感悟“數(shù)形結(jié)合”-從“方法”到“思想”的飛躍

1、感悟“數(shù)形結(jié)合從“方法到“思想的飛躍數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)和形關(guān)系非常親密。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合符合兒童的認知規(guī)律我深深地體會到在數(shù)學(xué)教學(xué)中浸透“數(shù)形結(jié)合的思想將帶給學(xué)生無窮的力量?！皵?shù)形結(jié)合思想就是使抽象思維和形象思維互相作用實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的互相轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合的方法具有雙向性：借助“形的生動和直觀性認識“數(shù)即以“形為手段，“數(shù)為目的；或借助于“數(shù)準(zhǔn)確和標(biāo)準(zhǔn)地說明“形的屬性。此時，“數(shù)是手段在新課程理念下。教學(xué)中我注重“數(shù)形結(jié)合思想的浸透使學(xué)生的才能得到了很大的提升，也改變著我的教育教學(xué)觀一、以“

2、形為起點充分利用教材使學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合“形具有形象直觀的優(yōu)勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的優(yōu)勢只有以簡潔的數(shù)學(xué)描繪、形式化的數(shù)學(xué)模型表達“形的特性才能更好地表達數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力。以“形為起點，充分利用教材使學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合在北師大版第九冊教材?點陣中的規(guī)律?教學(xué)時我不斷地問自己“利用點陣來研究數(shù)的規(guī)律其更為深化的價值在哪?在深化分析研究教材的根底上，我認為本節(jié)課的教學(xué)旨在讓學(xué)生體會到我們借助點陣可以研究數(shù)的規(guī)律而這些規(guī)律假如僅僅研究數(shù)將是很困難的以“形為起點，使學(xué)生探究出更多的“數(shù)的規(guī)律教學(xué)設(shè)計時，我充分讓學(xué)生利用自己手中的點陣圖認真觀察，提出活動要求：(1)獨立考慮從不同角度

3、觀察正方形點陣。你發(fā)現(xiàn)點陣中有哪些不同的排列規(guī)律，并在圖中表示出來(2)組內(nèi)交流。說一說你發(fā)現(xiàn)的排列規(guī)律試著用算式表示出來。學(xué)生在圖形的幫助下理解圖形中點的個數(shù)1，4，9，16，25這些有規(guī)律的數(shù)是完全平方數(shù)進而利用圖形動手畫一畫可以發(fā)現(xiàn)更重要的規(guī)律1從一角向外擴展來看：1=1，4=1+3，9=t+3+5，16=1+3+5+7，25=1+3+5+7+9+1l每一個正方形數(shù)都可以寫成幾個連續(xù)奇數(shù)的和，奇數(shù)的個數(shù)與點陣中的行數(shù)和列數(shù)一樣。進而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了重要的奇數(shù)列前n項和公式：1+3+5+7+9+(2n1)-n2斜著看：1=l4=1+2+19=1+2+3+2+116=l+2+3+4+3+2+12

4、5=l+2+3+4+5+4+3+2+l每一個正方形數(shù)都可以寫成從1開場連續(xù)加到點陣中的行數(shù)再遞減加到1的連加算式進而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了求和的重要公式：1+2+3+4+(n-I)+n+(n一1)+4+3+2+1=n2看似一節(jié)看圖找規(guī)律的數(shù)學(xué)課正是因為有了圖形激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，鍛煉了學(xué)生的思維在短短的一節(jié)課中學(xué)生們總結(jié)出了一條又一條的重要公式以“形為起點，學(xué)生們嘗到了“數(shù)形結(jié)合帶給他們的快樂。二、以“形助“數(shù)在直觀中理解數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給學(xué)生以直觀感，讓學(xué)生從已有的知識經(jīng)歷出發(fā)，親歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型為理解數(shù)學(xué)概念奠定基矗老師通過

5、以“形，助“數(shù)突出圖的形象思維，促進學(xué)生形象思維與抽象思維的有機結(jié)合，化繁為簡，化難為易讓學(xué)生用多種感覺器官充分感知，在形成表象的根底上進展想象、聯(lián)想，到達最終理解數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思想的目的。案例1在學(xué)習(xí)了分數(shù)的意義和根本性質(zhì)后我設(shè)計了如下的活動。利用方格紙(中學(xué)中的坐標(biāo)系)幫助學(xué)生再次認識“方格紙中的分數(shù)。小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有到了學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計圖時才出現(xiàn)了坐標(biāo)系的影子。但方格紙卻是學(xué)生數(shù)學(xué)課上常用的學(xué)具把方格紙上畫出互相垂直的兩條數(shù)軸，這就是數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)造的平面直角坐標(biāo)系了。由于分數(shù)是由分子、分母這兩個位置上的自然數(shù)構(gòu)成的所以可以用平面上的點表示它。把分數(shù)如圖4所示：用橫軸點表

