高中數(shù)學(xué)《直線與方程》專題訓(xùn)練30題（含解析）

1、試卷第 =page 29 29頁(yè)，共 =sectionpages 29 29頁(yè)試卷第 =page 28 28頁(yè)，共 =sectionpages 29 29頁(yè)高中數(shù)學(xué)直線與方程專題訓(xùn)練30題（含解析）學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、解答題1設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.【答案】（1）的方程為或；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)與軸垂直，且過(guò)點(diǎn)，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；（2）分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡(jiǎn)單

2、，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過(guò)直線的斜率的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，l的方程為.由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.所以的方程為或.（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，.當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以.當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與橢圓相交的綜合問(wèn)題、關(guān)于角的大小用斜率來(lái)衡量，在解題的過(guò)程中，第一問(wèn)求直線方程的時(shí)候，需要注意方法比較簡(jiǎn)單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè)，關(guān)于第二問(wèn)，在做題的時(shí)候需要先將特殊情況說(shuō)明，

3、一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來(lái)得到角是相等的結(jié)論.2設(shè)拋物線，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）證明：【答案】（1）或；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)與軸垂直，且過(guò)點(diǎn)，求得直線的方程為，代入拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由斜率公式并結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出直線、的斜率之和為零，從而得出所證結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，的方程為，可得的坐標(biāo)為或所以直線的方程為或；（2）設(shè)的方程為，、

4、，由，得，可知，直線、的斜率之和為，所以，可知、的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與拋物線相交的綜合問(wèn)題、關(guān)于角的大小用斜率來(lái)衡量，在解題的過(guò)程中，第一問(wèn)求直線方程的時(shí)候，需要注意方法比較簡(jiǎn)單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè)，關(guān)于第二問(wèn)，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來(lái)得到角是相等的結(jié)論.3已知直線恒過(guò)定點(diǎn).（）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程；（）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于3，求直線的方程.【答案】（）；（）或.【解析】【分析】（）求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)

5、要求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可求得的值，即可寫出直線的方程（）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案【詳解】直線可化為，由可得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為. （）設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)A代入方程可得，所以直線的方程為,（）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A，所以直線方程為，符合原點(diǎn)到直線的距離等于3. 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為3，所以，解得所以直線的方程為綜上所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的垂直關(guān)系的應(yīng)用及直線方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，主要分斜率存在和不存在兩種情況討論，屬于基礎(chǔ)題4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

6、，直線，設(shè)圓的半徑為1， 圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標(biāo)，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進(jìn)而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點(diǎn)，使，只需兩圓有公共點(diǎn)即可.【詳解】（1）由得圓心，圓的半徑為1，圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即，或所求圓的切線方程為或（2）圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為又，設(shè)為，

7、則，整理得，設(shè)為圓所以點(diǎn)應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點(diǎn)，由，得，由，得綜上所述，的取值范圍為考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中

8、.本題（2）巧妙地將圓上存在點(diǎn)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點(diǎn)問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.5已知直線方程為，.（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)將含有的項(xiàng)提取出來(lái),再令所乘的式為0,不含的項(xiàng)也為0,列方程求解即可.(2)算出直線在軸上的截距令其相等求解即可.【詳解】(1) 由化簡(jiǎn)得,令 ,故直線恒過(guò)定點(diǎn)(2)由題得中.令有 ,故在軸上的截距為.令有.故在軸上的截距為.故,故或.當(dāng)時(shí), 化簡(jiǎn)得,當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)得故直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的定點(diǎn)問(wèn)題以及解決的問(wèn)題等,屬于中等題型.6在中，

9、邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由AC邊上的高BE所在的直線方程可得kAC利用點(diǎn)斜式可得AC方程,與CM方程聯(lián)立解得C坐標(biāo)（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，可得中點(diǎn)M坐標(biāo)代入CM方程，與BE方程聯(lián)立，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可得出所求直線方程【詳解】（1）邊上的高為，故的斜率為， 所以的方程為，即， 因?yàn)榈姆匠虨?解得所以.（2）設(shè)，為中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為， 解得， 所以， 又因?yàn)?，所以的方程為即的方程?【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線垂直的應(yīng)用、考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線方程的求法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7已

