（精品）上海市金山中學(xué)第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末考試(含答案)

1、1金山中學(xué)第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末考試(考試時(shí)間： 120 分鐘 滿分： 150 分)一、填空題(本大題滿分 54 分)本大題共有 12 題，其中第 1 題至第 6 題每小題 4 分，第 7 題至第 12 題每小題 5 分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分1 (x +1)5 的展開式中x2 項(xiàng)的系數(shù)為 2已知直線l 經(jīng)過點(diǎn)(- 5,0 )且方向向量為(2,-1) ，則原點(diǎn)O 到直線l 的距離為 .3 已 知 全 集 U = R ， 集 合 A = x x2 - 2x - 3 0, x =R , B = x m - 2 共 x 共 m + 2, x =R , 若(C A)

2、I B = x 0 共 x 共 3,x =R ，則實(shí)數(shù) m 的值為 .U(|x + y 共 12,4若變量 x, y 滿足約束條件|l 則 z = y - x 的最小值為_.5直線|ly = 3+ 2t (t為參數(shù)) 上與點(diǎn)A(-2,3) 的距離等于 2 的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .6某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過 2 個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是(|x = -2 - 2t1，則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是 .3頻率/組距7某學(xué)校隨機(jī)抽取100 名學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 (如圖)，其中， 上學(xué)所需 0.

3、025時(shí)間的范圍是 0,100，樣本數(shù)據(jù)分組為 0,20 )， 20,40 )，x40,60 )， 60,80) ， 80,100則該校學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間的 0.00650.003均值估計(jì)為 (精確到1 分鐘) . O 20 40 60 80 100 時(shí)間8一個(gè)口袋內(nèi)有 4 個(gè)不同的紅球， 6 個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2 分，取一個(gè)白球記 1 分，從中任取 5 個(gè)球，使總分不少于 7 分的取法有多少種 .9 如圖，三棱錐 P - ABC 滿足： AB AC ， AB AP ， AB = 2 ， AP + AC = 4 ，則該三棱錐的體積 V 的取值范圍是 x2 y210 P 是 雙 曲 線

4、- = 1 的 右 支 上 一 點(diǎn) ， M , N 分 別是 圓9 16(第 9 題圖)(x + 5)2 + y2 = 4 和(x - 5)2 + y2 = 1 上的點(diǎn)，則 PM - PN 的最大值等于 .2x和為定值；11棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD - A B C D 及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)P ，集合Q = P PA 共 1,則集合Q 構(gòu)成的幾何 1 1 1 1體表面積為 .12在直角坐標(biāo)平面 xoy 中，已知兩定點(diǎn) F (- 1, 0) 與 F (1, 0) 位于動(dòng)直線l : ax + by+ c = 0 的同側(cè)，設(shè)集 1 2合 P = l點(diǎn)F 與點(diǎn) F 到直線l 的距離之差等于1，Q = (x

5、, y) x2 + y2 共 1,x、y = R，記S = (x, y) (x, y) 茫l, l = P,1 2T = (x, y) (x, y) =Q I S.則由T 中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是 .二、選擇題(本大題滿分 20 分)本大題共有 4 題，每題只有一個(gè)正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律得零分13已知9 為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z = sin 29 - 1+ i( 2 cos9 - 1)是純虛數(shù)，則z 的虛部為( )A 2 B 0 C -2 D -2i14已知條件a ：“直線l 在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等”，條件 b ：“直線l 的斜率

6、等于 - 1 ”，則a 是b 的 ( )A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 既非充分又非必要條件15如圖， 在空間直角坐標(biāo)系中， 已知直三棱柱的頂點(diǎn)A 在x 軸上， AB平行于 y 軸， 側(cè)棱 AA 平行于 z 軸 當(dāng)頂點(diǎn)C 在 y 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是 A 該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化； B 該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化；C 該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化；D 該三棱柱三個(gè)視圖的投影都不發(fā)生變化( )A1AzC1B1CyB16如圖，兩個(gè)橢圓 + = 1 ， + = 1 內(nèi)部重疊區(qū)域的邊x 2 y 2 y 2 x 2界 記 為 曲

7、 線25 9 25 9C ， P 是曲線C 上任意一點(diǎn)，給出下列三個(gè)判斷： P 到F (- 4,0)、F (4,0)、E (0,-4)、E (0,4)四點(diǎn)的距離之 1 2 1 2曲線C 關(guān)于直線 y = x 、 y = -x 均對(duì)稱；曲線C 所圍區(qū)域面積必小于36上述判斷中正確命題的個(gè)數(shù)為( )A 0 個(gè) B 1 個(gè) C 2 個(gè) D 3 個(gè)三、解答題(本大題滿分 76 分)本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必 要的步驟1 1 217 (本題滿分 14 分)已知復(fù)數(shù) z 滿足 (1- i)z = 1+ 3i ， z = a - i(a = R) (其中 i 是虛