6、示分母，縱軸上的點表示分2/3可以用過橫軸上“3點的縱線與過縱軸“2這一點線的交點A來表示，可以用的B點來表示。5/7、4/9、7/10該樣表示呢?學(xué)生很快就把分數(shù)表示在圖中。這樣表示分數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)什么呢?假如將0點(也稱坐示原點)與這些點分別連接起來，再用一把直尺放在橫軸上按逆時針方向?qū)⒅背呃@原點0漸漸旋轉(zhuǎn)，掃到的第一個分數(shù)是1/6，第二個是4/9，然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我們發(fā)現(xiàn)通過很費事的通分可以比擬這六個分數(shù)的大小，如今我們用直尺逆時針掃過分數(shù)的順序也是比擬分數(shù)大小的又一個新方法，分數(shù)從小到大排列為1/64/92/37/105/73/4。只把分數(shù)畫在方格紙上，找到在方

7、格紙中的位置就可以比擬分數(shù)的大小了。利用這種方法，學(xué)生把2/3、4/6、6/9畫在方格紙上學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這些、分數(shù)恰好位于同一條直線上，分數(shù)的根本性質(zhì)也就被“畫在了方格紙上。將某一個詳細的平面圖形平均分、涂陰影來表示分數(shù)。是從分數(shù)的意義角度，而這里實際上是將直線與分數(shù)建立了聯(lián)絡(luò)(也就是用直線斜率表示分數(shù))。學(xué)生從這個角度去認識分數(shù)，不僅能初步感受到分數(shù)的大小是由分子、分母兩個數(shù)共同決定的而且可以對坐標(biāo)系有一個初步的理解對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常有益的。學(xué)生在我精心設(shè)計的課堂上再次體會了數(shù)與形的完美結(jié)合，學(xué)生把分數(shù)畫到方格紙(坐標(biāo)系的時候我想他們對分數(shù)的理解又有了獨特的想法。案例2前不久我聽了一節(jié)“兩位

8、數(shù)乘兩位數(shù)，的評優(yōu)課。這位老師是把枯燥的計算教學(xué)課與圖形“點子圖聯(lián)絡(luò)在一起，數(shù)與形的有機結(jié)合發(fā)散了學(xué)生的思維。例題是：同學(xué)們站隊用“點來表示隊列中的學(xué)生，14x12或12x14得多少7下面是學(xué)生利用手中的點子圖想出解決這道計算題的策略(圖5)。這個案例教學(xué)伊始，老師直接創(chuàng)設(shè)點子圖的數(shù)學(xué)活動通過這些活動激活學(xué)生的形象思維，透過數(shù)學(xué)潛在的“形與“數(shù)的關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維相結(jié)合。為研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)借助直觀來理解算理。進而為培養(yǎng)學(xué)生的抽象才能打下良好的根底有效地實現(xiàn)原有知識與新知識之間的鏈接誘發(fā)學(xué)生探究與學(xué)習(xí)的欲望，激活學(xué)生的思維這說明以“形助“數(shù)，能把

9、許多抽象概念和性質(zhì)、運算化為直觀形象。將這些較難的數(shù)學(xué)問題借助圖形，可幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，找到解題的捷徑。三、感悟“數(shù)形結(jié)合思想從“方法到“思想的飛躍通過教學(xué)理論我深化地感受到一種數(shù)學(xué)思想的浸透決不是一朝一夕可以到達的只有在點滴的教學(xué)中浸透“數(shù)形結(jié)合思想使學(xué)生逐步學(xué)會看數(shù)想形、看形想數(shù)才能使學(xué)生的思維得到飛躍。運用數(shù)形結(jié)合思想有時能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)變得比擬直觀成為解決問題的有效方法之一在分析問題的過程中注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察根據(jù)問題的詳細情形把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題使復(fù)雜問題簡單化抽象問題詳細化化難為易。(一)在學(xué)習(xí)完分數(shù)加減法后我設(shè)計一道題