10、知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（）求線段AB的垂直平分線方程；（）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程【答案】（）；（）；（）或.【解析】【分析】（）利用垂直平分關(guān)系得到斜率及中點(diǎn)，從而得到結(jié)果；（）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合第一問(wèn)可得結(jié)果；（）由題意可知：圓心到直線的距離為1，分類討論可得結(jié)果.【詳解】解：（） 設(shè)的中點(diǎn)為，則由圓的性質(zhì)，得，所以，得. 所以線段的垂直平分線的方程是.(II) 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為（）.由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡(jiǎn)得所以 圓心，所以 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(III) 由(I)設(shè)為中點(diǎn)，則，得圓心到直線的距離.(1) 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，

11、此時(shí)，符合題意.(2) 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，即，由題意得，解得：故直線的方程為，即綜上直線的方程或【點(diǎn)睛】圓內(nèi)一點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，則此點(diǎn)與圓心的連線和弦所在的直線垂直；解決圓的弦長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題，注意弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形的三邊的勾股數(shù)之間的關(guān)系8已知直線：，圓A：，點(diǎn)(1)求圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值；(2)從點(diǎn)B發(fā)出的一條光線經(jīng)直線反射后與圓有交點(diǎn)，求反射光線的斜率的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系，求得圓心到直線的距離，即可計(jì)算最大值；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線直的對(duì)稱點(diǎn)為，列出方程組，求的的值，得出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出直線的方

12、程，利用，即可求解.【詳解】（1）圓心為，半徑，由 直線與圓的位置關(guān)系為相離，所以圓上一點(diǎn)到直線距離最大值為 （2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線直的對(duì)稱點(diǎn)為由 即反射線過(guò)點(diǎn) 由題意反射線的斜率必存在，設(shè)方程為：，即： ，由得 整理得，解得，所以斜率的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中根據(jù)題意，合理轉(zhuǎn)化，建立不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.9已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）的外接圓的方程【答案】（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0【解析】【分析】（1）根

13、據(jù)高與底邊所在直線垂直確定斜率，再由其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從而由點(diǎn)斜式得到高所在直線方程，再寫成一般式.（2）設(shè)出的外接圓的一般方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于的方程組，從而求出外接圓的方程.【詳解】（1）直線AB的斜率為，AB邊上的高所在直線的斜率為-2，則AB邊上的高所在直線的方程為y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0（2）設(shè)ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故ABC的外接圓的方程為x2+y2+2x+2y-8=0【點(diǎn)睛】主要考查了直線方程與圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.10已知直線，.(1)若，求的值； (2)若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利

14、用兩條直線垂直的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得1（m2）+m30，由此求得m的值（2）利用兩直線平行的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得，由此求得得m 的值【詳解】（1）直線l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，由l1l2 ，可得 1（m2）+m30，解得（2）由題意可知m不等于0,由l1l2 可得，解得 m1【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行、垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題11已知向量，（1）若點(diǎn)，三點(diǎn)共線，求的值；（2）若為直角三角形，且為直角，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由點(diǎn)，三點(diǎn)共線可得和共線，解關(guān)于的方程可得答案；（2）由為直角三角形可得，即，解關(guān)于的方程可得答案【詳解】（

15、1），點(diǎn)，三點(diǎn)共線，和共線，解得；（2）為直角三角形，且為直角，解得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.12已知直線方程為.（1）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少?（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）時(shí)，距離最大，最大值為；（3）面積的最小值為，此時(shí)直線方程為.【解析】【分析】（1）整理直線方程可得方程組，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）易知當(dāng)定點(diǎn)與連線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大；求出方程后，利用直

