同濟(jì)大學(xué)概率論期末考題及答案

1、(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.備用數(shù)據(jù)：0975(9)=2.2622,加025(9)=2.7004,975(9)=19.0228,(2.25)=0.9878.一、填空題(18分)1、已知隨機(jī)事件4”滿(mǎn)足P(AF)=0.3,P(A)=0.7,則P(AB)=,P(AuB)=.2、設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,現(xiàn)從中隨機(jī)地取出一件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)取到的這件不是三等品，在此條件下取到的這件產(chǎn)品是一等品的概率為,在此條件下取到的這件產(chǎn)品是二等品的概率為.(X+X+XF3、設(shè)獨(dú)立且服從相同的分布，X】N(0)Y=c=一當(dāng)常數(shù)c二時(shí)，服(Xj

2、Xj從自由度為的F分布.二、(12分)兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一機(jī)床加工的零件的不合格品率為5%,第二臺(tái)機(jī)床加工的零件的不合格品率為8%.加工出來(lái)的零件放在一起，已知第一臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)量是第二臺(tái)機(jī)床加工零件數(shù)量的兩倍.現(xiàn)從兩臺(tái)機(jī)床加工的零件中隨機(jī)地抽取了一個(gè)零件.求抽到的這個(gè)零件是合格品的概率；若已知抽到的這個(gè)零件是不合格品，求它是由第二臺(tái)機(jī)床加工的概率.三、(16分)設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)為01200.250.100.3010.150.150.05定義隨機(jī)變量Z=max(X1,XJ求(1)X|和X2的邊緣概率函數(shù)；(2)Z的概率函數(shù)：(X,Z)的聯(lián)合概率函數(shù)；(4)E(Z),D(Z)

3、和cov(XZ)四、(16分)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為y0yi).五、(12分)假定某電視節(jié)目在上海市的收視率為20%,有調(diào)查公司準(zhǔn)備在上海市隨機(jī)調(diào)查8100戶(hù)居民家庭，記X為彼調(diào)查的8100戶(hù)居民家庭中收看該電視節(jié)目的戶(hù)數(shù).用中心極限定理求概率-0.20O.Olj的近似值；(|8100丿如杲調(diào)查完成后發(fā)現(xiàn)8100戶(hù)居民家庭中有1458戶(hù)收看該電視節(jié)目，問(wèn)：你會(huì)相信該電視節(jié)目在上海市的收視率為20%嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.六、(14分)設(shè)某種材料的抗壓強(qiáng)度X服從止態(tài)分布NgQ、)，現(xiàn)對(duì)10個(gè)試驗(yàn)件做抗壓試驗(yàn)，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)1010血山“單位：公斤/亦)，并由此算出工=4600,工#=2124

4、100.分別求“和o的置信水平/=i1=10.95的雙側(cè)置信區(qū)間.七、(12分)設(shè)X”兀心是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本總體X服從止態(tài)分布均未知.記0=E(X2).分別寫(xiě)出，亍的極大似然估計(jì)量：(2)求0的極大似然估計(jì)量N問(wèn)：&的極大似然估計(jì)量$是否為8的無(wú)偏估計(jì)？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.備用數(shù)據(jù):。99=2.326,4剜（99片兒如=2.575,壯如（99）=66.510,加鄧（99）=138.987.一、選擇題（20分）1、下列結(jié)論哪一個(gè)不正確（）（4）設(shè)A,B為任意蔭個(gè)事件，則AuB-A=3;3）若A=5則A,B同時(shí)發(fā)生或A,

5、B同時(shí)不發(fā)生;（C）若Au且BU4,則4=3;（D）若Au乩則A-B是不可能事件.2、設(shè)（X,y）的聯(lián)合概率函數(shù)為則（1）p（iyo）等于（、1、3,、7（5）2；（C）；（）012300.1250.250.1250100.1250.250.125(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.(C)（2）Z=X+Y的概率函數(shù)為(A)(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

6、z01234概率0.1250.3750.250.1250.125(B)Z1234概率0.3750.250.250.125z1234概率0.1250.250.250.375(Q)z01234概率0.1250.250.250.250.125(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.3、如果EX5EY*s,且X與Y滿(mǎn)足D(X+Y)=D(X-Y),則必有()(4)x與y獨(dú)立：(b)x與y不相關(guān)：(c)z)(r)=o：(z)D(x)D(y)=o.4、若D(J)=25,D(y)=36,X與Y的