8、數(shù)單位) ，若z - z 2 z ，求 a 的取值范圍1 2 118 (本題滿分 14 分)本題共有 2 個(gè)小題，第(1)小題滿分 7 分，第(2)小題滿分 7 分3如圖，直四棱柱 ABCD 一 A B C D 底面 ABCD 直角梯形，1 1 1 1AB / CD ， 三BAD = 90。， P 是棱 CD 上一點(diǎn)， AB = 2 ，AD = 2 ， AA = 3 ， CP = 3 ， PD = 1.1(1)求異面直線A P 與BC 所成的角； 1 1A1AD1B1DPBC1C1 1 .(2)求證： PB 平面BCC B19 (本題滿分 14 分)本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿分 6

9、分，第 2 小題滿分 8 分.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P ，底面圓心為O ，線段AB 和線段CD 都是底面圓的直徑，且直線 AB 與直線CD 的夾角為 ，已知 OA = 1 ， PA = 2 2(1)求該圓錐的體積；(2)求證：直線 AC 平行于平面PBD ，并求直線AC 到平面PBD 的距離20 (本題滿分 16 分)本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 5 分，第 2 小題滿分 5 分，第 3 小題滿分 6 分.閱讀：已知a, b=(0,+的)， a + b = 1 ，求 y = 1 + 2 的最小值.a b解法如下： y = 1 + 2 = (| 1 + 2 )| (a + b)= b +

10、2a + 3 3 + 2 2 ，b 2a當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 a = 2 一 1,b = 2 一 2 時(shí)取到等號(hào)，a b則 y = 1 + 2 的最小值為3 + 2 2 .a ba b ( a b ) a b應(yīng)用上述解法，求解下列問題：(1)已知a, b, c =(0,+的)， a + b + c = 1 ，求 y = 1 + 1 + 1 的最小值； a b c(2)已知 x = (|(0, )| ，求函數(shù) y = + 1一82x 的最小值；(3)已知正數(shù)a , a , a ,L , a ， a + a + a + L + a = 1， 1 2 3 n 1 2 3 na + a a + a a

11、+ a a + a 2求證： S = a + a + a +L + a 1 .1 2 2 3 3 4 n 121 (本題滿分 18 分)本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 8 分4a b設(shè)橢圓 E 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a 、短半軸長(zhǎng)為b ，橢圓 E 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a 、短半軸長(zhǎng)為b ，若 1 = 1 ，則我1 1 1 2 2 2 a b2 2們稱橢圓E 與橢圓 E 是相似橢圓已知橢圓E : + y2 = 1 ，其左頂點(diǎn)為 A 、右頂點(diǎn)為B x21 2 2(1)設(shè)橢圓E 與橢圓F : + = 1 是“相似橢圓”，求常數(shù)s 的值； s 2x2 y2

12、(2) 設(shè)橢圓G : x2 + y2 = 入(0 入 2)是相似橢圓橢圓 H 上異于 A, B 的任意一點(diǎn)C(x , y )，2 t 0 0求證： ABC 的垂心M 在橢圓E 上金山中學(xué) 2016 學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末考試參考答案2017 年 6 月(考試時(shí)間： 120 分鐘 滿分： 150 分)一、填空題(本大題滿分 54 分)本大題共有 12 題，其中第 1 題至第 6 題每小題 4 分，第 7 題至第 12 題每小題 5 分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分51 (x +1)5 的展開式中x2 項(xiàng)的系數(shù)為 10 2 已知直線l 經(jīng)過點(diǎn)(- 5,0 )且方向

13、向量為(2,-1) ，則原點(diǎn) O 到直線l 的距離為 1 .3已知全集U = R ，集合 A = x x2 - 2x - 3 0, x =R , B = x m - 2 共 x 共 m + 2,U若 (C A)I B = x 0 共 x 共 3，則實(shí)數(shù) m 的值為 2 .(|x + y 共 12,4若變量 x, y 滿足約束條件|l 則 z = y - x 的最小值為_- 4 _.5直線(t為參數(shù)) 上與點(diǎn)A(-2,3) 的距離等于 2 的點(diǎn)的坐標(biāo)是 (- 3,4)或 (- 1,2).6某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過 2 個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是291.，則這