16、線垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得；利用兩點(diǎn)間距離公式可求得最大值；（3）利用直線方程可坐標(biāo)，并確定的取值范圍，利用表示出，可得一個(gè)分式型的函數(shù)，通過(guò)換元法可表示出，由二次函數(shù)最值的求解方法可求得所求面積最小值，并求得的值，由此可得直線方程.【詳解】（1）由直線方程整理可得：，由得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）由（1）知：直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，又所在直線方程為：，即，當(dāng)與直線垂直時(shí)，解得：；則最大值；（3）由題意知：直線斜率存在且不為零，令得：，即；令得：，即；又位于軸的負(fù)半軸，解得：；，令，則，則當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)直線的方程為：.13已知直線l：1證明直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)并求此點(diǎn)的坐標(biāo)；2

17、若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；3若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程【答案】（1）定點(diǎn)（2，1）（2）k0；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】分析：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，直線l過(guò)定點(diǎn)（-2，1）；（2）要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負(fù)數(shù)，解出k的取值范圍；（3）先求出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.【詳解】（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)（2，1）（2）直線l的方程可化

18、為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則，解得k的取值范圍是k0（3）依題意，直線l: y=kx+2k+1，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1+2k，A（，0），B（0，1+2k），又0且1+2k0，k0，故S=|OA|OB|=（1+2k）=（4k+4）（4+4）=4，當(dāng)且僅當(dāng)4k=，即k=或-時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)k=-時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)，不存在三角形，故舍掉.此時(shí)直線方程為：【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，直線在坐標(biāo)系中的位置，以及基本不等式的應(yīng)用（注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件）在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“

19、正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）寫出BC邊所在的直線的斜率，即可求出BC邊上高的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離求三角形的高，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求三角形的底BC，即可得解.【詳解】（1）直線的斜率，則邊上高所在直線斜率，則邊上的高所在的直線方程為，即.（2）的方程為，.點(diǎn)到直線的距離，則的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的點(diǎn)斜式，垂直直線斜率

20、間的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題.15已知直線和的交點(diǎn)為（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）；（2）30【解析】【分析】（1）先求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程；（2）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式，求得的面積【詳解】解：（1）由，解得：，可得直線 和的交點(diǎn)為，由于直線l3的斜率為，故過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的直線l的方程為，即； （2）由題意知：直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為，由于直線m與x軸，y軸分別交

21、于A，B兩點(diǎn)，且為線段AB的中點(diǎn)，故：， ，解得，故 ，故的面積為.16點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】【解析】【分析】由的幾何意義是過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率且點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，可求兩端點(diǎn)處斜率，利用數(shù)形結(jié)合可求最值.【詳解】的幾何意義是過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)時(shí)，此時(shí)與兩項(xiàng)連線的斜率最大，為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)與兩點(diǎn)連線的斜率最小，為.,即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.17求的值域【答案】10，)【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)一點(diǎn)P(x，0)到點(diǎn)A(3，4)和點(diǎn)B(5，2)的距離之和，找

22、出B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B(5，2)，連接AB交x軸于一點(diǎn)P，此時(shí)距離之和最小.【詳解】如圖，函數(shù)的幾何意義為平面內(nèi)一點(diǎn)P(x，0)到點(diǎn)A(3，4)和點(diǎn)B(5，2)的距離之和.由平面解析幾何知識(shí)，找出B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B(5，2)，連接AB交x軸于一點(diǎn)P，此時(shí)距離之和最小，ymin|AB|10，又y無(wú)最大值，所以y10，).【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題.18已知直線l的方程為.(1)求過(guò)點(diǎn)且與直線l垂直的直線方程；(2)求直線與的交點(diǎn)，且求這個(gè)點(diǎn)到直線l的距離.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】(1)與l垂直的直線方程可設(shè)為 ，