7、相關(guān)系數(shù)p(X,r)=0.4,則X,y的協(xié)方差Cov(X.Y)等于()(4)5;(F)10;(c)12;(D)36.z14二、(12分)設(shè)x,y為隨機(jī)變量，且p(xo,ro)=y,p(xo)=p(yo)=-求(1)P(niin(X,r)0).三、(10分)一個(gè)男子在某城市的一條街道遭到背后襲擊和搶劫，他斷言?xún)捶甘呛谌?。然而，?dāng)調(diào)查這一案件的警察在可比較的光照條件下多次重新展現(xiàn)現(xiàn)場(chǎng)情況時(shí)，發(fā)現(xiàn)受害者止確識(shí)別襲擊者膚色的概率只有80%,假定兇犯是本地人，而在這個(gè)城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，問(wèn)：在這位男子斷言?xún)捶甘呛谌说那闆r下，襲擊他的兇犯確實(shí)是照人的概率是多

8、大？問(wèn)：在這位男子斷言?xún)捶甘呛谌说那闆r下，襲擊他的兇犯是白人的概率是多大？四、(10分)某商業(yè)中心有甲、乙兩家影城，假設(shè)現(xiàn)有1600位觀眾去這個(gè)商業(yè)中心的影城看電影，每位觀眾隨機(jī)地選擇這兩家影城中的一家，且各位觀眾選擇哪家影城是相互獨(dú)立的。問(wèn)：影城甲至少應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位，才能保證因缺少座位而使觀眾離影城甲而去的概率小F0.01.(要求用中心極限定理求解)五、(16分)設(shè)隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為2,0vxy1其它(113、分別求x,y的邊緣密度函數(shù)；求pox-y氣其中謝未知參數(shù)，0紐.0,其匕求&的極大似然估計(jì)記&=丄,求參數(shù)0的極大似然估計(jì)；0問(wèn)：在(2)中求得的Q的極大似然估計(jì)是否

9、為a的無(wú)偏估計(jì)？請(qǐng)說(shuō)明理由。(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.備用數(shù)據(jù)：0(1.11)=0.8665,0(2)=0.9772,0(1.645)=0.95.仏=2.31,(8)=2.18,/(;975(8)=17.50一、填空題(共12分)1、在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)取出兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,記A=x=r,=x+r8).二、選擇題(12分，每小題4分，將答案填在()內(nèi))1、設(shè)0vP(4)vl,0vP(F)vl,且P(4阿)+P(平)=1,則下列選項(xiàng)中必定成立的是()(A)事件A和事件尸互不相容：事件A是事件尸的對(duì)立事件；(C)事件A和事件F不獨(dú)立：(D)事件A

10、和事件尸相互獨(dú)立.2、對(duì)任意常數(shù)aMab),已知隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(Xa)=a,P(X=0.記p=P(aXb則下列選項(xiàng)中必定成立的是()(A)P=1(Q+0)；(B)pni(Q+0)；(C)卩工1一(0+0)；(D)pX,X2,X3,X4相互獨(dú)立且均服從相同的正態(tài)分布，即X,N(0,b)，cr0.則下列隨機(jī)變量中不服從龍$分布的是()(A)丄X；+丄(2X.+3X.)2:(B)丄丄(6X|+5Xj+X：；crL13Jcr61L1(C)1(3X1+2X2)2+(4X3+3X4)2:(D)右*(2X|+Xj+圭(4/+3X/.三、（10分）在一個(gè)袋中有15個(gè)相同的乒乓球，球上分別寫(xiě)有1,2,，15甲

11、，乙兩人先后從袋中不放回地取出一個(gè)球.（1）求甲取到的球上的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率；（2）若已知甲取到的球上的數(shù)字是3的倍數(shù)，求乙取到的球上的數(shù)字大于甲取到的球上數(shù)字的概率.四、（12分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且服從相同的分布，X服從區(qū)間0,2上的均勻分布，記z=|x-r|.（1）求Z的密度函數(shù)/（）：求E(Z)和D(Z).(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.五、（16分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為k.0 x2yx1;.0,其他（1）求常數(shù)R:（2）分別求X,丫的邊

12、緣密度函數(shù);求條件密度函數(shù)f|x（）X），fx|r（X-）六、（12分）某汽車(chē)銷(xiāo)售點(diǎn)每天售出的汽車(chē)數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布,若一年365天這個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)都經(jīng)營(yíng)汽車(chē)銷(xiāo)售,且每天出售的汽車(chē)數(shù)相互獨(dú)立，試用中心極限定理求該汽車(chē)銷(xiāo)售點(diǎn)一年中售出的汽車(chē)數(shù)大于700輛的概率.七、（12分）設(shè)某種新型塑料的抗壓力X服從止態(tài)分布9個(gè)試驗(yàn)件做壓力試驗(yàn)，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)（單位：lOMPa）,并由此算出樣本均值和樣本方差分別為工=457,2=36,分別求“和O的置信水平0.95的雙側(cè)置信區(qū)間.八、（14分）某車(chē)間生產(chǎn)了一批產(chǎn)品，現(xiàn)要估計(jì)這批產(chǎn)品的不合格率宀隨機(jī)抽取了容量為n的樣本v卩，取到的第j件產(chǎn)品為不合格品；一o,取到

