概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件概率第五章5

1、第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理例題課堂練習(xí)小結(jié) 布置作業(yè) 中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和)影響所形成的.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個隨機(jī)因素的對彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪 ？ 如果一個隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大. 則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見. 現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨

2、機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.高斯 當(dāng)n無限增大時(shí)，這個和的極限分布是什么呢？ 由于無窮個隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量. 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.一、中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）注 3、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布.定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理)請注意 :定理6(棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理） 設(shè)隨機(jī)變量 (n=1,2,)服從參數(shù)n,p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對任意x，有證 定理表明，當(dāng)n很大，0

3、p1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.（2）解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,即其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826四、小結(jié)中心極限定理注這一節(jié)我們介紹了中心極限定理 在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理. 中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為