10、：“一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半就這樣每次都喝了上一次剩下的一半問小明喝了五次后一共喝了這杯牛奶的幾分之幾。學(xué)生一般把五次所喝的牛奶加起來列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的幾分之幾。但這并不是最好的解題策略這時有學(xué)生敢于創(chuàng)新提出畫一個正方形(如圖6)，并假設(shè)這個正方形的面積為單位l。學(xué)生從圖中直觀地得出從第一次開場每喝一次都減少一半所剩的數(shù)量依次為最后計算結(jié)果為。在這里根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙、和諧地結(jié)合在一起學(xué)生正是在這樣的學(xué)習(xí)過程中，體會“數(shù)形結(jié)合的思想到達了一次從“方法到“思想的飛躍(二)數(shù)軸上找倒數(shù)

11、深化對“倒數(shù)的認識乘積是l的兩個數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念對于學(xué)生來說并不難理解從教材的編排上看“倒數(shù)的認識是為后面學(xué)習(xí)分數(shù)除法而專門設(shè)置的學(xué)生對這個概念的理解僅僅停留在對語義理解的層面上形象的解釋為分子分母互問顛倒的兩個數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念除了為后面學(xué)習(xí)分數(shù)除法做準(zhǔn)備外恰當(dāng)?shù)睦谩皵?shù)形結(jié)合的思想使分數(shù)與數(shù)軸上的點之間有機的聯(lián)絡(luò)起來使學(xué)生的思維得到飛躍。在?倒數(shù)?一課中，我設(shè)計了這樣幾個練習(xí)，使學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合思想。通過找倒數(shù)并標(biāo)在數(shù)軸上這一活動由于已經(jīng)看到了真分數(shù)與假分數(shù)分別在1的左右兩邊。學(xué)生很快得出了“真分數(shù)的倒數(shù)都大于1，假分數(shù)(不等于1)的倒數(shù)小于1的結(jié)論有些學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“分數(shù)越大倒數(shù)越

12、小的規(guī)律(分數(shù)大于0)。由于數(shù)軸實現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)姻將數(shù)與直線上的點建立了對應(yīng)關(guān)系提醒了數(shù)與形的內(nèi)在的聯(lián)絡(luò)數(shù)軸使抽象的數(shù)有“形可依。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們巧用這種帶有箭頭和刻度的射線(其實就是數(shù)軸的正半軸)，可以幫助學(xué)生感知數(shù)的大小與位置的關(guān)系“高明的理論不僅是如今用以理解現(xiàn)象的工具而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具。“數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想方法之一它也是數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的對于學(xué)生“不管他們將來從事什么工作唯有深深地銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法后對于小學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解性

13、記憶是非常有益的四、數(shù)與形巧聯(lián)絡(luò)小學(xué)生可以理解的幾個中學(xué)數(shù)學(xué)公式小學(xué)課外數(shù)學(xué)的教學(xué)中尤其是巧算的教學(xué)中經(jīng)常會用到平方差、完全平方公式，由于沒有學(xué)過初中的代數(shù)式的相關(guān)知識這些公式的掌握學(xué)生只能單純靠記憶。其實假如巧用圖形將這些公式與圖形結(jié)合起來與平面圖形的面積計算聯(lián)絡(luò)起來這些對于小學(xué)生來說非常深奧的公式也是完全可以理解的(一)平方差公式：學(xué)生在學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)、用含有字母的算式表示長正方形面積的計算公式之后，學(xué)生再看到a2很容易想到它表示邊長為a的正方形的面積，而(a+b)(a-b)應(yīng)該是長(a+h)寬(a-h)的長方形的面積，有這些做根底學(xué)生理解起平方差公式應(yīng)該并不困難。我們把a、b分別想成

14、是一大一小兩個正方形的邊長那么az、bz應(yīng)該分別是這兩個正方形的面積az_bz就應(yīng)該是大正方形與小正方形的面積的差也就是上圖中的涂色局部我們把灰色局部進展割補之后會發(fā)現(xiàn)灰色局部成為一個長方形，而這個長方形的長是(a+b)，寬是(ab)，面積自然就是(a+b)fa-b1。面積在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個比擬特殊的概念一方面它是描繪平面圖形大小的一個數(shù)量另一方面在計算面積時又會用到代數(shù)的計算方法(在小學(xué)階段主要是乘法)，它可以將幾何與代數(shù)建立起聯(lián)絡(luò)就像解析幾何一樣，真可謂是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個多面手，巧用面積的概念，還可以幫助我們理解下面的完全平方公式(二)完全平方公式：理解完全平方公式與平方差公式類似我們把a+b看成是一個大正方形的邊長那么這個正方形的面積(a+b)z是由四局部組成的(如圖8)，兩個正方形邊長分別是a,b兩個全等的長方形。長a、寬b，所以大正方形的面積是a2+2ab+b2學(xué)生借助這些圖形結(jié)合學(xué)過的面積公式及字母表示數(shù)的知識很容易就能理解和掌握這