23、再將點(diǎn) 代入方程可得；(2)先求兩直線的交點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線l的距離【詳解】解：(1)設(shè)與直線垂直的直線方程為,把代入，得，解得,所求直線方程為.(2)解方程組得直線與的交點(diǎn)為,點(diǎn)到直線的距離.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直時(shí)方程的求法和點(diǎn)到直線的距離公式19已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)(1) 求拋物線的方程；(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值【答案】() () () 【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)拋物線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離,求出,得到拋物線方程；（2）

24、對(duì)拋物線方程求導(dǎo),求出切線的斜率,用點(diǎn)斜式寫出切線方程,化成一般式,找出共同點(diǎn),得到直線的方程；（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立直線與拋物線方程,消去,得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,由韋達(dá)定理求得的值,還有,將表示成的二次函數(shù)的形式,再求出最值.試題解析: 解：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得，所以拋物線的方程為.（2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得，設(shè)(其中)則切線的斜率分別為，所以切線的方程為，即，即，同理可得切線的方程為，因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn)，所以 ，所以為方程的兩組解，所以直線的方程為.（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立方程，消去整理得.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以又點(diǎn)在直線上，所以，

25、所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值,且取得最小值為.考點(diǎn)：1.點(diǎn)到直線距離公式；2.拋物線方程；3.利用導(dǎo)數(shù)求拋物線上某點(diǎn)切線的斜率；4.二次函數(shù)求最值.【方法點(diǎn)晴】本題利用拋物線為載體,考查了求拋物線方程,利用導(dǎo)數(shù)求拋物線上某點(diǎn)切線的斜率等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.第一問(wèn)很容易,第二問(wèn)中,利用導(dǎo)數(shù)求拋物線上一點(diǎn)的切線斜率,比用聯(lián)立方程,判別式等于的方法要好,步驟少,花的時(shí)間也少.從切線的方程,得出直線的方程;第三問(wèn)先用拋物線定義把的值表示出來(lái),聯(lián)立直線與拋物線方程,得到的值, 將表示成的二次函數(shù)的形式,再求出最值.20已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線與軸的正半軸分別相交于點(diǎn)， 的面積為.（）求直線的方程；（

26、）直線過(guò)點(diǎn)且與平行，點(diǎn)在上，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析:（1）根據(jù)斜截式寫出直線方程，求出與坐標(biāo)軸的截距，列出三角形面積，解方程可得，即得直線方程（2）根據(jù)幾何意義求對(duì)稱點(diǎn)化曲為直：即先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最小值為試題解析：解：（）依題意得，直線的斜率 設(shè)直線的方程為 解得直線與坐標(biāo)軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為與，其中 所以解得. 所以直線的方程為（）由（）得, 直線的方程為設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知?jiǎng)t解得 所以 當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，所以21已知直線，是三條不同的直線，其中.（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若以，的交點(diǎn)為圓心，為半徑

27、的圓與直線相交于兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）【解析】【分析】（1）將整理為：，可得方程組，從而求得定點(diǎn)；（2）直線方程聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線距離的最大值的問(wèn)題，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最大值為，從而求得最小值.【詳解】（1）證明：，可化為：令，解得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)（2）將，聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)到直線的距離為，則則求的最小值，即求的最大值由（1）知，直線恒過(guò)點(diǎn)，則最大時(shí)，即【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解、直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)確定求解弦長(zhǎng)的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入求得弦長(zhǎng)最小值.22已知

28、直線與直線（1）若，求m的值；（2）若點(diǎn)在直線上，直線過(guò)點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）由題意可知，所以可得，從而可求出m的值；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，求出m的值，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線方程，利用兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，?）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線的方程為或23已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線:和:的交點(diǎn)，直線:；(1)若，求的

