初三數(shù)學(xué)幾何猜想證明

1、幾何猜想證明及答案1如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則BMECNE（不需證明）（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HEHF，從而12，再利用平行線性質(zhì)，可證得BMECNE）問(wèn)題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷OMN的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論問(wèn)題二：如圖3，在ABC中，ACAB，D點(diǎn)在AC上，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的

2、延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若EFC60，連結(jié)GD，判斷AGD的形狀并證明MH1EDAFN2DFAOMNCAGFBCDBBEEC圖1圖2圖3，2已知RtABC中，ACBC，C90，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF90EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1），易證SDEFS2CEF1SABC當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否eqoac(,S)ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)eqoac(,S)DEF成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，寫(xiě)出你的猜想，不需證明AAeqoac(,S)CEF、ADEDDCF圖1BE

3、C圖2FBCE圖3BF3已知：ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F（1）如圖l，若ABC為銳角三角形，且ABC45，過(guò)點(diǎn)F作FGBC，交直線AB于點(diǎn)G，求證：FGDCAD；（2）如圖2，若ABC135，過(guò)點(diǎn)F作FGBC，交直線AB于點(diǎn)G，則FG、DC、AD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明AAEGFEDCBDBC（圖1）F（圖2）G4已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖1），易證BMDNMN（1）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖2），線段BM，DN和MN

4、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明（2）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想ADADADNNBBCCMMMBC圖1圖2圖3N5已知：如圖，BD、CE分別是ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AFBD，AGCE，G垂足分別為F、，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG與直線BC相交，易證：FG若：12(ABBCAC)，（1）BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；（2）BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，并對(duì)其中的一種情況進(jìn)行證明。AA

5、EDAEEGFDDFGFG第26題圖1第26題圖2CBBBC第26題圖3CEMEM6已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如題圖1），易證AECFEF當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明AAABBBDCCFFNNDFCNDEM圖1圖2圖37已知AOB=900，在AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它

6、的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)D、E當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖1)，易證：OD+OE=2OC當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明圖1圖2圖38已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí)，則有結(jié)論：SPBCeqoac(,=S)PACeqoac(,+S)PCD理由：過(guò)點(diǎn)P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)圖l11111SPBC+SPAD=2BCPF+2ADPE=2BC（PF+PE）=2BCEF=

7、2S矩形ABCD1又eqoac(,S)PACeqoac(,+S)PCDeqoac(,+S)PAD=2S矩形ABCDeqoac(,C)eqoac(,C)CDSPBC+SPAD=SPACeqoac(,+S)PCDeqoac(,+S)PADSPB=SPAeqoac(,+S)PC請(qǐng)你參考上述信息，當(dāng)點(diǎn)P分別在圖2、圖3中的位置時(shí)，eqoac(,S)PB、eqoac(,S)PAC、SPCD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你對(duì)上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明圖2圖39已知：點(diǎn)C是MAN平分線上一點(diǎn)BCD兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B、D兩點(diǎn)，且BCDMAN=180.（1）當(dāng)MAN

8、=90（如圖l）時(shí)，求證：AB+AD=2AC;（2）若MAN=60（如圖2)，則AB、AD、AC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明邊在AD的右側(cè)作ADE，使ADAE，DAEBAC，連接CE10在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果BAC90，則BCE度；（2）設(shè)BAC，BCE如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論AAEEBBCDD圖1圖2AACBCBC備用圖備用圖11ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)

9、點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），ADE是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G，連接BE（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)求證：AEBADC；探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫(xiě)出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形？并說(shuō)明理由AAEFGBCDB圖1DCFE圖G12已知：如圖所示，直線MANB，MAB與NBA的平分線交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作一條直線l與兩條直線MA、NB分別相交于點(diǎn)D、E（1）如圖1所示，當(dāng)直線l與直線MA垂直時(shí)，猜

