四川省雅安市2021-2022學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、雅安市20212022學(xué)年下期期末檢測(cè)高中一年級(jí)數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的1. 已知向量，且，則實(shí)數(shù)（ ）A. -4B. -2C. -1D. 4A【分析】且，則，代入數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】,解得.故選：A.2. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公差（ ）A. -3B. 3C. -2D. 2A【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出【詳解】，則解得公差故選：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題3. 若，則下列不等式中正確的是（ ）A

2、. B. C. D. B【分析】取特殊值說明A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；再由的單調(diào)性說明B選項(xiàng)正確即可.【詳解】取，顯然滿足，但，A錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤；由在R上單增，知，B正確；若，則，C錯(cuò)誤.故選：B.4. 的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則該三角形最小角的余弦值是（ ）A. B. C. D. B【分析】根據(jù)正弦定理的三邊比值，然后由余弦定理可得.【詳解】由正弦定理可知設(shè)，已知角A最小，由余弦定理可得.故選：B5. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 4A【分析】根據(jù)三視圖確定幾何體是一個(gè)半圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式即可求解.【詳解】根據(jù)三視圖可知：

3、該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的一個(gè)半圓柱，故體積為故選：A6. 已知向量，夾角為60，且，則（ ）A. 0B. 10C. D. C【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng)，然后根據(jù)數(shù)量積的公式即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C7. 已知正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. A【分析】取的中點(diǎn)，連接，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，設(shè)，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，在正中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得.故選：A.8. 若

4、，是空間中不重合的平面，b是一條直線，則下列說法中正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C 若，則D. 若，則D【分析】利用線面平行、面面平行，線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，則或，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，或與相交，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，或可能與不垂直，或，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，所以D正確，故選：D9. 等比數(shù)列中，若，的等比中項(xiàng)為1，的等比中項(xiàng)為4，則（ ）A. -2B. 2C. D. B【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：設(shè)公比為，因?yàn)?，的等比中?xiàng)為,所以，同理，所以,所以，又構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，又，所以，所以，故選：B

5、.10. 在中，若，且B為銳角，則該三角形的形狀是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 等腰直角三角形D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算先求解出的關(guān)系以及的值，從而確定出，再根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式確定出的大小，由此可確定出的形狀.【詳解】由，得，所以得，所以.所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，即，所以，即三角形為等腰直角三角形，故選：D11. 已知數(shù)列滿足，且，則（ ）A. 1023B. 1535C. 1538D. 2047B【分析】根據(jù)的關(guān)系可得，進(jìn)而可得從第二項(xiàng)起，成等比數(shù)列，公比為2，根據(jù)等比數(shù)列公式即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而可得：，當(dāng)時(shí)，故從第二項(xiàng)起，成

6、等比數(shù)列，公比為2，故，故選：B12. 如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，則的最大值是（ ）A. 2B. C. 3D. 4A【分析】令，由邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，可得出，的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個(gè)向量，算出它們的內(nèi)積即可【詳解】解：令，由于，故，故，故，同理可求得，即，,，的最大值是2，故選：二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，則_10【分析】利用分組求和計(jì)算得到答案.【詳解】，.故答案為.14. 已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則的面積為_；【分析】先根據(jù)以及余弦定理計(jì)算出的值，再由

7、面積公式即可求解出的面積.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為.本題考查解三角形中利用余弦定理求角以及面積公式的運(yùn)用，難度較易.三角形中，已知兩邊的乘積和第三邊所對(duì)的角即可利用面積公式求解出三角形面積.15. 已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是AC的中點(diǎn)，則_【分析】用轉(zhuǎn)化法，即可求向量的數(shù)量積.【詳解】解：由題意得，為，所以.故-3.16. 點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為_#【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、，證明、四點(diǎn)共面，并計(jì)算出球心到平面的距離，可計(jì)算得出截面圓的半徑，利用圓的周長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖，正方體的內(nèi)切球的

8、半徑，由題意，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，可得，故，所以，、四點(diǎn)共面，則，所以，所以，則，平面，平面，平面，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是平面截內(nèi)切球的交線， 取的中點(diǎn)，連接、，且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，易知點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面，平面，則，平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則到平面的距離為，截面圓的半徑，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為截面圓的周長(zhǎng)故答案.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是確定出M的軌跡是平面截內(nèi)切球的交線，在利用球中的勾股定理即可解決.三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

9、算步驟17. 已知非零向量，夾角為，且（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且，求（1） （2）【分析】（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式和夾角余弦公式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)向量垂直得到，再求出，進(jìn)而求出【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，所以，；【小問2詳解】，即，18. 已知函數(shù)（1）若滿足的解集是，求a，b的值；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為1，求的最小值（1）; （2）.【分析】（1）根據(jù)不等式的解列出方程即可；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可得，據(jù)此又均值不等式求解.【小問1詳解】由已知關(guān)于x的不等式的解集是，解得；【小問2詳解】由函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)1知：，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等）故的最小值為19. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在線段上（1

10、）證明：平面；（2）求點(diǎn)P到平面的距離d（1）證明見解析 （2）【分析】（1）連接，則可得平面，平面，所以平面平面，從而可證得結(jié)論，（2）由于平面，所以，P到平面的距離均為d，然后利用求解即可【小問1詳解】連接，由正方體易知，平面，平面，平面，同理可證平面，而平面，平面，平面平面，平面，平面；【小問2詳解】由（1）知平面，所以，P到平面的距離均為d，由正方體棱長(zhǎng)為1知：，解得，故點(diǎn)P到平面的距高20. 在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求角B的大?。唬?）當(dāng)角B為鈍角時(shí)，若點(diǎn)E滿足，求BC的長(zhǎng)度（1）或 （2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即

11、可；（2）由（1）知當(dāng)B為純角時(shí)，（解法一）根據(jù)平面向量基本定理有，再兩邊平方根據(jù)數(shù)量積公式求解即可；（解法二）設(shè)，則，設(shè).在，中，利用的余弦定理相等列式求解即可【小問1詳解】，而，或【小問2詳解】由（1）知當(dāng)B為純角時(shí)，（解法一），整理得：，即故BC的長(zhǎng)度為（解法二），設(shè)，則，設(shè)，有：， 又在，中有： 代入有：解得（舍去負(fù)值）故BC的長(zhǎng)度為21. 四棱錐的底面ABCD是等腰梯形，平面平面ABCD，（1）求證：；（2）求AP的長(zhǎng)度；（3）求直線AC與平面PBC所成角的正弦值（1）證明見解析 （2） （3）【分析】（1）設(shè)，作，垂足為，求出，即可得到為等腰直角三角形，從而得到，再由面面垂直的性質(zhì)

12、得到平面，即可得證；（2）連接PO，由（1）知，再求出、，最后由勾股定理計(jì)算可得；（3）由（2）可得，即可得到平面，則為直線與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)，作，垂足為，則，為等腰直角三角形，又為等腰梯形，故，即，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，【小問2詳解】解：連接PO，由（1）知，而，又，所以，所以，中，有中，有小問3詳解】解：由（2）知，平面PBC，平面PBC，平面，為直線與平面所成角，中，故直線與平面所成角的正弦值為22. 已知數(shù)列中，且對(duì)任意正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍（1） （2）（I）；（II）【分析】（1）令，通過遞推關(guān)系式確定為等差數(shù)列，進(jìn)而確定通項(xiàng)公式；（2）由