29、直線方程；(2)若，求的直線方程【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】(1)先求出與的交點(diǎn)，再利用兩直線平行斜率相等求直線l(2)利用兩直線垂直斜率乘積等于-1求直線l【詳解】（1）由，得，與的交點(diǎn)為.設(shè)與直線平行的直線為，則，.所求直線方程為.（2）設(shè)與直線垂直的直線為，則，解得所求直線方程為.【點(diǎn)睛】?jī)芍本€平行斜率相等，兩直線垂直斜率乘積等于-124如圖：已知是圓與軸的交點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）直線PA方程為y=x+2，由 解得M（0，2），直線PB的方程 y=3x-

30、6，由解得 ，用兩點(diǎn)式求得MN的方程（2）設(shè)P（4，t），則直線直線PA的方程為,直線PB的方程為 ，解方程組求得M、N的坐標(biāo)，從而得到MN的方程為，顯然過(guò)定點(diǎn)（1，0）【詳解】(1)直線PA方程為 ,由解得,直線PB的方程 ,由解得,所以的方程 (2)設(shè),則直線PA的方程為,直線PB的方程為 得,同理直線MN的斜率 直線MN的方程為, 化簡(jiǎn)得:所以直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求直線的方程，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題25已知直線.(1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍;(2)若直線交軸負(fù)半軸于,交軸正半軸于，求的面積的最小值并求此時(shí)直線的方程；(3)已知點(diǎn),若點(diǎn)到直線

31、的距離為，求的最大值并求此時(shí)直線的方程.【答案】（1）0,+)；（2）S的最小值為4，此時(shí)的直線方程為x2y+4=0；（3）d的最大值為5，此時(shí)直線方程為3x+4y+2=0【解析】【分析】（1）把已知方程變形，利用線性方程求出直線所過(guò)定點(diǎn)即可；化直線方程為斜截式，由斜率大于等于0且在y軸上的截距大于等于0聯(lián)立不等式組求解；（2）由題意畫出圖形，求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值；（3）當(dāng)PMl時(shí)，d取得最大值，由兩點(diǎn)的距離公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直線l的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得所求直線l的方程【詳解】(1)由kxy+1+2k=0,得k(x+2)+(y

32、+1)=0，聯(lián)立,解得，則直線l:kxy+1+2k=0過(guò)定點(diǎn)M(2,1)；由kxy+1+2k=0，得y=kx+1+2k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限,則，解得k0k的取值范圍是0,+)(2)如圖，由題意可知，k0，在kxy+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立S的最小值為4，此時(shí)的直線方程為12xy+2=0，即x2y+4=0(3)點(diǎn)P(1,5)，若點(diǎn)P到直線l的距離為d，當(dāng)PMl時(shí),d取得最大值,且為，由直線PM的斜率為，可得直線直線l的斜率為，則直線l的方程為，即為3x+4y+2=0【點(diǎn)睛】本題考查直線橫過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查利用基本不等式求最值，以及數(shù)形結(jié)合思

33、想方法，是中檔題26如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與軸的正半軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓：與圓交于，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最小值；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與圓A切于點(diǎn)，與圓分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，試求直線的方程. 【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】分析：（1）根據(jù)半徑，得到圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；因?yàn)锽、C是兩個(gè)圓的交點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)圓可得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得BC的長(zhǎng)（2）根據(jù)圓A關(guān)于x軸對(duì)稱，可設(shè)，代入到圓O中，用表示；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，根據(jù)的取值范圍即可得到的最小值（3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，可知 與 相似，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和勾股定理，在和中，聯(lián)立方程求得r的值；設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求出直線方程詳解：（1）當(dāng) 時(shí)，由 得， （2）由對(duì)稱性，設(shè)，則所以 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為 （3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則則，從而 ，不妨記，在中即在中即由解得 由題直線的斜率不為0，可設(shè)直線的方程為： ，由點(diǎn)A到直線 的距離等于則，所以，從而直線的方程為點(diǎn)睛：本題考查了直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系，根據(jù)向量的數(shù)量積求最值問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)到直線距離求直線方程，綜合性強(qiáng)，屬于難題27已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，求直線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)，的面積為2，求直線的方程【答案】（1）（2）或【解