13、的第j件產(chǎn)品為合格品。求卩的極大似然估計(jì)量戶(hù)；（2）問(wèn)：卩的極大似然估計(jì)量戶(hù)是否為的無(wú)偏估計(jì)量？請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）若抽查了這批產(chǎn)品中的100件,發(fā)現(xiàn)其中只有92件合格品求這批產(chǎn)品的不合格率的極大似然估計(jì)值.備用數(shù)據(jù)：(0.833)=0.80,(1.645)=0.95,ZO95(9)=1.8331,05(9)=3325,(9)=16.919.一、填空題(共18分，每小題6分)TOC o 1-5 h z1、已知P(A)=0.5,P3)=0.6,P(B|4)=0.8,則P(43)二，P(A引二,P(AJB)=.5r40Xa)=P(X1)0(B)尸=0.5e2x00.5e2xx0.三、(10分)在某外

14、貿(mào)公司出1罐頭的索賠事件中，有50%是質(zhì)量問(wèn)題引起的，有30%是數(shù)量短缺問(wèn)題引起的，有20%是包裝問(wèn)題引起又已知在質(zhì)量問(wèn)題引起的索賠事件中經(jīng)協(xié)商解決的占40%,數(shù)量短缺引起的索賠事件中經(jīng)協(xié)商解決的占60%,包裝問(wèn)題引起的索賠事件中經(jīng)協(xié)商解決的占75%.現(xiàn)在該公司遇到一出口罐頭的索賠事件.（1）求該索賠事件經(jīng)協(xié)商解決的概率；（2）若已知該索賠事件最終經(jīng)協(xié)商解決，求該索賠事件不是由于質(zhì)量問(wèn)題引起的概率.四、（12分）設(shè)隨機(jī)變量x的概率函數(shù)為p（x=i）=p（x=i）=o.25,p（x=o）=o.5，隨機(jī)變量y服從（nB1-I3丿，且P（XY=0）=1.求（X“）的聯(lián)合概率函數(shù)：（2）求E（XY）和

15、cov（X,7）；（3）問(wèn)：X是否相互獨(dú)立？是否不相關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由.五、（14分）設(shè)隨機(jī)變量（X）的聯(lián)合密度函數(shù)為#（6-x-y）,0 x2,0y4;心叫,其他（1）求常數(shù)R:（2）分別求x,y的邊緣密度函數(shù)：（3）問(wèn)：是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由；求P（X+Y4）.六、（10分）設(shè)某出租汽車(chē)公司有3600輛出租車(chē)，每輛車(chē)明年需大修的概率為0.36.各輛車(chē)每年是否需要大修是相互獨(dú)立的記X表示明年該公司需大修的車(chē)輛數(shù).求概率P（1272X2=,這里20為未知參數(shù).分別求2的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量:（2）問(wèn)：2的極大似然估計(jì)量2是否為兄的無(wú)偏估計(jì)量？請(qǐng)說(shuō)明理由.Date:Place:1(1)分別求X

16、,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.dACD&C040仏丹耳j(hJlReminders囚84玉伽）二。*|。、艸ff71s5花竝能/）二2社后加?jì)DJVon）侔二Pr噸035b砒啰。為012Xi0I2M4。30o3o叮2/。2|2/【W(wǎng)/-Xt-（l龍企5中）。竭呵勁0/戾余Date:Place:1(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.-flL丄1o羽馳金竺1二將74“X對(duì)）二2弭為小斶NW鬭込卜圈4坤巾找iU或3Mi則礙伽號(hào)例砌岫）（2。妣叫77；J9JL&3片號(hào)臉何盪_丁匸爪）二8.Date:Place:(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.Reminderso51-2.卻枷仏為匕Xi。|2丫oXapyWoJTcHrTfj0巧0占廿3牛才DB工H20期、囚ISfd小卩叭。Vudidfx辛訃g/I07心久勺7TTDate:Place:(1)分別求X,Y的邊緣密度函數(shù);(2)試問(wèn)：X,丫是否相互獨(dú)立？請(qǐng)說(shuō)明理由.!0注6（箱億詢(xún)勺_i0臨辺迥如拠1滬病*如久柿iyN%R）二）4丿三竽J-0T-珈-辦