重慶工商大學數(shù)學模型與數(shù)學實驗課件第07講 插值與數(shù)值積分

1、大學數(shù)學實驗Experiments in Mathematics實驗3 插值與數(shù)值積分 數(shù)學建模與數(shù)學實驗- 李煥榮實驗三什么是插值？從查函數(shù)表說起查 函 數(shù) 表標準正態(tài)分布函數(shù)表求 (1.114)(1.114)=0.8665 (0.86860.8665)0.4=0.8673插值實驗三實驗三實驗3的基本內(nèi)容3.數(shù)值積分的梯形公式、辛普森公式和高斯公式。1.插值的基本原理； 三種插值方法：拉格朗日插 值，分段線性 插值，三次樣條插值。2.插值的 MATLAB 實現(xiàn)及插值的應用。4.數(shù)值積分的 MATLAB 實現(xiàn)及數(shù)值積分的應用。實驗三實驗三數(shù)控機床加工零件加工時需要x每改變0.05時的y值圖1

2、零件的輪廓線 （x間隔0.2）表1 x間隔0.2的加工坐標x,y（圖1右半部的數(shù)據(jù)）0.0,5.000.2,4.710.4,4.310.6,3.680.8,3.051.0,2.501.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.002.2,0.862.4,0.742.6,0.64模型 將圖1逆時針方向轉(zhuǎn)90度，輪廓線上下對稱，只需對上半部計算一個函數(shù)在插值點的值。 圖2 逆時針方向轉(zhuǎn)90度的結果實驗三插值的基本原理插值問題的提法已知 n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設求任一插值點處的插值節(jié)點可視為由產(chǎn)生,g表達式復雜,甚至無表達式實驗三實驗三求解插值問題的基本思路構造

3、一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點,即再用計算插值，即插值的基本原理實驗三1.拉格朗日(Lagrange)多項式插值（3）有唯一解。 基函數(shù)三種插值方法實驗三2.分段線性插值xjxj-1xj+1x0 xn三種插值方法實驗三實驗三數(shù)學樣條（spline）三種插值方法實驗三3. 三次樣條插值三種插值方法小結 拉格朗日插值（高次多項式插值）：曲線光滑用于理論分析，實際意義不大。 分段線性和三次樣條插值（低次多項式插值）：曲線不光滑（三次樣條插值已大有改進）簡單實用，應用廣泛。實驗三1. 拉格朗日插值:自編程序,如名為 lagr.m 的M文件， 第一行為 function y=lagr(x0,y0,x

4、) 輸入:節(jié)點x0,y0, 插值點x (均為數(shù)組，長度自定義)）； 輸出:插值y (與x同長度數(shù)組)）。 應用時輸入x0,y0,x后,運行 y=lagr(x0,y0,x)2. 分段線性插值:已有程序 y=interp1(x0,y0,x)3. 三次樣條插值:已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline) 或 y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計算實驗三插值的應用加工時需要x每改變0.05時的y值圖1 零件的輪廓線 （x間隔0.2）表1 x間隔0.2的加工坐標x,y（圖1右半部的數(shù)據(jù)）數(shù)控機床加工零件 0.0,5.000.2,4.710.4,4.310.6,3.6

5、80.8,3.051.0,2.501.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.002.2,0.862.4,0.742.6,0.64模型 將圖1逆時針方向轉(zhuǎn)90度，輪廓線上下對稱，只需對上半部計算一個函數(shù)在插值點的值。 圖2 逆時針方向轉(zhuǎn)90度的結果令v=x, u= -y 實驗三人造衛(wèi)星軌道長度軌道長度yxo 近地點s1=439km,遠地點s2= 2384kms1s2地球半徑r=6371kmr實驗三為什么要作數(shù)值積分 許多函數(shù)“積不出來”,只能用數(shù)值方法，如 積分是重要的數(shù)學工具，是微分方程、概率論等的基礎；在實際問題中有直接應用。 對于用離散數(shù)據(jù)或者圖形表示的函

6、數(shù)，計算積分只有求助于數(shù)值方法。數(shù)值積分實驗三數(shù) 值 積 分 的 基 本 思 路回 憶 定 積 分 的 定 義各種數(shù)值積分方法研究的是如何取值，區(qū)間如何劃分，使得既能保證一定精度，計算量又小。n充分大時In就是I的數(shù)值積分實驗三1.從矩形公式到梯形公式數(shù)值積分yy=f(x)xbao平均，得到梯形公式xk+1xkxk-1fk實驗三2.辛普森(Simpson)公式（拋物線公式） 梯形公式相當于用分段線性插值函數(shù)代替拋物線公式提高精度分段二次插值函數(shù)數(shù)值積分yy=f(x)xbaox2kf2kx2k+1x2k+2f2k+1f2k+2實驗三實驗三 對k求和(共m段)，得辛普森公式：二次插值函數(shù)sk(x)

7、2.辛普森(Simpson)公式（拋物線公式）實驗三實驗三高斯公式的思路取消對節(jié)點的限制，按照代數(shù)精度最大的原則，同時確定節(jié)點xk和系數(shù)Ak構造求積公式對于使G2的代數(shù)精度為3確定實驗三用MATLAB 作數(shù)值積分梯形公式trapz(x)輸入數(shù)組x,輸出按梯形公式x的積分(單位步長)trapz(x,y)輸入同長度數(shù)組 x,y,輸出按梯形公式y(tǒng)對x的積分(步長不一定相等)實驗三實驗三用MATLAB 作數(shù)值積分辛普森公式quad(fun,a,b,tol)用自適應辛普森公式計算tol為絕對誤差，缺省時為10-6Gauss-Lobatto公式quadl(fun,a,b,tol)用自適應Gauss-Lob

8、atto公式計算 tol為絕對誤差，缺省時為10-6實驗三實驗三用MATLAB 作數(shù)值積分例. 計算1）矩形公式和梯形公式將(0, /4)100等分2）辛普森公式和Gauss-Lobatto公式精確、方便無法計算用數(shù)值給出的函數(shù)的積分實驗三數(shù)值積分的應用人造衛(wèi)星軌道長度軌道長度yxo 近地點s1=439km,遠地點s2= 2384kms1s2地球半徑r=6371kmr需要作數(shù)值積分實驗三s1=439km, s2= 2384km, r=6371kmyxos1s2rs1s2yxoracb數(shù)值積分實例 人造衛(wèi)星軌道長度實驗三用梯形公式和辛普森公式計算只將區(qū)間5等分，梯形公式就給出很好的結果軌道長度 L=4.8707104千米數(shù)值積分實例 人造衛(wèi)星軌道長度實