初中數(shù)學(xué)北師大七年級(jí)下冊(cè)（2023年新編） 生活中的軸對(duì)稱(chēng)線段垂直平分線-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、成都市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教案課 題 線段的垂直平分線(一)課型新授課上課班級(jí)八年級(jí)7班授課教師楊建學(xué)情分析學(xué)生對(duì)于掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理以及定理的證明有初步了解，這是因?yàn)樵谄吣昙?jí)學(xué)習(xí)生活中的軸對(duì)稱(chēng)中學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。要證明線段垂直平分線的判定定理是有一定困難，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用也需要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化生活問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)1.證明線段垂直平分線性質(zhì)定理2.探索并證明線段垂直平分線的判定定理3.運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)理解并掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理教學(xué)難點(diǎn)1.線段垂直平分線判定定理的證明2.線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用過(guò)程與方法探索-

2、發(fā)現(xiàn)-猜想-證明教 具多媒體教學(xué)平臺(tái)、數(shù)學(xué)作圖教具教 學(xué) 內(nèi) 容 及 設(shè) 計(jì) 說(shuō) 明一探究學(xué)習(xí)探究一：線段垂直平分線的性質(zhì)定理引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)尺規(guī)作圖去作一條已知線段的垂直平分線，并引出其性質(zhì)定理。ABCPFE那么請(qǐng)同學(xué)們利用直尺和三角板畫(huà)一條線段的垂直平分線。（草稿區(qū)給出線段AB，畫(huà)出其垂直平分線EF，交AB于O點(diǎn)）。O點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與O點(diǎn)到B點(diǎn)的距離一樣嗎？我們知道，O點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，也是線段AB的中垂線上的一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)直線上面的其他點(diǎn)是否也具有這樣的性質(zhì)呢（點(diǎn)到點(diǎn)的距離）？為了驗(yàn)證，請(qǐng)大家在直線任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到A點(diǎn)B點(diǎn)的距離是否相等？我們由此可以得到這樣一個(gè)命題：在線段垂直平分線上的

3、點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。但這是我們上學(xué)期通過(guò)折紙得到的，下面我們對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明。證明：在線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。已知：如圖,直線EFAB,垂足為C,且ACCB,點(diǎn)P是EF上一點(diǎn)求證：PAPB（由學(xué)生口述證明過(guò)程），并由學(xué)生歸納出線段垂直平分線的“性質(zhì)定理”。展示推理格式：MN垂直平分ABMAMB應(yīng)用新知A已知:如圖,在ABC中,DE是AC的垂 直平分線,AE=3cm, ABD的周長(zhǎng)為13cm,則ABC 的周長(zhǎng)為 19 cmE BCD由學(xué)生來(lái)講述本題的解法探究二：合作交流-逆向思維，探索判定議一議：你能說(shuō)出“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”這一命

4、題的逆命題嗎？ 真命題嗎？如果是，請(qǐng)證明，并與同伴交流。請(qǐng)同學(xué)們找出線段垂直平分線定理的條件和結(jié)論，并寫(xiě)出逆命題原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”此時(shí)，逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái)“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”寫(xiě)出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假求證：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。要求學(xué)生完成如下步驟逆命題： _已知：_求證：_由學(xué)生寫(xiě)出已知、證明。故此題由老師完成作底邊上的高，證明它也是底邊中線。引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程，有如下三種證法： 已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=P

5、B求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證明一：（老師示范）過(guò)點(diǎn)P作PCAB于點(diǎn)CPA=PB且PCABCA=CBPC垂直平分AB即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上證法二：取AB的中點(diǎn)C，連結(jié)PC證法三：過(guò)P點(diǎn)作APB的角平分線從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱(chēng)做線段垂直平分線的判定定理線段垂直平分線的判定定理： 完成后改“求證”為“定理”，并說(shuō)明為線段的垂直平分線的“判定定理”。推理格式：PAPB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上揭示線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理之間的關(guān)系：互逆AFBDEC應(yīng)用新知如圖，ABC中，AD是BAC的平分線，DEAB于點(diǎn)E,DF AC于點(diǎn)F求