14、名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是37某學(xué)校隨機(jī)抽取100 名學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是 0,100，樣本數(shù)據(jù)分組為 0,20)， 20,40)，40,60)， 60,80)， 0,100則該校學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間的均值估計(jì)為_ 34 _ (精確到1 分鐘) .8一個(gè)口袋內(nèi)有 4 個(gè)不同的紅球， 6 個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅頻率/組距0.025x0.00650.003O20 40 60 80 100 時(shí)間球記 2 分，取一個(gè)白球記 1 分，從中任取 5 個(gè)球，使總分不少于 7 分的 少種 186 .9

15、 如 圖 ，三 棱錐 P - ABC 滿足： AB AC ， AB AP ， AB = 2 ，AP + AC = 4 ，則該三棱錐的體積 V 的取值范圍是 (|(0, 取法有多10 P 是 雙 曲 線 1 的 右 支 上 一 點(diǎn) ， M , N 分 別 是 圓x2 y29 16(x + 5)2 + y2 = 4 和(x - 5)2 + y2 = 1 上的點(diǎn)，則PM - PN 的最大值等于 9 .11棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD - A B C D 及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)P ，集合Q = P PA 共1,則集合Q 構(gòu)成的幾何 1 1 1 15體表面積為 .46x 2 y 2 y 2 x 212在直角坐標(biāo)

16、平面 xoy 中，已知兩定點(diǎn) F (一 1, 0) 與 F (1, 0) 位于動(dòng)直線l : ax + by+ c = 0 的同側(cè)，設(shè)集 1 2合P = l點(diǎn)F 與點(diǎn) F 到直線l 的距離之差等于1 ，Q = (x, y) x2 + y2 共 1,x、y = R ，記S = (x, y) (x, y) 茫l, l = P,1 2T = (x, y) (x, y) =Q I S.則由T 中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是_ 冗 + 33 2 _.二、選擇題(本大題滿分 20 分)本大題共有 4 題，每題只有一個(gè)正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律得零分

17、13已知9 為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z = sin 29 一 1+ i( 2 cos9 一 1)是純虛數(shù)，則z 的虛部為( C )A 2 B 0 C 一2 D 一2i14已知條件a ：“直線l 在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等”，條件b ：“直線l 的斜率等于 一 1 ”，則a 是b 的 ( B )A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 既非充分又非必要條件15如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱的頂點(diǎn)A 在x 軸 上， AB平行于 y 軸，側(cè)棱 AA 1平行于 z 軸. 當(dāng)頂點(diǎn)C 在 y 軸正半軸 z 上 運(yùn) 動(dòng)時(shí) ， 以 下 關(guān) 于 此 直 三 棱 柱 三 視 圖 的 表 述 正 確 的

18、 是 A C11( B ) B1A 該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化； CB 該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化； x A yBC 該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化；D 該三棱柱三個(gè)視圖的投影都不發(fā)生變化16如圖，兩個(gè)橢圓 + = 1 ， + = 1 內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線 C ， P 是曲線C 上任意一 25 9 25 9點(diǎn)，給出下列三個(gè)判斷：P 到F (一 4,0)、F (4,0)、E (0,一4)、E (0,4)四點(diǎn)的距離之和 1 2 1 2曲線C 關(guān)于直線 y = x 、 y = 一x 均對(duì)稱；曲線C 所圍區(qū)域面積必小于36上述判斷中正確命題的個(gè)數(shù)為( C )A 0 個(gè) B 1 個(gè) C 2

19、 個(gè) D 3 個(gè)為定值；7CO PABx三、解答題(本大題滿分 76 分)本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必 要的步驟17 (本題滿分 14 分)已知復(fù)數(shù) z 滿足 (1一 i)z = 1+ 3i ， z = a 一 i(a=R ) (其中 i 是虛數(shù)單位) ，若 1 1 2z 一 z 2 z ，求 a 的取值范圍1 2 1解： z = 一 1 + 2i ， z = a + i ，1 2(一 1 一 a)2 +1 2 . 5 即 (a +1)2 9 ，解得a 想 一4 或a 218 (本題滿分 14 分)本題共有 2 個(gè)小題，第(1)小題滿分 7 分，第(2

20、)小題滿分 7 分如圖，直四棱柱 ABCD 一 A B C D 底面 ABCD 直角梯形，1 1 1 1點(diǎn)， AB = 2 ， AD = 2 ， AA = 3 ， CP = 3 ， PD = 1.1(1)求異面直線A P 與BC 所成的角； 1 11 1 .(2)求證： PB 平面BCC BAB CD ，D1三BAD = 90。，P 是棱CD 上一1CA1B1CDPBA解：(1)以D 原點(diǎn)， DA, DC, DD 分別為x 軸, y 軸, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A ( 2,0,3 )，P (0,1,0)，1 1B ( 2,2,0 )， C (0,4,3). 于是 = ( 2, 一1,3)