10、想線段AD、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2所示，當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點(diǎn)D、E都在AB的同側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明：如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點(diǎn)D、E在AB的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系MNMNMNMNADCDElABCBElACBACB圖1圖2備用圖備用圖13.圖中是一副三角板，45的三角板e(cuò)qoac(,Rt)DEF的直角頂點(diǎn)D恰好在30的三角板e(cuò)qoac(,Rt)ABC

11、斜邊AB的中點(diǎn)處，A=30o，E=45o，EDF=ACB=90o，DE交AC于點(diǎn)G，GMAB于M（1）如圖，當(dāng)DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，作CNAB于N，求證：AM=DN（2）如圖，當(dāng)DFAC時(shí)，DF交BC于H，作HNAB于N，（1）的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由E45EFC45CFGH30B30MDNMDNAGA第27題圖B14在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)四邊形BCGF和CDHN都是正方形AE的中點(diǎn)是M（1）如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)MMH；（2）將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，F(xiàn)G(N)HABC(M

12、)DE圖1求證：FMH是等腰直角三角形；FGN（3）將圖-2中的CE縮短到圖-3的情況，F(xiàn)MH還是等腰直角三角形嗎？（不必H說(shuō)明理由）ABCMD圖2FGENCHABMD圖3E15.如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90,B=60，BC=2點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0的直線l從與AC重合的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)0作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作CEAB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為.(1)當(dāng)=_度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為_(kāi)；當(dāng)=_度時(shí)，四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為_(kāi)；(2)當(dāng)=90時(shí),判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由16如圖，四邊形ABCD是正方

13、形,點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F.(1)求證：DEBF=EF(2)當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí),試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由(3)若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變請(qǐng)你在圖中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）17.如圖eqoac(,1)，若ABC和ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，AMN是等邊三角形（eqoac(,1)）當(dāng)把ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；1（eqoac(,2)）當(dāng)ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AMN是否還是等邊三角形？若

14、是，請(qǐng)給出證明，圖1圖2圖318將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中ACBDEB90，AD30，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F(1)求證：AFEFDE；(2eqoac(,)若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且060，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出(1)中的結(jié)論是否仍然成立；(3eqoac(,)若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且60180，其他條件不變，如圖你認(rèn)為(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由DBBBEECFACAFCA圖圖圖D19.如圖，在ABC中

15、，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF,DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF。若A=90，求證：BE2CF2EF2。如圖，在四邊形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。AAEEFBFCBDCD20已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（eqoac(,2)）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成

16、立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（eqoac(,3)）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）ADADGAEGEFFEBFCBC圖1圖2BC題圖3幾何猜想證明答案1.（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)HF、HEF是AD的中點(diǎn)，HFAB，HF12AB，同理，HECD，HE12CD，2EFCABCD，HFHE，EFC60，3EFCAFG60，eqoac(,?)AGF是等邊三角形AFFD，GFFD，F(xiàn)GDFDG30AGD90即AGD是直角三角形2.解：圖2成立

17、；圖3不成立證明圖2：過(guò)點(diǎn)D作DMAC，DNBC則DMEDNFMDN90再證MDENDF，DMDN有DMEDNFSDMESDNF四邊形DMCNSS四邊形DECFeqoac(,S)DEFeqoac(,S)CEF四邊形DMCN由信息可知S1S2ABCCEF2SDEFeqoac(,S)1eqoac(,S)ABC圖3不成立，SDEF、eqoac(,S)CEF、SABC的關(guān)系是：SDEFeqoac(,S)CEF21eqoac(,S)ABC，3.（1）證明：ADB90ABC45，BADABC45ADBDBEC90CBEC90DACC90CBEDACFDBCDA90eqoac(,?)FDBCDADFDC，G

