高中必修1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)中恒成立及存在性問題的基本方法初探

1、函數(shù)中恒成立及存在性問題的基本方法初探高一數(shù)學(xué)組 劉曉東函數(shù)中的恒成立及存在性問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生對這兩類問題理解不深刻，學(xué)生很容易犯錯誤。對恒成立及存在性問題我們可以從不同的維度進(jìn)行全面的理解。首先我們對恒成立問題可以從以下的一些方面進(jìn)行理解。首先恒成立問題可以用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行表述：對任意的x屬于閉區(qū)間D，有f(x)a恒成立等價(jià)于f(x)mina。我們還可以用圖形語言表示為：函數(shù)f(x)的圖像在y=a的圖像的上方等價(jià)于f(x)圖像的最低點(diǎn)在y=a的圖像上方等價(jià)于f(x)mina。我們還可以用日常的語言進(jìn)行描述：對函數(shù)f(x)的每一函數(shù)值都大于a等價(jià)于f(x)mina。對存在性問題我們

2、也可以從以上的三個(gè)方面進(jìn)行理解。首先存在性問題可以用數(shù)學(xué)符合語言進(jìn)行表述：存在x0屬于閉區(qū)間D，使f(x0)a成立；等價(jià)于不等式f(x)a，在x屬于閉區(qū)間D有解；等價(jià)于不等式f(x)a，在x屬于閉區(qū)間D的解集非空；等價(jià)于f(x)maxa。我們還可以用圖形語言表示為：函數(shù)f(x)的圖像上有點(diǎn)在直線y=a的上方；等價(jià)于函數(shù)f(x)圖像上的最高點(diǎn)在直線y=a的上方；等價(jià)于f(x)mina。我們還可以用日常的語言進(jìn)行描述：數(shù)f(x)的函數(shù)值有比a大等價(jià)于f(x)maxa。下面我們就對具體的實(shí)例從這三個(gè)方面對這兩類問題進(jìn)行比較分析。例1、若函數(shù)f(x)=ln(x2+4x+t)的定義域、值域分別為R，求相

3、應(yīng)的t的取值范圍。分析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+4x+t0對 xR恒成立；函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+4x+t取遍所有的正數(shù)。解： eq oac(,1)法一：“利用二次函數(shù)的恒成立”函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+4x+t0對 xR恒成立。故法二：“分離參數(shù)法”函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+4x+t0對 xR恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為t-x2-4x對xR恒成立。故t(-x2-4x)maxy=-x2-4x=-(x+2)2+4 ymax=4 故t4 eq oac(,2)函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+4x+t取遍所有的正數(shù)。故例2、已知函數(shù)f(x)=x2+

4、ax+3 eq oac(,1)若f(x)=0在閉區(qū)間1,4有解，則a的取值范圍為 。 eq oac(,2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,4內(nèi)存在x0使f(x0)0，則a的取值范圍為 。 eq oac(,3)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,4上恒為正數(shù)，則a的取值范圍為 。分析： eq oac(,1) eq oac(,2)都屬于存在性問題題干中出現(xiàn)了典型存在性問題的詞句“有解”和“存在”，用存在性問題的常規(guī)解法解決等價(jià)于f(x)max0。 eq oac(,3)屬于典型的恒成立問題，用恒成立的常規(guī)解法等價(jià)于f(x)min0。解： eq oac(,1)法一：“利用二次函數(shù)的知識解決” 當(dāng)f(x)=0在1,4內(nèi)有一

5、解時(shí)：f(1)f(4)0即（4+a）(19+4a) 0 故 當(dāng)f(x)=0在1,4內(nèi)有兩解時(shí)，且x1x2=3 綜上所述：a的取值范圍為 法二：“利用參數(shù)分離法” 方程f(x)=0在1,4有解等價(jià)轉(zhuǎn)化成-a=x+ 等價(jià)轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=-a和函數(shù)y= x+在1,4有交點(diǎn)。 函數(shù)y= x+是對號函數(shù)在1,上是減函數(shù)，在,4上是增函數(shù)。在x=處取最小值2，在x=4處取最大值。 故 即故a的取值范圍為 eq oac(,2)法一：“利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值”當(dāng)-即a時(shí)，f(x)max=f(4)=19+4a0 故a-當(dāng)-即a時(shí)，f(x)max=f(1)=4+a0 a-4故無實(shí)數(shù)a滿足條件 綜上所述：實(shí)數(shù)a

6、的取值范圍為 a-法二：“分離參數(shù)法”不等式x2+ax+30在1,4有解等價(jià)轉(zhuǎn)化為-axx2+3 在1,4有解，等價(jià)轉(zhuǎn)化為-ax+在1,4有解。y= x+在1,上是減函數(shù)，在,4上是增函數(shù)。在x=處取最小值2，在x=4處取最大值。故-a-. eq oac(,3)法一：”分離參數(shù)法”不等式x2+ax+30在1,4恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為-axx2+3 在1,4恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為-ax+在1,4恒成立。y= x+在1,上是減函數(shù)，在,4上是增函數(shù)。在x=處取最小值2，在x=4處取最大值。故-a-2.法二：“利用二次函數(shù)的閉區(qū)間上最值”當(dāng)-1即a-2時(shí)，函數(shù)f(x)在1,4上是增函數(shù)f(x)min=f(1)

7、=4+a0 即a-4當(dāng)1-4即-8a0 即-2a0 即a-.所以無實(shí)數(shù)a滿足條件。綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a-2.例3、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：法一：“分離參數(shù)法”令t=2x，則0t.不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)成（m2-m）t2-t0對0t恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)成m2-m對0t恒成立。故m2-m2 即-1m2故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，2）法二：“利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值”t=2x，則0t.不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)成（m2-m）t2-t0對0t恒成立。令f(t)= (m2-m)t2-t (0t)當(dāng)m2-m=0即m=0或m=1時(shí)，f(t)=-t0即m1或m0時(shí)，f()0即(m2-m)- 0解之得-1m2當(dāng)m2-m0即0m1時(shí)，函數(shù)f(t)的對稱軸t=g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：對任意的x1,x2(0,1)都有f(x1)g(x2)等價(jià)轉(zhuǎn)化f(x)ming(x)max解：函數(shù)g(x)在(0,1)上是增函數(shù)，故g(x)p+2x恒成立的x的取值范圍。分析：本題就是要轉(zhuǎn)換變量與參數(shù)的角度，以p為變量x為參數(shù)。解：原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為(x-1)p+x2-2x+10對于|p|2恒成立令f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, (|p|2 )函數(shù)f(p)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是一條直線段。即解之得：x3.故實(shí)數(shù) x的取值范圍為。以上我們從不同的角度對恒成立