章

1、第一章作業(yè)選講（A）4、由于2所以 f (x) x2 2 。另外 x 1 的取值范圍(,2 2,) 正是函數(shù) f(x)的定義域。xy sin x x2 256（6）解：定義域滿足如下約束：sin x 0 x 25 02即x 2k , (2k 1) , k Zx 5或x -5-2，-52k , (2k 1) kZ k0 -16（7） y log2 log 1 lg x2解：定義域滿足如下約束：x 0lg x 0log lg x 012即x 0 x 11 lg x 0所以定義域?yàn)镈 (1,10)15(1)證明 因?yàn)?1 x )2 0 ，所以1+ x 2 2 x 121+ x 2x 121+x2即函

2、數(shù)有界， M 1 是一個(gè)界。215(2)解：函數(shù)的定義域?yàn)閤 x R, x 0。對(duì)定義域中的每個(gè)數(shù) x，由于x sin x 1 sin xsin x 1 2xxx所以函數(shù)有界。16(7)解：由于y cosx cos( x)當(dāng) x ,0時(shí)， x 0, ，所以 x arccos( y) arccosyx arccos( y) arccosy對(duì)調(diào) x、y 后，得到反函數(shù)的表達(dá)式：y arccosxx（B）arcsin x 31、求函數(shù) y 4 的定義域x 2x lg解 定義域滿足如下約束 x 3 14x 0 x 20 1 x 2所以，定義域?yàn)镈 1, 0) (0,1) (1, 2) (2,3) (3

3、, 7exx 1 0、設(shè) f (x) ， x 1，求 f (x) 。x 021x解 首先求解不等式(x) 1。當(dāng) x 0 時(shí)，由于(x) x 2 ，所以x 1；當(dāng) x 0 ，由于(x) x2 1，所以 x 2 。于是可以將實(shí)數(shù)分成四個(gè)區(qū)間于是得到反函數(shù)的表達(dá)式1, 0) 2, ) ex2 x 2x (, 1)x 1, 0)x 0, 2)f (x) x 12e 2x 1x 2, )3、選 A。因?yàn)楫?dāng) x 時(shí) 2)11 1 2)2)(2 x)21 224(037x21 x 00 x 14、求函數(shù) f (x) 的反函數(shù)x 12解 函數(shù)的值域?yàn)?Rf (0,1 ( 1, 0，) 所以反函數(shù)的定義域?yàn)?

4、Rf (0,1 ( 1, 0。) 當(dāng)y (0,1時(shí)， y x2 ， x y ；當(dāng) y (1, 0) 時(shí)， y x2 1， x y 1 。對(duì)調(diào)x、y后即到反函數(shù)的表達(dá)式 y x0 x 1y 11 x 05、設(shè)函數(shù) f(x)的圖形關(guān)于 x=a，x=b（ab）均對(duì)稱。求證 f(x)是周期函數(shù)，并求其周期。x=b2a-x證明 首先，由于 2a-x 與 x 關(guān)于 x=a 對(duì)稱，且 x+2(b-a)與 2a-x 關(guān)于 x=b 對(duì)稱，根據(jù)題目的條件，在對(duì)稱點(diǎn)上函數(shù)值相等，即f (x 2(b a) f (2a x) f (x)于是 2(b-a)是一個(gè)正的周期。另外，觀察函數(shù) y=cosx，它是關(guān)于 x=0 和 x= 對(duì)稱，且周期為 2(b-a)。于是可知，對(duì)于所有這類函數(shù)，不可能期望有比 2(b-a)更小的周期表達(dá)式。并不是說(shuō) 2(b-a)是任何一個(gè)這種函數(shù)的最小正周期。Dirichil