21、, = (一 2,2,3 ), zuuur uu1 1 1 D1 C HYPERLINK l _bookmark1 15 5=12 . 15 6A 1B 1cos9 = . =PA1 . BC1D5y：異面直線A P 與BC 所成的角的大小等于arccos . 1 1 6(2) PB = ( 2 ,1,0)，BC = (一 2 ,2,0)，BB = (0,0,3) 1o PB . BC = 0 ， PB . BB = 011 1 1 .：PB BC ， PB BB ， ：PB 平面BCC B19 (本題滿分 14 分)本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 8 分.如

22、圖， 圓錐的頂點(diǎn)為P ，底面圓心為O ，線段 AB 和線段CD 都是底面圓的直徑， 且直線AB 與直線CD 的幾夾角為 ，已知 OA = 1 ， PA = 2 2(1)求該圓錐的體積；8(2)求證：直線 AC 平行于平面PBD ，并求直線 AC 到平面PBD 的距離解： (1)設(shè)圓錐的高為h ，底面半徑為 r ，則 r = 1 ，h = 3 ，1 3圓錐的體積V = Sh = 幾 ；3 3(2)證明：由對(duì)稱性得AC / BD ， AC 不在平面PBD ， BD 仁平面PBD ， AC / 平面PBD ，C 到平面PBD 的距離即直線AC 到平面PBD 的距離，1 1設(shè)C 到平面PBD 的距離為

23、d ，則由VC PBD = VPBCD ，得 3 S PBD . d = 3 S BCD . h ，1 7 1 2 21可得 . d = .1. 4 1 ， d = ，3 2 3 72 21直線 AC 到平面PBD 的距離為 7920 (本題滿分 16 分)本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 5 分，第 2 小題滿分 5 分，第 3 小題滿分 6 分.閱讀：已知a, b =(0,+w)， a + b = 1 ，求 y = 1 + 2 的最小值.a b解法如下： y = + = (|( + )|(a + b)= + + 3 3 + 2 2 ，b 2a當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 a = 2 - 1,b

24、 = 2 - 2 時(shí)取到等號(hào)，a b則 y = 1 + 2 的最小值為3 + 2 2 .a b應(yīng)用上述解法，求解下列問題：(1)已知a, b, c =(0,+w)， a + b + c = 1 ，求 y = 1 + 1 + 1 的最小值； a b c(2)已知 x = (|(0, )| ，求函數(shù) y = + 1-82x 的最小值；(3)已知正數(shù)a , a , a ,L , a ， a + a + a + L + a = 1， 1 2 3 n 1 2 3 na + a a + a a + a a + a 2求證： S = a + a + a +L + a 1 .1 2 2 3 3 4 n 1解(

25、1) y = + + = (|( + + )|(a + b + c)= 3 + (|( + + + + + )| ，而 b + a + c + a + c + b 6 ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c = 1 時(shí)取到等號(hào)，則 y 9 ，a b a c b c 3即 y = 1 + 1 + 1 的最小值為9 .a b c(2) y = + 1-82x = (|( + 1-82x)| . (2x +1- 2x)= 10 + 2 . + 8 . 而 x = (|(0, )| ， 2 . + 8 . 2 16 = 8 ，當(dāng)且僅當(dāng)2 . = 8 . ，即 x = = (|(0, )| 時(shí)取到等號(hào)，則 y 1

26、8 ，所以函數(shù) y = + 的最小值為18 .1 8x 1- 2x(3) 2S = (|( a1 a2 + a2 a3 +L + an a1 )|(a1 + a2 )+(a2 + a3 )+L +(an + a1 )10= (a + a +L + a )+ . (a2 + a3 )+ . (a1 + a2 )+L + . (a1 + a2 )+ . (an + a1 ) (a2 + a2 +L + a2 )+(2a a + 2a a +L + 2a a )= (a + a +L + a )2 = 11 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 n當(dāng)且僅當(dāng)a = a = L = a = 時(shí)取到等號(hào)

27、，則S .1 11 2 n n 221 (本題滿分 18 分)本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 8 分a b設(shè)橢圓 E 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a 、短半軸長(zhǎng)為b ，橢圓 E 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a 、短半軸長(zhǎng)為b ，若 1 = 1 ，則我1 1 1 2 2 2 a b2 2們稱橢圓E 與橢圓 E 是相似橢圓已知橢圓E : + y2 = 1 ，其左頂點(diǎn)為 A 、右頂點(diǎn)為B x21 2 2(1)設(shè)橢圓E 與橢圓F : + = 1 是“相似橢圓”，求常數(shù)s 的值； s 2(2) 設(shè)橢圓G : x2 + y2 = 入 (0 入 2)是相似橢圓橢圓 H 上異于 A, B 的任意一點(diǎn)C(x , y )，2 t 0