6、證：AD垂直平分EF證明 AD是BAC的平分線 且DEAB， DF ACDE=DF(角平分線定理)）點(diǎn)D在EF的垂直平分線上可證AED AFD 得到AE=AF點(diǎn)A在EF的垂直平分線上AD垂直平分了EF應(yīng)用問(wèn)題舉例：海濱村政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等 A B C例1 已知:如圖,在ABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：（）PA=PB=PC; 點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你還能得到什么結(jié)論？BACP由教師引導(dǎo)學(xué)生分析，尋找證明方法 SHAPE * MERGEFORMAT 再

7、由師生共析，完成證明證明：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=PB(線段垂直平分線性質(zhì)定理)同理PB=PCPA=PC=PBP點(diǎn)在AC的垂直平分線上(線段垂直平分線判定定理)（3）多媒體演示我們得出的結(jié)論：(回到購(gòu)物中心選址的問(wèn)題)探索發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等A課堂練習(xí)1.如圖，在Rt ABC中， B=90, EED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,已知BAD=10,則C的度數(shù)為（ ） CBD2.已知：如圖，在ABC中，AB=AC, A=120,AB的垂直平分線分別交BC，AB于點(diǎn)M,N,求證：CM=2BMCMANB通過(guò)復(fù)習(xí)作線段垂直平

8、分線的尺規(guī)做法，提出問(wèn)題，線段AB上任意一點(diǎn)P點(diǎn)到線段兩端的距離是否相等？由學(xué)生口述其過(guò)程 完善其證明過(guò)程要求學(xué)生掌握其性質(zhì)定理的幾何語(yǔ)言本練習(xí)題既體現(xiàn)了應(yīng)用線段垂直平分線的定義，也應(yīng)用了其性質(zhì)定理要求學(xué)生說(shuō)出性質(zhì)定理這個(gè)命題的條件和結(jié)論，從而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)同桌討論說(shuō)出其逆命題。既體現(xiàn)了合作學(xué)習(xí)，互相糾錯(cuò)，最后歸納整理的能力通過(guò)討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫(xiě)出已知、求證的內(nèi)容請(qǐng)學(xué)生完成書(shū)寫(xiě)已知求證判定定理的證明過(guò)程是本節(jié)課的難點(diǎn):通過(guò)引導(dǎo)，示范，（引導(dǎo)學(xué)生證明一條線段具備某中特殊性質(zhì)時(shí)，常用的方法是過(guò)這個(gè)點(diǎn)做一條直線，讓他滿(mǎn)足其中一個(gè)特征，然后去證明它也滿(mǎn)足另外的特征）此為重要 的解題思路。證明二

9、，三啟發(fā)學(xué)生通過(guò)等腰三角形三線合一，推出點(diǎn)在垂直平分線上激發(fā)學(xué)生用不同思路求解幾何題目，使學(xué)生通過(guò)對(duì)特例的考察，歸納出對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解決辦法。對(duì)2條定理之間的關(guān)系進(jìn)行歸納整理發(fā)展學(xué)生歸納能力， 注重幾何語(yǔ)言規(guī)范習(xí)題點(diǎn)評(píng)：（此處設(shè)置學(xué)生討論多種不同方法解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析最簡(jiǎn)便方法。引導(dǎo)得出此題對(duì)性質(zhì)，定理的綜合應(yīng)用）并應(yīng)注意學(xué)生易犯錯(cuò)誤：只證明一個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上，即誤認(rèn)為得證。指出應(yīng)證明點(diǎn)A,點(diǎn)D都在垂直平分線上情境引入：體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，由學(xué)生自由探索作圖的方法，帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)下面學(xué)習(xí)今天的新知本例題是為解決上一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，對(duì)線段垂直平分線性質(zhì)定理及其判定定理應(yīng)用。也解決了三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)的疑問(wèn)。(2)讓學(xué)生在解題中歸納出：證明線段相等的另一種方法是利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理A例題教學(xué)結(jié)束后回到修建購(gòu)物中心的問(wèn)題，讓同學(xué)們明白如何選址即是尋找三邊垂直平分線的交點(diǎn)位置。從而解決了開(kāi)始提出的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。前后呼應(yīng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)學(xué)以致用。此結(jié)論由學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)，將在下一節(jié)課繼續(xù)深入學(xué)習(xí)此練習(xí)是為鞏固性質(zhì)定理，以及外角和定理，或用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題等思路的訓(xùn)練。此習(xí)題是為了讓同學(xué)們探索發(fā)現(xiàn)證明線段相等常需要連接線段垂直平分線上的點(diǎn)到