復(fù)變函數(shù)第四版1-3解讀

1、復(fù)變 函、乘積與商定理一兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘 數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和 .證 設(shè)復(fù)數(shù) Z 和 6 的三角形式分別為積；兩個復(fù)Z =i cosq + i sin 即, z2 =r 2cos02 +/sin 2, 貝 lb】9Z2 =r lcos0l +/sin I-r 2cos2 +/sin 2 =T| .廠 2【 cos0| cos&2 sin. sinE 9.+ i sin 0 cos 02 + cos % sin G2復(fù)變Z|-Z2 =/*. . 斑 88 01 +&2 + sin& +02 Argz tz2 = Arg + Argz,. 證畢 從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向

2、量分別為乙, J 先把乙按逆時針方向 旋轉(zhuǎn)一個角 &2, 再把它的模擴(kuò)大到 / *2 倍,所得向量 Z 就表示積 Z -z2.復(fù)變兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加 .說明 由于輻角的多值14, ArgZjZ 2 = Argz, + Argz 2 兩端都是無窮多個數(shù)構(gòu)成的兩個數(shù)集. ,對于左端的任一值,右端必有值與它相對應(yīng)例如,設(shè)Zx =-1, Z2 =h 就 zt -z2 =-b ArgZ =兀 + 2兀, = 91929.Arg. = - + 2/nn, m =0, 土 1, 士 2, ,Argz Iz2 = -. + 2A：7r, k =0, l, 2,., x z 故 - F 2 m

3、+ nn = + 2km 只須 R =加 + +1.2 2 如& = -1：貝 Ij 加=0, ” = 一 2 或 m復(fù)變函設(shè)復(fù)數(shù) Zl 和 S的指數(shù)形式分別為Z= ￥.9 就 ZrZ 2 -r 2ei0：由此可將結(jié)論推廣到個復(fù)數(shù)相乘的情形：設(shè) z& = rkcos0k isin0k = r kei$k9 k = 1,2,./Z . . . Zn = 你 5. HCOS（G +02 + . . + 0）+ i sin（ 0l + 0 丄 + + 0） = r.r 2. 嚴(yán)論 7 ）.例 1 已知 Z|=3（l 一 引）, Z2 =sin -icos, 求 Z. Z2和勺 .解由于 zx = c

4、os 一才丨 + isin 一 z2 = cos（- 彳 + i sin- 所以 Z -z 2 =cos_：_： 二 _ =F 6 丿.ZxI 3 6） | + isin（- 3 n n （兀兀、 .丫5 I 3 6 丿 I n it-+ Z2 例 2 已知正三角形的兩個頂點(diǎn)為勺另一個頂點(diǎn) 解如下列圖,將表示 Z2-Z 的向量 繞 旋轉(zhuǎn)=1 和 Z2=2 + I, 求它的孑或 -; ）就得J 3 1. J 到另一個向量,它的終點(diǎn)即為所求頂點(diǎn) S （或 w）.由于復(fù)數(shù)的模為1,轉(zhuǎn)角為名二、扇與根 1. 次幕：個相同復(fù)數(shù)Z 的乘積稱為 Z 的次幕 , 記作 z, z=z . z . z. - V

5、- 個對于任何正整數(shù) ,有 z =rn cosw +1 sin n 0. 假如我們定義 z“ =.,那么當(dāng)為負(fù)整數(shù)時,Z 上式仍成立復(fù)變函2.棣莫佛公式 棣莫佛介紹當(dāng) z 的模廠 =1,艮卩 z =cos0 + isin 仇 cos0 + isin0 =cos0 + isin0 .棣莫佛公式3 .方程以 =z 的根陷其中 z 為已知復(fù)數(shù)0 + 2 比兀 . 0-v2kn cos - F i sin “n 住= M,2,.m_l 推導(dǎo)過程如下 : 設(shè) z =rcos + /sin, w = pcos + /sinX 依據(jù)棣莫佛公式,wn = pu cos n pisinn p =fcos&+is

6、in0, 于是 Q=4 COS0 = COS0, sin0 = sin09 明顯 0 = & + 2. 兀 9 k =0, 1, 土 2. 斗- 0 + 2kn故 p=r X p = - 9 nW =pz Glkn . .cos 0 + 2& 兀 +1 sm n當(dāng) k = 0.12 山 - 1 時,得到個相異的根 : r1 cos-4-1 sin - I n n）+ isin 忙小 os& + 2j 異+ 2 幵, I n n J當(dāng) k 以其他整數(shù)值代入時,這些根又重復(fù)顯現(xiàn) . 0 + 2（ 一 0 + 2（一1）7T 1）兀n例如 & =時 , 從幾何上看 , 嚴(yán)為半徑的0 + Inn n+

7、 /sin 0 + Innn血的個值就是以【點(diǎn)為中心的內(nèi)接正邊形的” 個頂點(diǎn). 例 3 化簡 （l+i ）+ （l i）“ . 解 Em護(hù)剳= 2 cos 1 sin - 2 cos +V 3 = e 5a.iacosa+rsina-1 cosa+ sina + l Q .a 2sm由于 Z-sin +1 cos _2 -a 2 V =itan62cos. cos 號+ isin： 故原方程的根為z0 =0, Z|=itan ；9復(fù)變函 2例 7 如” 為自然數(shù),且x“ +iyn =1 + /V3M, 求證：兒 - 心兒“ “ 3.證 x, + 嘰=l + ij3 = 2 +1 sin it . n cos 3 3 =2,tcosy+/sin- 利用復(fù)數(shù)相等可知：2一 cos 上蟲 . 3w xn=2Mcos, 3 2W sin 曠- 2“ cos, K . 2一 sin 凹圧3 3 3 .nn / -ln sin 一=4心3. 等式得證 .三、小結(jié)與摸索 應(yīng)