18、FBD，AGFABC45AGFBADFAFG，F(xiàn)GDCFADFAD（2）FGDCAD4解：（1）BMDNMN成立把AND繞點(diǎn)A順時(shí)針90，得到ABE，則可證得E，B，M三點(diǎn)共線（圖形畫(huà)正確）證得：EAMNAM證得：AEeqoac(,M)ANMMEMNMEBEBMDNBMDNBMMN（2）DNBMMN51圖2結(jié)論為FG12(ABACBC)證明：分別延長(zhǎng)AG、AF交BC于H、eqoac(,K)，易證BAFBKF得AFKF，ABKB同理可證AGHG，ACHCFG12HK又HKBKBHABACBCFG12(ABACBC)1圖3結(jié)論為：FG(BCACAB)26圖2成立，圖3不成立證明圖2延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，

19、使CKAE，連結(jié)BK，則BAEBCK，BEBK，ABEKBC，KBFFBE60，證KBFEBF，KFEF，KCCFEF，即AECFEF圖3不成立，AE，CF，EF的關(guān)系是AECFEF7解：圖2結(jié)論：OD+OE=2OC證明：過(guò)C分別作OA、OB的垂線，垂足分別為P、QCPDCQE，DP=EQOP=OD+DP，DQ=OE-EQ又OP+0Q=20C，即OD+DP+OE-EQ=20COD+OE=20C圖3結(jié)論：OE-OD=2OC8圖2結(jié)論eqoac(,S)PBC=SPACeqoac(,+S)PCD；圖3結(jié)論SPBCeqoac(,=S)PAC-SPCD證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作EF垂直AD，分別交AD、BC

20、于E、F兩點(diǎn)111eqoac(,S)PBC=2BCPF=2BCPE+2BCEF111=2ADPE+2BCEF=eqoac(,S)PAD+2S矩形ABCD1eqoac(,=S)SPAC+SPCDPAD+SADCeqoac(,=S)PAD+2S矩形ABCDCDSPBC=SPACeqoac(,+S)P9（1）證明：過(guò)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為F、ECF=CE，四邊形AFCE為正方形FBCEDCAB+AD=2AF=2AC;（2）圖2結(jié)論：AB+AD=3AC；10（1）90（2）180理由：，先證ABDACEBACEBACBACEACBBACBBACB180，180當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，180

21、當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，11證明：ABC和ADE都是等邊三角形，AEAD，ABAC，EADBAC60又EABEADBAD，DACBACBAD，EABDAC，AEBADC由得AEBADC，ABEC60又BACC60，ABEBAC，EBGC又EGBC，四邊形BCGE是平行四邊形（2）都成立12：解：（1）ADBEAB（2）成立：在AB上截取AGAD，連接CG先證eqoac(,?)BGCBECBGBEADBEAGBGADBEAB（3）不成立存在當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上、點(diǎn)E在射線BN的反向延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），ADBEAB當(dāng)點(diǎn)D在射線AM的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在射線BN上時(shí)（如圖），BEADABBN

22、2PN2DNDB四邊形MNCD是矩形所以MDNC，同理AMBN，所以PM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2即PA2PC2PB2PD213證明：（1）A=30，ACB=90，D是AB的中點(diǎn)BC=BD，B=60BCD是等邊三角形又CNDB，12EDF=90，BCD是等邊三角形ADG=30，而A=30GA=GDGMABAM1AD2又AD=DBAM=DN（2）DFAC1=A=30，AGD=GDH=90，ADG=60B=60，AD=DB，ADGDBHAG=DH，又1=A，GMAB，HNAB，AMGDNHAM=DN14(1）證明：先證FBMMDHFM=MHFMB=DMH=45，F(xiàn)MH=90FMH

23、M（2）證明：連接MB、MD，如圖2，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P先證四邊形BCDM是平行四邊形CBM=CDM又FBP=HDC，F(xiàn)BM=MDH先證FBMMDHFM=MH，且MFB=HMDFMH=FMDHMD=APMMFB=FBP=90FMH是等腰直角三角形（3）是2AC=3.15（1）30，1；60，1.5；（2）當(dāng)=900時(shí)，四邊形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED.CE/AB,四邊形EDBC是平行四邊形.在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=23.AO=1在eqoac(,Rt)AOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC